高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数教案设计

第4章   指数与对数

4.2  对数

第2课时  对数的概念

1.了解对数的概念．

2.会进行对数式与指数式的互化．

3.会求简单的对数值．

教学重点：对数的概念、对数式与指数式的互化．

教学难点：会求简单的对数值．

PPT课件．

一、新课导入

 “对数”(logarithm)一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来表示对数．

俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么地高！那么，“对数”到底是什么呢？

设计意图：

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习对数概念．（板书：4.2.1  对数的概念）

【探究新知】

问题1：对于函数y＝2x，给定任意一个x，我们可通过幂的运算计算出任一个y的值．反之，如果知道y值，能否计算出x值呢？

师生活动：学生分析，给出答案．

预设的答案：能．问题转化为已知底数和幂的值求指数的问题．

追问1：对数的概念如何定义？

师生活动：学生阅读P81，给出答案．

预设的答案：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中，a叫作对数的底数，N叫作真数．ax＝N叫指数式，x＝logaN叫对数式，这两个等式是等价的．

(2)常用对数与自然对数：

通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把log10N记作lgN；以无理数e＝2.71828…为底数的对数称为自然对数，并且把logeN记为lnN．

追问2：怎样理解对数式的意义？

师生活动：学生思考，给出答案．

预设的答案：“三角度”理解对数式的意义．

角度一：对数式logaN可看作一种记号，只有在a＞0，a≠1，且N＞0时才有意义．

角度二：对数式logaN也可以看作一种运算，是在已知ab＝N求b的前提下提出的．

角度三：logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写，也不可认为是loga与N的乘积．

追问3：为什么零和负数没有对数？1的对数是多少？

预设的答案：由对数的定义ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．1的对数是0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)

追问4：你能推出对数恒等式 (a>0且a≠1，N >0)吗？

预设的答案：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得，称为对数恒等式．

设计意图：通过指数式定义对数的概念，明确指数式与对数式互化的方法及对数的基本性质．

【巩固练习】

例1. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)3－2＝；　　　　(2)－2＝16；

(3)log27＝－3;     (4)log64＝－6．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)∵3－2＝，∴log3＝－2．

(2)∵－2＝16，∴log16＝－2．

(3)∵log27＝－3，∴－3＝27．

(4)∵log64＝－6，∴()－6＝64．

反思与感悟：指数式对数式互化的方法

(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

设计意图：掌握指数式与对数式互化的方法．

例2. 求下列各式中的x的值：

(1)log64x＝－；  (2)logx8＝6；

(3)lg100＝x;       (4)－lne2＝x．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝．

(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝．

(3)10x＝100＝102，于是x＝2．

(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e-x＝e2．所以x＝－2．

设计意图：利用指数式与对数式互化求值．

例3. 求下列各式中x的值：

(1)log2(log5x)＝0；

(2)log3(lg x)＝1；

(3)log3(log4(log5x))＝0.

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)∵log2(log5x)＝0，

∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5．

(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，

∴x＝103＝1000．

(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625．

反思与感悟：利用对数性质求解的两类问题的解法．

(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．

(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．

设计意图：利用对数的基本性质求值。

【课堂小结】

1．     板书设计：

4.2.1  对数的概念

1. 指数式、对数式的互化   例1

2. 对数的计算             例2

3. 对数的基本性质         例3

2．总结概括：

问题：1.对数的概念如何理解？

2.指数式与对数式互化的方法是什么？

3.利用指数式与对数式的互化求变量值的策略是什么？

4.对数的基本性质有哪些？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．

预设的答案：1.(1)对数的概念中出现了两个等式：指数式ax＝N和对数式x＝logaN，这两个等式是等价的，它们之间的关系如下：

根据这个关系可以将指数式化成对数式，也可以将对数式化成指数式．

(2)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：

2.将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

3. (1)已知底数与指数，用指数式求幂．

(2)已知指数与幂，用指数式求底数．

(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．

4. (1)零和负数无对数，即真数N＞0．

(2)底的对数为1，1的对数为0，即logaa＝1，loga1＝0(a＞0且a≠1)．

(3)对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a＞0，且a≠1)．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确对数的有关知识．

布置作业：

【目标检测】

1. 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是(　　)

A．b<2或b>5   B．2<b<5

C．4<b<5   D．2<b<5且b≠4

设计意图：巩固对数的概念．

2. 设，则的值等于（    ）

A．10 B．13 C．100 D．

设计意图：巩固对数的基本性质．

3. 若，则的值是（    ）

A． B． C． D．

设计意图：巩固对数的概念及基本性质．

4. 下列四个等式正确的是（    ）

A． B．

C．若，则 D．若，则

设计意图：巩固对数的基本性质．

5. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)54＝625；  (2)3a＝27；(3)log64x＝－；(4)logx8＝6

设计意图：巩固指数式与对数式互化的方法．

6.求下列各式的值：

(1)log927；；（3）

设计意图：巩固指数式与对数式互化的方法．

参考答案：

1. ∵，∴2<b<5且b≠4．故选D．

2.由对数的性质，得，所以，故选：B．

3. ，，所以．故选：A．

4. 对于A，因为，所以，故A正确；

对于B，因为，所以，故B错误；

对于C，若，则，故C错误；

对于D，若，则 ，故D错误．故选：A．

5.（1）(1)log5625＝4；(2) log327＝a；(3)；(4) x6＝8．

6. (1)设x＝log927，则9x＝27，32x＝33，∴x＝．

(2)设则∴x＝16．

(3)设

则，

所以x＝1．