初二数学人教版春季班 第5讲 特殊的平行四边形--提高班 试卷

初二数学人教版下册春季班

第5讲  特殊的平行四边形

知识点1：矩形

1.矩形的性质：

（1）矩形具备平行四边形的所有性质；

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线平分且相等

（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

2.矩形的判定定理：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形

【典例】

例1 （2020秋•子洲县期中）如图，矩形中，，，点是边上一动点，则的最小值为　　．

例2 （2020秋•香坊区月考）如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

例3 （2020春•横县期末）如图，已知是矩形一边的中点，延长至点，连接，，，得到．且，，．

（1）求的长；

（2）求证：．

例4 （2020春•番禺区期中）如图，▱ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO．求证：▱ABCD是矩形．

例5 （2019秋•东莞市校级期末）如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）求证：四边形EGCF是矩形．

【随堂练习】

1．（2020秋•武侯区校级期中）如图，在矩形中，，．过点作于，则等于　　．

2．（2020秋•九龙坡区校级月考）如图，点在矩形的边上，连接，，过点作于点，且．

（1）证明：；

（2）若，求的度数．

3．（2020春•南京期末）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．

（1）求证：DE＝BF；

（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．

知识点2：菱形

1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2.菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；

           （2）菱形的四边都相等；

           （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

           （4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；

菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。

3.菱形的判定定理：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形；

【典例】

例1（2020春•河西区期中）如图，菱形花坛的一边长为，，沿着该菱形的对角线修建两条小路和．

求和的长；

求菱形花坛的面积．

例2 （2020春•呼和浩特期末）如图，、分别是菱形的边、的中点，且，．

（1）是什么三角形？证明你的结论．

（2）求线段的长．

例3 （2020•海陵区一模）已知：如图，是的角平分线，点、分别在、上，且，．

（1）求证：；

（2）当时，试说明四边形为菱形．

例4（2020春•九龙坡区期末）如图，为平行四边形的对角线，，是的中点，是的中点，连接并延长交于点，连接．

（1）求证：；

（2）证明四边形是菱形．

【随堂练习】

1．（2020春•兴城市期末）如图，在菱形中，．两条对角线、相交于点．若，求的长．

2．（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形中，、分别是和上的点，且．

（1）求证：；

（2）若，，求的度数．

3．（2020春•叙州区期末）如图，已知中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，且，连接．

（1）求证：；

（2）若四边形要为菱形，则需要添加什么条件？证明你的结论．

4．（2020秋•铁岭月考）如图，在中，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，．

（1）求证：；

（2）当满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由．

知识点3：正方形

1.正方形的性质：

（1）正方形的四边都相等，四个角都是90°；

（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

2.正方形的判定方法：

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；

（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（4）对角线相等的菱形是正方形；

（5）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形；

（6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（7）有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形．

【典例】

例1 （2020秋•沈阳期末）如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，边作交边于于点，且点不与点，重合，作，，垂足分别为点和．

（1）求证：；

（2）求证：．

例2 （2020•黄埔区模拟）如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

例3 （2020春•新乡期末）如图，在四边形中，，对角线平分，是上一点，过点作，，垂足分别为、．

（1）求证：；

（2）若　　时，四边形是正方形，并说明理由．

例4 （2020春•嘉定区期末）已知平行四边形，对角线、相交于点，且，延长至点，使，连接．

（1）当时，求证：；

（2）当时，求证：四边形是正方形．

【随堂练习】

1．（2020•西宁）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．

（1）求证：；

（2）若，求的度数．

2．（2020•安徽一模）如图，正方形的顶点在直线上，分别过点，作直线的垂线，点，为垂足，连接．

（1）求证：；

（2）若，，求的面积．

3．（2020春•盘龙区期末）已知：如图，在中，，，为外角的平分线，．

（1）求证：四边形为矩形；

（2）猜想当、满足怎样的数量关系时，四边形是正方形，并说明理由．

综合运用

1．（2020秋•荥阳市期中）如图，菱形对角线，交于点，，过点作交的延长线于点．若菱形的面积为4，则菱形的边长为　　

A． B．2 C． D．4

2．（2020秋•河南期中）如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为　　

A．4 B．6 C．8 D．12

3．（2020秋•兴庆区校级期中）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长是　　．

4．（2020•聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．

5．（2020秋•陆川县期中）如图，已知矩形的边长，，为的中点，在边上取点使，过点作于点．

（1）求证：；

（2）求的长．

6．（2020秋•城关区校级月考）已知：如图，中，，，，是边上一个动点，连接，作，作交于点，连接与交于点．

（1）求证：；

（2）若四边形是菱形，求菱形的面积．

7．（2020秋•郫都区校级月考）如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）连接，若，，求的长．

8．（2020秋•皇姑区期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长，交延长线于点，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，则当　　时，四边形是菱形．

9．（2020春•莒县期末）如图，，是正方形的对角线上的两点，且．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若正方形边长为3，，求菱形的面积．

10．（2020秋•山西月考）如图，在正方形中，点．分别在和上，，连接．

（1）求证：为等腰三角形．

（2）过点作，过点作，判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论．

11．（2020春•卫滨区校级月考）如图，中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．

（1）如果，试猜想四边形的形状，并证明你的结论；

（2）满足什么条件时四边形为正方形，并证明你的结论．