专题11 空间图形的表面积与体积——2022-2023学年高一数学下学期期末知识点精讲+训练学案+期末模拟卷（苏教版2019必修第二册）

专题11 空间图形的表面积与体积

（一）        几何体的表面积

1．柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.

2．把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.

3．计算公式

圆柱的侧面积 

圆柱的表面积 

圆锥的侧面积 

圆锥的表面积 

圆台的侧面积 

圆台的表面积 

球体的表面积 

（二）        几何体的体积

圆柱的体积 

圆锥的体积 

圆台的体积 

球体的体积 

正方体的体积   

正方体的体积   

（三）球的内切、外接

几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

题型一  几何体的面积

【典例1】（河南省郑州市2023届高三第二次质量预测文科数学试题）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（    ）

A． B． C． D．

【典例2】（2021·全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.

【典例3】（2023·全国·高一专题练习）如图，斜三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，，则该斜三棱柱的侧面积是_________．

【总结提升】

几类空间几何体表面积的求法

(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．

(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．

(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．

(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

题型二  几何体的体积

【典例4】（2018·全国高考真题（文））在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【典例5】（2023·高一单元测试）已知正三棱锥的侧面积为，高为，则它的体积为___________.

【典例6】（2023·全国·模拟预测）已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为，，体积分别为，，若，则______．

【总结提升】

（1）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．

（2）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法

（3）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.

提醒：处理高线问题时，经常利用的方法就是“等积法”．

题型三  几何体的展开、折叠、截问题

【典例7】（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ）

A． B． C． D．

【典例8】（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的高为______；侧面积为______.

【典例9】（2023·辽宁辽阳·统考一模）将3个6cm×6cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接入一个边长为的正六边形上，如图（2）所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为______.

【典例10】（2023春·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）已知正方体 的棱长为 3 ，以为球心，为半径的球被该正方体的表面所截，则所截得的曲线总长为_________

【总结提升】

有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．

研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．

题型四  几何体的外接球

【典例11】（四川省乐山市2023届高三下学期第二次调查研究考试数学（理）试题）在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【典例12】（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且．若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则_______________．

【典例13】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）在三棱锥中，已知平面，且是边长为的正三角形，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为___________.

【总结提升】

1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．

2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．

3.一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

题型五  几何体的内切球

【典例14】（2023春·河南濮阳·高三统考阶段练习）在正三棱锥中，，若球与三棱锥的六条棱均相切，则球的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【典例15】（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）已知某圆锥的内切球的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为__________．

【规律方法】

1. 求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.

2．解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：

题型六  空间几何体面积、体积的综合问题

【典例16】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正三棱锥S﹣ABC的底面边长为2，正三棱锥的高SO＝1．

(1)求正三棱锥S﹣ABC的体积；

(2)求正三棱锥S﹣ABC表面积．

【典例17】（2023·高一单元测试）已知是底面边长1的正四棱柱，为与的交点．

(1)设与底面所成的角为，求该棱柱的侧面积；

(2)若点到平面的距离为，求四棱柱的体积．

一、单选题

1．（2023·广东·校联考模拟预测）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·全国·高一专题练习）在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

4．（2023·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为2，棱的中点为S，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

5．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）如图甲，在矩形中，，，为上一动点（不含端点），且满足将沿折起后，点在平面上的射影总在棱上，如图乙，则下列说法正确的有（    ）

A．翻折后总有

B．当时，翻折后异面直线与所成角的余弦值为

C．当时，翻折后四棱锥的体积为

D．在点运动的过程中，点运动的轨迹长度为

三、填空题

6.（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．

7．（2021春·陕西汉中·高一校考期中）已知球是四棱锥的外接球，四边形是边长为1的正方形，点在球面上运动且，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积是___________.

8．（2023·高一单元测试）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足，平面，，若三棱锥的体积为，则该“鞠”的体积的最小值为______.

9．（2023·全国·高一专题练习）直三棱柱的所有棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______．

10．（2021春·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知A，B是球O的球面上两点，，C为该球面上的动点，当三棱锥体积最大时的高为6，则球O的表面积为__________．

11．（2023·高一课前预习）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积___________；表面积______________.

四、解答题

12. （2023·高一课时练习）若圆柱底面直径和高都等于球的直径，求圆柱与球的表面积之比.

13．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱中有一内接长方体，设矩形的面积为S，长方体的体积为V，，

(1)将S表示为x的函数；

(2)求V的最大值．

14．（2023·河南焦作·统考模拟预测）如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且．现将沿翻折到，如图2．

(1)证明：．

(2)已知，求四棱锥的体积．

15．（2023春·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考阶段练习）现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．

(1)若，，则仓库的容积（含上下两部分）是多少？

(2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6m，当为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？

16. （2023·全国·高一专题练习）如图，是圆柱的母线，线段的两个端点分别在圆柱的两个底面圆周上，它与圆柱的轴所成的角为，且，轴到平面的距离为3，求此圆柱的侧面积及体积.