北师大版 (2019)必修 第一册1.2 集合的基本关系导学案

1.2　集合的基本关系

1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？

2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？

1．Venn图

用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．

2．子集、集合相等、真子集

(1)任意两个集合之间是否有包含关系？

(2)符号“∈”与“⊆”有什么区别？

[提示]　(1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系．

(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.

②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}．

③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．

1.已知集合P＝{－1,0,1,2}，Q＝{－1,0,1}，则(　　)

A．P∈Q B．P⊆Q 

C．Q⊆P D．Q∈P

C　[集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P.]

2.已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则(　　)

A．BA B．AB

C．B<A D．A<B

A　[由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可．如图所示，由图可知，BA.

]

3.设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝__________.

－1　[因为{2,9}＝{1－a,9}，则2＝1－a，所以a＝－1.]

类型1　集合间的关系的判断

【例1】　判断下列各组中集合间的关系．

(1)A＝，B＝{x|x是等边三角形}；

(2)A＝，B＝；

(3)A＝，B＝；

(4)A＝，B＝.

[解]　(1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故BA.

(2)A＝B.

(3)把集合A与B在数轴上表示出来，根据定义易得AB.

(4)A＝，B＝，又，所以AB.

判断集合间关系的常用方法

(1)列举观察法

当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．

(2)集合元素特征法

先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．

一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．

(3)数形结合法

利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．

1．(多选)下列关系中，正确的有(　　)

A．0∈{0} B．∅{0}

C．{0,1}{(0,1)} D．{(1,2)}＝{(2,1)}

AB　[对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以{0}正确；对于C，{0,1}是数集，{(0,1)}是点集，所以C错误；对于D，{(1,2)}与{(2,1)}是不同的点集，所以D错误．]

2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)

　A　　 　　B　　　  C　　 　　D

B　[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．]

3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：

(1)A________B；(2)A________C；

(3){2}________C；(4)2________C.

(1)＝　(2)　(3)　(4)∈　[集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.]

类型2　子集个数问题

【例2】　已知M⊆，试写出满足条件的所有集合M.

[解]　集合M含有元素1,2，且含有3,4,5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：

含有3个元素：，，；

含有4个元素：，，；

含有5个元素：.

故满足条件的集合M共有上述7个集合．

求集合子集、真子集个数的3个步骤

4．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　　)

A．2 B．4 

C．6 D．8

B　[根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．]

5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．

[解]　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，

∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}，

∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．

A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．

类型3　集合间的关系的应用

【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．

[解]　 当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，

当B≠∅时，有解得2＜m≤4.

综上得m≤4.

1．对于本例中的集合A，B，是否存在实数m使A⊆B?

[解]　 若A⊆B，则 ，该不等式组无解，故实数m不存在．

2．若将本例中的“A＝{x|－2≤x≤7}”改为“A＝”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

[解]　当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，

当B≠∅时，有或解得m≥6，综上得m≤2或m≥6.

由集合的包含关系求参数的方法

(1)当集合为不连续实数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；

(2)当集合为连续实数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．

注意：(1)不能忽视集合为∅的情形．

(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．

6．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，求m的值．

[解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．

因为BA，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅.

当B＝{－3}时，

由m·(－3)＋1＝0，得m＝.

当B＝{2}时，

由m·2＋1＝0，得m＝－.

当B＝∅时，m＝0.

综上所述，m＝或m＝－或m＝0.

子集个数的探究

观察下表并回答后面的问题．

[问题探究]

1．若集合A有n个元素，则集合A有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？

[提示]　若集合A含有n个元素，则集合A有2n个子集；其真子集要去掉集合A本身，故有2n－1个；非空真子集要去掉集合A本身与空集，故有2n－2个．

2．对于有限集A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中有m个元素(n，m∈N，且n>m)．

(1)当B⊆C⊆A时，满足条件的C有多少个？

(2)如果集合C分别满足如下条件：B⊆CA，BC⊆A，BCA，那么C的个数为多少？

[提示]　(1)由表格中的集合可知，若B⊆C⊆A，则集合C中一定有集合B的全部元素，也就是A中元素去掉B中元素后剩余元素构成的集合的子集，故有2n－m个．

(2)①当B⊆CA时，在问题(1)的基础上，去掉与A集合相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个．

②当BC⊆A时，在问题(1)的基础上，去掉与B集合相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个．

③当BCA时，在问题(1)的基础上，去掉与A，B相等的两个集合，故有

2n－m－2个.

1．下列命题中正确的是(　　)

A．空集没有子集

B．空集是任何一个集合的真子集

C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集

D．设集合B⊆A，那么，若x∉A，则x∉B

D　[空集有唯一一个子集，就是其本身，故A、C错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B错误；由子集的概念知D正确．]

2．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是(　　)

A．A⊆B B．A⊇B 

C．AB D．AB

D　[集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以BA.]

3．集合A＝真子集的个数是(　　)

A．3 B．4

C．7 D．8

C　[因为A＝，所以其真子集的个数是23－1＝7.]

4．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．

6　[集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．]

5．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1,1－2a}，且B⊆A，则a的值为________．

－1或　[由题意得1－2a＝3或1－2a＝a，

解得a＝－1或a＝.

当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，符合条件．

当a＝时，A＝，B＝，符合条件．

所以a的值为－1或.]