初中人教版第十八章 平行四边形综合与测试精练

专题07 平行四边形中动态问题讲义

典例解析

题型一、【存在性】

【例1】（2020·辽宁沈阳市期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝15cm，动点P从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度运动；动点Q从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为t秒，则当t＝（   ）秒时，四边形ABPQ为矩形．

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C.

【解析】解：设动点的运动时间为t秒，

∵四边形ABPQ为矩形，

∴AQ=BP，

∵点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，

∴15﹣t＝2t．

解得：t＝5．

故答案为：C．

【例2】（2019·江门市模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线D﹣C﹣B﹣A﹣D方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线D﹣A﹣B﹣C﹣D方向以1cm/s的速度运动．若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，若点E在线段BC上，且BE=3cm，经过_____秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．

【答案】.

【解析】如图，

BE=3，CE=5，CD+CE=9

由题意知，N、M相遇在A点，即N点在AD上，

当AN=ME且M在线段BC上时，满足题意，

故当M在线段BC上时（2≤t≤6），ME=9-2t或2t-9，AN=8-t

∴9-2t=8-t或2t-9=8-t，

解得：t=1（舍）或t=

故答案为：．

【例3】（2018·湖北武汉市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm．点P从A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，使PQ＝CD需要__________秒.

【答案】6或7.

【解析】解：（1）当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形

设运动时间为t秒，

∴24-t=3t        

解得：t=6s，

（2）设运动时间为t秒，则AP=tcm，CQ=3tcm，

∴BQ=26-3t，

过P作PM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，

则NC=BC-AD=26-24=2．

∴NC=QM=2，

∴BM=（26-3t）+2=28-3t，

当AP=BM，即t=28-3t，解得t=7，

故答案为：6s或7s．

【例4】（2019·长春吉大附中期中）如图，在矩形中，，动点分别同时从两点出发，动点以的速度沿向终点作匀速往返运动，动点以的速度沿向终点匀速运动，设两动点的运动时间是．

（1）试用含有的代数式表示．

（2）当自返回(包括端点）的过程中，当为等腰三角形时，求的值．

（3）连接，设交于，当时，求的值．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）当P从B→C运动时，即0≤t＜1.5，BP=6t，

当P从C→B运动时，即1.5≤t≤3，BP=18-3t；

（2）当P与C重合时，此时Q为AD中点，

∵AQ=DQ==4.5=DC，

∴△PQD为等腰三角形，

∴t=1.5s；

在P在返回的过程中，DQ=4.5=DC，不存在PD=DQ、PQ=DQ的情况，

当PD=PQ时，

如图，过P作PH⊥AD于H，

∴四边形CDHP为矩形，

∴QH=DH=PC，

∵PC=6t-9，DQ=9-3t，

∴6t-9=，

解得：t=1.8；

综上所述，当△PQD为等腰三角形时，t的值为1.5s或1.8s；

（3）当P在B－C时，

此时PC=9-6t，AQ=3t

∴9-6t=3t

解得：t=1；

当P在C-B时，

此时CP=6t-9，AQ=3t，

∴6t-9=3t

解得：t=3；

综上所述，t的值为1或3.

【例5】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动。规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。设运动时间为t，求：

（1）当t为何值时，PQ∥CD？

（2）当t为何值时，PQ=CD？

【答案】（1）t=6；（2）t=6或t=7.

【解析】解：根据题意得：PA=t，CQ=3t，则PD=AD-PA=24-t．

（1）∵AD∥BC，

即PQ∥CD，

∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，

即24-t=3t，

解得：t=6，

即当t=6时，PQ∥CD；

（2）若PQ=DC，分两种情况：

①PQ=DC，由（1）可知，t=6，

②PQ≠DC，由QC=PD+2（BC-AD），

可得：3t=24-t+4，

解得：t=7．

【例6】（2019·广东实验中学月考）如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以3的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2的速度运动．

（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？

（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．

【答案】见解析．

【解析】解：（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，

由题意得：3t+2t=16，

解得：t=，

即经过秒两点第一次相遇；
（2）①当0≤t≤时，

∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DM=AN，DM//AN．DN//AB
∴∠MDB=∠C=60°，∠NDC=∠B=60°
∴∠NDC=∠C．
∴ND=NC
∴DM+DN=AN+NC=AC+BN=8，

即：3t+2t=8，t=，
此时点D在BC上，且BD=，
②当＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③4＜t≤时，

∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN=AM，AM∥DN．
∴∠NDB=∠ACB=60°
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B=60°．
∴∠MDB=∠B．
∴MD=MB．
∴MB+NC=AN+CN=8，

3t-8+2t-8=8，解得：t=，
此时点D在BC上，且BD=，
④当＜t≤8时，

则BN=16-2t，BM=24-3t，
由题意可知：△BNM为等边三角形，
∴BN=BM，即：2t-8=3t-16，解得t=8，此时M、N重合，不能构成平行四边形．

【例7】如图，在菱形中，对角线、相交于点．，，点为上一动点，点以的速度从点出发沿向点运动．设运动时间为，当________时，为等腰三角形．

【答案】5或8或.

【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8cm，BD=6cm，

∴AC⊥BD，AO=OC=4cm，BO=OD=3cm，

由勾股定理得：BC=AB=AD=CD=5cm，

①当PA=AB=5cm时，t=5÷1=5（s）；

②当P和C重合时，PB=AB=5cm，t=8÷1=8（s）；

③作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB=PA，连接PB，

在Rt△BOP中，由勾股定理得：BP2=BO2+OP2，

AP2=32+（4-AP）2，

AP=，

t=÷1=（s），

故答案为：5或8或.

【例8】（2020·四川攀枝花期末）如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿着线路AB—BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC－CB－BA做匀速运动．

（1）求BD的长．

（2）已知动点P运动的速度为2cm/s，动点Q运动的速度为2.5cm/s．经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，试判断△AMN的形状，并说明理由．

（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为acm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF为直角三角形，试求a值．

【答案】（1）BD=12；（2）△AMN为直角三角形；（3）1或3或6．

【解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形

∴AD=AB=BC=CD=12

∵∠A＝60°

∴△ABD是等边三角形

∴BD=12

（2）△AMN为直角三角形，

点Q到达AB的中点，点N为AB的中点．

∵△ABD是等边三角形，而MN为中线

∴MN⊥AB

∴△AMN为直角三角形

（3）∵△ABD为等边三角形

∴∠ABD=60°

经过3秒后，点P运动的路程为6cm．点Q运动的路程为3acm

∵点P从点M开始运动，即DE=6cm

∴点E为DB的中点，即BE=DE=6cm

①当点Q运动到F点，且点F在NB上，则NF=3a

∴BF=BN-NF=6-3a

∵△BEF为直角三角形，而∠FBE=60°

∴∠EFB=90°

∴∠FEB=30°

∴BF=BE

∴6-3a=×6，即a=1

②当点Q运动到F点，且点F在BC上，则NF=3a

∴BF=NF-BN=3a-6

∵△BEF为直角三角形，而∠FBE=60°

（i）若∠EFB=90°，则∠FEB=30°

∴BF=BE

∴3a-6=×6，即a=3

（ii）若∠FEB=90°，即FB⊥BD，而DE=BE

∴点F在BD的垂直平分线上

∴此时点F在点C处

∴3a=6+12，即a=6

综上所述，若△BEF为直角三角形，a的值为1或3或6．

题型二、【最值问题】

【例9】（2020·江苏无锡期中）如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（    ）

A． B． C． D．

【答案】D.

【解析】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC=AD=
在Rt△BHC中，BH=CH=3 ，
∴HG=HC-GC=3-2=1，
∴Rt△BHG中，BG= ，

当点F与点B重合时，PE+PF最小，最小值=PG+PB=BG，
∴PE+PF的最小值为．
故答案为：D．

【例10】（2019·山东滨州）如图，在菱形ABCD中，，且，点F为对角线AC的动点，点E为AB上的动点，则的最小值为______．

【答案】.

【解析】解：连接BD、DF，过D作DH⊥AB于H．

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°

∴AD=AB，△DBA是等边三角形

∴B、D关于AC对称，BF=DF

由垂线段最短知，当D、F、E共线，且与DH重合时，BF+EF的值最小，最小值为DH的长，DH=.

故答案为：．

【例11】（2019·浙江杭州市）如图，矩形ABCD中，AD＝6，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是_____．

【答案】6.

【解析】解：

作点A关于直线CD的对称点E，过E作EP⊥AC于P，交CD于点Q．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，

∴DQ⊥AE，

∵DE＝AD，

∴QE＝QA，

∴QA+QP＝QE+QP＝EP，

∴此时QA+QP最短（垂线段最短），

∵∠CAB＝30°，

∴∠DAC＝60°，

在RT△APE中，∵∠APE＝90°，AE＝2AD＝12，

∴EP＝6

故答案为：6．

【例12】（2020·福建泉州期末）如图，是长方形内部的动点， ，的面积等于9，则点到两点距离之和的最小值为__________.

【答案】.

【解析】解：由题意得：△BPC中BC边上的高为3，

∴CM=3，延长CD到E使ME=MC，此时PC=PE，

连接BE交MN与点P，此时PB+PC最短，最小值为BE的长

在Rt△BCE，由勾股定理得：BE=

故答案为：.

【例13】如图，长方形，长，宽，点P是边上的一个动点，连结、，则的面积为________，的最小值是__________．的最小值是______________．

【答案】12；10；.   

【解析】解：①过点P作PE⊥AD于E，

∴PE⊥AD

∵ABCD是长方形

∴PE=AB=4

∴△PAD面积为12

②作点D关于BC对称点D’，连接AD’交BC于P，

此时PA+PD长度最小，最小值为AD’的长，

由勾股定理得：AD’=10

即PA+PD的最小值是10；

③过点C做直线CE，使CE与BC的夹角成30°，过点P作CE的垂线，垂足为E，

则PE=PC

∴PA+PC的最小值为PA+PE的最小值，

当P、A、E共线时，PA+PE最小，

由勾股定理得：BP=，AP=

∴PE=

∴AE=AP+PE=

即PA+PC的最小值为.

【例14】（2020·陕西宝鸡）如图，菱形的边长为，点是上一动点(不与重合)，点是上一动点，则面积的最小值为____．

【答案】.

【解析】解：连接BD，

∵菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°，

∴AB=BC=CD=AD=4，∠BAD=∠BCD=60°，

∴△ABD与△BCD为等边三角形，

∴∠FDB=∠EAB=∠ABD =60°，BA=BD，

∵AE+CF=4，DF+CF=CD=4，

∴AE=DF，

在△BDF和△BAE中，，

∴△BDF≌△BAE，

∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，

∴∠EBF=∠ABD=60°，

∴△BEF是等边三角形，

∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时点E为AD的中点，

∴AE=2，则BE=EF=，

过点F作FG⊥BE于点G，则点G为BE中点，

∴，则，

∴△BEF面积的最小值=，

故答案为：．

题型三、【折叠】

【例15】（2020·江苏镇江市期末）如图，在矩形中，，点分别在上，且，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为________．

【答案】或10.

【解析】解：设CE=CE’=x，

①当E点在线段BC上时，

∵矩形ABCD中，AB=5，

∴CD=AB=5，AD=BC=6，AD∥BC，

∵点M，N分别在AD，BC上， ，

∴DM=CN=4，

∴四边形CDMN为平行四边形，

∵∠NCD=90°，

∴四边形MNCD是矩形，

∴∠DMN=∠MNC=90°，MN=CD=5，

由折叠知，CD=C’D=5

∴C’M=3

∴C’N=2

又EN=CN-CE=4-x，

∴x2=22+（4-x）2，

解得，x=2.5，即CE=2.5；

（2）当E点在CB的延长线上时，

同理，MN=CD=5，CD=C’D=5， MC’=3，C’N=8， EN=CE-CN=x-4，

由勾股定理得：x2=82+（x-4）2，

解得：x=10，即CE=10；

综上，CE=2.5或10．

故答案为：2.5或10．

【例16】（2020·河南焦作期末）如图，点在边上，点为边上一动点，连接与关于所在直线对称，点分别为的中点，连接并延长交于点连接．当为直角三角形时，的长为_______．

【答案】2或.

【解析】解：①当∠A'EF=90°时，

∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴A'C=AC=2，∠ACB=∠A'CB，

∵点D，E分别为AB，BC的中点，

∴D、E是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，

∴∠BDE=∠MAN=90°，

∴∠BDE=∠A'EF，

∴AB∥A'E，

∴∠ABC=∠A'EB，

∴∠A'BC=∠A'EB，

∴A'B=A'E，

Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，

∴BC=2A'E，

由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，

∴AE′=

∴AB=；

②当∠A'FE=90°时，

∵∠ADF=∠A=∠DFC=90°，

∴∠ACF=90°，

∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴∠ABC=∠CBA'=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC=2；

故答案为：或2.