初二数学人教版春季班 第5讲 特殊的平行四边形--尖子班 试卷

初二数学人教版下册春季班

第5讲  特殊的平行四边形

知识点1：矩形

1.矩形的性质：

（1）矩形具备平行四边形的所有性质；

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线平分且相等

（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

2.矩形的判定定理：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形

【典例】

例1 （2020春•长清区期末）已知：如图，在矩形中，是的中点，连接、．

（1）求证：；

（2）若，，求的周长．

例2 （2020春•句容市期中）如图，在矩形中，点在上，且平分．

（1）是否为等腰三角形？请给出证明；

（2）若，，求的长．

例3 （2020•广西）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．

（1）求证：△ADE≌△BDF．

（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形．

【随堂练习】

1．（2020秋•北碚区校级月考）如图，在矩形中，点、为对角线上两点，且．

（1）证明：四边形为平行四边形；

（2）若，，，求平行四边形的面积．

2．（2020春•常州期中）如图，矩形中，，，点在上，点在边上，平分．

（1）判断的形状，并说明理由；

（2）若点是的中点，求的长．

3．（2020春•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内任意一点，点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点，∠A＝2∠BDF．求证：四边形DEGF是矩形．

知识点2：菱形

1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2.菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；

           （2）菱形的四边都相等；

           （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

           （4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；

菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。

3.菱形的判定定理：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形；

【典例】

例1（2020春•沙依巴克区期末）已知：如图，菱形的周长为，，对角线和相交于点，

（1）求和的长；

（2）求菱形的面积．

例2 （2020•兴庆区校级一模）如图，四边形是菱形，交的延长线于点，交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，，求菱形的面积．

例3 （2020春•五莲县期末）如图，四边形是平行四边形，、分别为边、的中点，连结、、．

（1）求证：；

（2）若，证明：四边形是菱形．

例4 （2020春•洛阳期末）如图，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，，，当为　　时，四边形是菱形．

【随堂练习】

1．（2020秋•南关区校级月考）如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连结，若，则等于　　

A． B． C． D．

2．（2020秋•漳州期中）如图，在菱形中，为对角线上一点，且，连接．

（1）求证：．

（2）当于点，时，求菱形的边长．

3．（2020春•古冶区期中）如图，在中，、分别为边、的中点，连接、、．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）当时，求证：四边形是菱形．

4．（2020春•淮安区期中）如图，在中，点为对角线的中点，过点的直线分别交，于，两点，连接，．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）当　　时，四边形为菱形？

知识点3：正方形

1.正方形的性质：

（1）正方形的四边都相等，四个角都是90°；

（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

2.正方形的判定方法：

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；

（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（4）对角线相等的菱形是正方形；

（5）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形；

（6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（7）有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形．

【典例】

例1 （2020春•岱岳区期末）如图，已知正方形，点是上的一点，连结，以为一边，在的上方作正方形，连结．

求证：（1）；

（2）．

例2（2020•任城区三模）如图，为正方形边上任一点，于点，在的延长线上取点，使，连接，作于．

（1）求证：；

（2）连，若的面积为25，求的长．

例3（2020春•岳麓区校级月考）已知：如图，平行四边形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）连接、，当时，求证四边形是正方形．

例4 （2020春•唐河县期末）如图，在中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．

（1）求证：四边形是菱形．

（2）若，求证：四边形是正方形．

【随堂练习】

1．（2020春•南平期末）已知：是正方形对角线上一点，，，垂足分别为，．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

2．（2020春•中山市校级月考）如图，已知正方形的面积是8，连接、交于点，平分交于点，，交于点，

（1）求的度数；

（2）求的长．

3．（2020•海东市一模）如图，在中，，是边上的中线，点是边上一点，过点作，交的延长线于点，连接，．

（1）求证：．

（2）若，求证：四边形是正方形．

综合运用

1．（2020秋•荥阳市期中）如图，菱形对角线，交于点，，过点作交的延长线于点．若菱形的面积为4，则菱形的边长为　　

A． B．2 C． D．4

2．（2020秋•河南期中）如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为　　

A．4 B．6 C．8 D．12

3．（2020秋•兴庆区校级期中）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长是　　．

4．（2020•聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．

5．（2020秋•陆川县期中）如图，已知矩形的边长，，为的中点，在边上取点使，过点作于点．

（1）求证：；

（2）求的长．

6．（2020秋•城关区校级月考）已知：如图，中，，，，是边上一个动点，连接，作，作交于点，连接与交于点．

（1）求证：；

（2）若四边形是菱形，求菱形的面积．

7．（2020秋•郫都区校级月考）如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）连接，若，，求的长．

8．（2020秋•皇姑区期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长，交延长线于点，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，则当　　时，四边形是菱形．

9．（2020春•莒县期末）如图，，是正方形的对角线上的两点，且．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若正方形边长为3，，求菱形的面积．

10．（2020秋•山西月考）如图，在正方形中，点．分别在和上，，连接．

（1）求证：为等腰三角形．

（2）过点作，过点作，判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论．

11．（2020春•卫滨区校级月考）如图，中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．

（1）如果，试猜想四边形的形状，并证明你的结论；

（2）满足什么条件时四边形为正方形，并证明你的结论．