专题01 向量的概念与运算——2022-2023学年高一数学下学期期末知识点精讲+训练学案+期末模拟卷（苏教版2019必修第二册）

专题1 向量的概念与运算

（一）向量的概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．

7．向量的夹角：对于非零向量a和b，在平面内任意取一点O，做=a，=b，叫做向量a与b的夹角.

当时，a与b同向

当是，a与b反向

当时，则称a与b垂直，记作a⊥b

（二）向量的线性运算

1．向量的加法

（1）三角形法则（图甲）：强调向量“首尾相接”

（2）平行四边形法则（图乙）：强调“共起点”

（3）向量加法的运算律

①交换律

②结合律

【点拨】①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．

②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0．

2. 向量减法

【点拨】①向量减法的三角形法则中，表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”．

②如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.

3. 向量的数乘

（1）

（2）几何意义：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．

（3）运算律

设λ、μ为实数，则

(1)λ(μa)＝ (λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb (分配律)．

特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．

【点拨】对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量．

4. 向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．

（三）向量共线定理

1. 向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

【点拨】①定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．

②定理的另种形式：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝0，则必有t＝s＝0．

2.平面向量共线定理的三个应用

（四）向量的数量积

1．平面向量的数量积

2．两个向量数量积的性质

设a、b都是非零向量，

(1)a⊥b⇔a·b＝0．

(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝．

(3)|a·b|≤|a||b|．

3．平面向量数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数λ．

(1)交换律：a·b＝b·a．

(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

题型一  向量的有关概念

【典例1】（2022·高一课时练习）下列命题中正确的个数是（    ）

①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；

②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；

③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；

④若，则，是相等向量或相反向量.

A．0 B．1 C．2 D．3

【典例2】【多选题】（2022·高一单元测试）下列说法中正确的是（    ）

A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或

C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量

【易错提醒】

有关平面向量概念的注意点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．

(4)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．

(5)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．

题型二  向量的线性运算

【典例3】（2021春·江苏镇江·高一校考阶段练习）如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（       ）

A．  B．

C．  D．

【典例4】（2023·高一单元测试）已知，若记，则______．

【规律方法】

1.关于向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：

①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．

②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．

2.向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

3．利用向量的线性运算求参数的一般思路

(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．

(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．

(3)比较、观察可知所求．

题型三  向量共线定理及其应用

【典例5】（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量，不共线，且，，．

(1)将用，表示；

(2)若，求的值；

(3)若，求证：A，B，C三点共线．

【典例6】（2023·全国·高一专题练习）设是不共线的两个向量．

(1)若，求证：三点共线；

(2)若与共线，求实数的值．

【规律方法】

求解向量共线问题的注意事项

(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．

题型四  单位向量及其应用

【典例7】（2022春·浙江丽水·高一统考期末）若为非零向量，则“”是“共线”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【典例8】（2023·高一课时练习）已知O为平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点D满足：，则点D一定在的______线所在直线上．

【规律方法】

非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，－是与a反方向的单位向量．

题型五  向量的数量积

【典例9】（2023·高一单元测试）在中，分别为的中点，则__________.

【典例10】（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（为锐角），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B）

(1)求（结果用表示）；

(2)若

①求的取值范围；

②设，记，求的最小值.

【总结提升】

求向量的数量积的两个关键点

（1）求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．

（2）若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．

题型六  向量的投影

【典例11】（2023·全国·高一专题练习）已知，求在上的投影向量．

【规律方法】

求一个向量在另一个向量方向上的投影向量时，首先要根据题意确定向量的模及两向量的夹角，然后代入公式计算即可．

题型七  向量的数量积与模的问题

【典例12】（2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，，，则______．

【典例13】（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于，若存在使得，则实数m的取值范围为___________.

【总结提升】

利用数量积求解长度（模）问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法是：

(1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝．

(2) ．

题型八  向量的数量积与夹角问题

【典例14】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）已知，均为单位向量，，则与的夹角为（    ）

A．30° B．45° C．135° D．150°

【典例15】（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）已知，，.

(1)求的值；

(2)求向量与夹角的余弦值．

【总结提升】

1.应用向量夹角公式cos〈a，b〉＝，要注意涉及到了向量运算和数量运算．

2. 注意应用a⊥b⇔a·b＝0．

一、单选题

1．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ）

A．1 B． C． D．2

2.（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）下列五个结论：

①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；

②向量，则与的方向必不相同；

③，则；

④向量是单位向量，向量也是单位向量，则向量与向量共线；

⑤方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量一定是平行向量．

其中正确的有（    ）

A．①⑤ B．④ C．⑤ D．②④

3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在中，是的中点，若，，则等于（　　）

A．  B．

C． D．

4．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（    ）

A． B．或

C． D．

5．（2023·全国·高一专题练习）若,|,的夹角为,则等于(   ).

A． B．

C． D．

6．（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（     ）

A． B． C． D．

7．（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（    ）

A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]

C．[1，＋1] D．[1，＋2]

8．（2023秋·云南·高一云南师大附中校考期末）在正三角形△ABC中，，M，N分别为AB，AC的中点，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（    ）

A．向量在向量上的投影向量可表示为

B．若，则与的夹角θ的范围是

C．若是等边三角形，则，的夹角为

D．若，则

10．（2023秋·云南·高一云南师大附中校考期末）设，是互相垂直的单位向量，，，下列选项正确的是（    ）

A．若点C在线段AB上，则

B．若，则

C．当时，与共线的单位向量是

D．当时，在上的投影向量为

三、填空题

11．（2023·江苏·高一专题练习）已知A、B、C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则＝________.

12．（2023·高一课时练习）已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为______．

四、解答题

13．（2021秋·新疆喀什·高一校考期末）如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线.

14．（2022春·河南三门峡·高一校考阶段练习）已知，求分别在下列条件下的值.

(1)；

(2)；

(3).

15．（2023春·河南新乡·高一校考开学考试）已知，，且与夹角为，求：

(1)；

(2)与的夹角．

16．（2021春·四川成都·高一统考期中）已知向量，满足：，，且．

(1)求向量与的夹角．

(2)求的值．