九年级数学下册教案

这是一份人教版九年级下册本册综合教学设计，共155页。教案主要包含了课程目标，学情分析，教材分析，具体措施，师生互动，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

九年级数学下册教学计划
 一、课程目标 
（一）、本学段课程目标 知识技能 
1．体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。 
2．探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图；
3．体验数据收集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；进一步认识随机现象，能计算一些简单事件的概率。 
数学思考 
1．通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。 
2．了解利用数据可以进行统计推断，发展建立数据分析观念；感受随机现象的特点。 
3．体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。 
4．能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
 问题解决 
1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。 
2．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。 
3．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。 
4．能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。 
情感态度 
1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。  
2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。 
3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。 
4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。 

（二）、本学期课程目标 
教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理。使学生懂得数学来源与实践又反过来作用于实践。提高学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。培养学生应用数学知识解决问题的能力。 
二、学情分析 
本学期我担任九年级班的数学教学工作。共有学生36人，上学期期末考试成绩不理想，落后面比较大,学习风气还欠浓厚。正如人们所说的“现在的学生是低分低能”,我深感教育教学的压力很大，在本学期的数学教学中务必精耕细作。使用的教材是新课程标准实验教材《湘教版数学九年级下册》，如何用新理念使用好新课程标准教材？如何在教学中贯彻新课标精神？这要求在教学过程中具有创新意识、每一个教学环节都必须巧做安排。 
三、教材分析 
本册教材共分四章，二次函数、圆、投影与视图、概率。这些内容都是初中代数、几何及概率统计中的重要内容，起作承上启下的作用，它既是对已学过的知识的巩固和加深，又是为今后学习奠定基础。 
四、具体措施 
1、认真研读新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准及教材适度安排教学内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷。   
2、激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。   
3、引导学生积极参与知识的构建，营造自主、探究、合作、交流、分享发现快乐的课堂。   
4、引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本质的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发散思维，让学生处于一种思如泉涌的状态。   
5、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。   
6、教学中注重数学理论与社会实践的联系，鼓励学生多观察、多思考实际生活中蕴藏的数学问题，逐步培养学生运用书本知识解决实际问题的能力，重视实习作业。指导成立“课外兴趣小组”，开展丰富多彩的课外活动，带动班级学生学习数学，同时发展这一部分学生的特长。   
7、开展分层教学，布置作业设置a、b、c三类分层布置分别适合于差、中、好三类学生，课堂上的提问照顾好各个层次的学生，使他们都得到发展。 
8、把辅优补潜工作落到实处，进行个别辅导。

第1章 二次函数
1.1 二次函数

【知识与技能】
1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
【过程与方法】
经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.
【情感态度】
体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识.
【教学重点】
二次函数的概念.
【教学难点】
在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.

一、情境导入，初步认识
1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0 2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有.
二、思考探究，获取新知
二次函数的概念及一般形式
在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,
b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出.
三、典例精析，掌握新知
例1 指出下列函数中哪些是二次函数.
(1)y=(x-3)2-x2 ；(2)y=2x(x-1)；(3)y=32x-1；(4)y=；(5)y=5-x2+x.
【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析.
解:(2)(5)是二次函数,其余不是.
【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路:
1.将函数化为一般形式.
2.自变量的最高次数是2次.
3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0.
例2 讲解教材P3例题.
【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围.
例3 已知函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)(m是常数），当m为何值时:
(1)函数是一次函数;
(2)函数是二次函数.
【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式.
解:(1)由 得 ,
∴m=1.即当m=1时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是一次函数.
(2)由m2-m≠0得m≠0且m≠1,
∴当m≠0且m≠1时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数.
【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式.
四、运用新知，深化理解
1.下列函数中是二次函数的是（ ）
A. B.y=3x3+2x2 C.y=(x-2)2-x3 D.
2.二次函数y=2x(x-1)的一次项系数是（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.若函数 是二次函数，则k的值为（ ）
A.0 B.0或3 C.3 D.不确定
4.若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是 .
5.已知二次函数y=1-3x+5x2,则二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数项c= .
6.某校九（1）班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式 ，它 （填“是”或“不是”）二次函数.
7.如图,在边长为5的正方形中,挖去一个半径为x的圆（圆心与正方形的中心重合），剩余部分的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式；
（2）试求自变量x的取值范围；
（3）求当圆的半径为2时，剩余部分的面积（π取3.14，结果精确到十分位）.
【答案】1.D 2.D 3.A 4.a≠-2 5.5,-3,1 6. 是
7.（1）y=25-πx2=-πx2+25.
(2)0＜x≤52.
(3)当x=2时，y=-4π+25≈-4×3.14+25=12.44≈12.4.
即剩余部分的面积约为12.4.
【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，教师指导.
五、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾二次函数的有关概念.
2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?与同伴交流.
【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳.

1.教材P4第1~3题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活实际之中.















1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质

【知识与技能】
1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.
2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.
【过程与方法】
经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.
【情感态度】
通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.
【教学重点】
1.会画y=ax2(a＞0)的图象.
2.理解,掌握图象的性质.
【教学难点】
二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.

一、情境导入，初步认识
问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?
问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?
【教学说明】 ①略；②列表、描点、连线.
二、思考探究，获取新知
探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.
画二次函数y=ax2的图象.
【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.
②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.
③强调画抛物线的三个误区.
误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.
如图(1)就是y=x2的图象的错误画法.

误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.
如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x2的图象的错误画法.
误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.
如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x2图象的错误画法.
探究2 y=ax2(a＞0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x2, ,y=2x2的图象.
【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数y=ax2(a＞0)的图象和性质.
【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y随x的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调.
y=ax2(a＞0)图象的性质
1.图象开口向上.
2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最低点.
3.当x＞0时，y随x的增大而增大，简称右升；当x＜0时，y随x的增大而减小，简称左降.
三、典例精析，掌握新知
例 已知函数是关于x的二次函数.
(1)求k的值.
(2)k为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x在哪个范围内取值时，y随x的增大而增大？
【分析】此题是考查二次函数y=ax2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k的方程，进而求出k的值，然后根据k+2＞0，求出k的取值范围，最后由y随x的增大而增大，求出x的取值范围.
解:(1)由已知得 ,解得k=2或k=-3.
所以当k=2或k=-3时，函数是关于x的二次函数.
(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2＞0.
由（1）知k=2，最低点是（0,0),当x≥0时，y随x的增大而增大.
四、运用新知，深化理解
1.（广东广州中考）下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）
A.y=x2 B.y=x-1 C. D.y=
2.已知点（-1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A.y1＜y2＜y3 B.y1＜y3＜y2 C.y3＜y2＜y1 D.y2＜y1＜y3
3.抛物线y=x2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x≤0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大而 .
4.如图，抛物线y=ax2上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值.
【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.
【答案】1.D 2.A 3.上,(0,0),y轴， ，±3,减小，增大
4.解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x轴，且抛物线y=ax2上的点B，C关于y轴对称，又∵BC与y轴交于点E（0，6），∴B点为（-4，6），C点为（4，6），将（4，6）代入y=ax2得：a=.
五、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法及其性质.
2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.

1.教材P7第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课是从学生画y=x2的图象，从而掌握二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法，再由图象观察、探究二次函数y=ax2(a＞0)的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.















第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质

【知识与技能】
1.会用描点法画函数y=ax2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.
2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题.
【过程与方法】
经历探索二次函数y=ax2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.
【情感态度】
通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.
【教学重点】
①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质.
【教学难点】
二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.

一、情境导入，初步认识
1.在坐标系中画出y= x2的图象，结合y= x2的图象，谈谈二次函数y=ax2(a＞0)的图象具有哪些性质？
2.你能画出y=- x2的图象吗？
二、思考探究，获取新知
探究1 画y=ax2(a＜0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=- x2的图象.
【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学.
问:从所画出的图象进行观察,y= x2与y=- x2有何关系？
归纳：y= x2与y=- x2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y轴对称.(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)
探究2 二次函数y=ax2(a＜0)性质问：你能结合y=- x2的图象，归纳出y=ax2(a＜0)图象的性质吗？
【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调y=ax2(a<0)图象的性质.
1.开口向下.
2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点.
3.当x＞0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x＜0时，y随x的增大而增大，简称左升.
探究3 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质
学生回答：
【教学点评】一般地，抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 ，当a＞0时抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a越大，抛物线开口越 ；当a＜0时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a越大，抛物线开口越 ，总之，|a|越大，抛物线开口越 .
答案:y轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小
三、典例精析，掌握新知

例1 填空：①函数y=(-x)2的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是 .
②函数y=x2,y=x2和y=-2x2的图象如图所示，
请指出三条抛物线的解析式.
解:①抛物线，（0，0），y轴，向上；
②根据抛物线y=ax2中,a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=x2,中间为y=x2,在x轴下方的为y=-2x2.
【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.抛物线y=ax2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小.
例2 已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值.
【分析】把点(1,-1)的坐标代入y=ax2,求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值.
解:∵点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a·12，∴a=-1,∴抛物线为y=-x2.当y=-4时，有-4=-x2，∴x=±2.
【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值.
四、运用新知，深化理解
1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（ ）
A.抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴
B.抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称
C.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反
D.点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上
2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是（ ）

3.二次函数,当x＜0时，y随x的增大而减小，则m= .
4.已知点A（-1，y1),B(1,y2),C(a,y3)都在函数y=x2的图象上，且a＞1,则y1,y2,y3中最大的是 .
5.已知函数y=ax2经过点(1,2).①求a的值；②当x＜0时，y的值随x值的增大而变化的情况.
【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.
【答案】1.D 2.B 3.2 4.y3
5.①a=2 ②当x＜0时，y随x的增大而减小
五、师生互动，课堂小结
这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评：（1）y=ax2(a<0)图象的性质；（2）y=ax2(a≠0)关系式的确定方法.

1.教材P10第1~2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课仍然是从学生画图象,结合上节课y=ax2(a＞0)的图象和性质，从而得出y=ax2(a＜0)的图象和性质，进而得出y=ax2（a≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯.

















第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质

【知识与技能】
1.能够画出y=a(x-h)2的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h对二次函数图象的影响.
2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【过程与方法】
经历探索二次函数y=a(x-h)2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想.
【情感态度】
1.在小组活动中体会合作与交流的重要性.
2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识.
【教学重点】
掌握y=a(x-h)2的图象及性质.
【教学难点】
理解y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的位置关系，理解a,h对二次函数图象的影响.

一、情境导入，初步认识
1.在同一坐标系中画出y=x2与y= (x-1)2的图象，完成下表.

2.二次函数y= (x-1)2的图象与y=x2的图象有什么关系？
3.对于二次函数 (x-1)2,当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?
二、思考探究，获取新知
归纳二次函数y=a(x-h)2的图象与性质并完成下表.

三、典例精析，掌握新知
例1 教材P12例3.
【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”. 例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2,y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象.
例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合.①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1,y1),C(x2,y2)在抛物线l上，且-＜x1＜x2，试比较y1,y2的大小.
解:①∵y=x+1,∴令y=0，则x=-1,∴A（-1,0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2.
②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1,∵a=-2＜0,∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又-＜x1＜x2,∴y1＞y2.
【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点.
四、运用新知，深化理解
1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（ ）
A.-1 B.1 C.0 D.没有最小值
2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（ ）
A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第二、三象限
3.在反比例函数y= 中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（ ）

4.（1）抛物线y=x2向 平移 个单位得抛物线y=(x+1)2;
(2)抛物线 向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2.
5.（广东广州中考）已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2,且过点（1，-3）.
(1)求抛物线的解析式;
(2)画出函数的大致图象;
(3)从图象上观察,当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？
【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑.
【答案】1.C 2.A 3.B 4.(1)左,1 (2)y=-2x2
5.解：(1)y=-(x+2)2 (2)略 （3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0.
五、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.在学生回答的基础上,教师点评:(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系.

1.教材P12第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a,h对y=a(x-h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想.















第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质

【知识与技能】
1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.掌握y=a(x-h)2+k的图象和性质.
2.掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的位置关系.
3.理解y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2,y=ax2+k及y=ax2的图象之间的平移转化.
【过程与方法】
经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力.
【情感态度】
1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性.
2.体验数学活动中充满着探索性,感受通过认识观察,归纳,类比可以获得数学猜想的乐趣.
【教学重点】
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.
【教学难点】
由二次函数y=a(x-h)2+k的图象的轴对称性列表、描点、连线.

一、情境导入，初步认识
复习回顾:同学们回顾一下:
①y=ax2,y=a(x-h)2,（a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y随x的增减性分别是什么？
②如何由y=ax2(a≠0)的图象平移得到y=a(x-h)2的图象？
③猜想二次函数y=a(x-h)2+k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？
二、思考探究，获取新知
探究1 y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：
①y=-(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？
②将抛物线y=-x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线
y=-(x+1)2-1.
2.同学们讨论回答：
①一般地，当h＞0,k＞0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向上平移k个单位得抛物线y=a(x-h)2+k;平移的方向和距离由h,k的值来决定.
②抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？
探究2 二次函数y=a(x-h)2+k的应用
【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的图象是，对称轴是，顶点坐标是，当a＞0时，开口向，当a＜0时，开口向.
答案：抛物线，直线x=h,(h,k),上，下
三、典例精析，掌握新知
例1 已知抛物线y=a(x-h)2+k,将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=-3(x+1)2-4,求原抛物线的解析式.
【分析】平移过程中,前后抛物线的形状,大小不变,所以a=-3,平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式.
解:抛物线y=-3(x+1)2-4的顶点坐标为（-1,-4),它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2).故原抛物线的解析式为y=-3(x+4)2-2.
【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：顶点的变化.
例2 如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台OA的高度为2m，火炬的高度为12m,距发射台OA的水平距离为20m,在A处的发射装置向目标C发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最大高度20m时，相应的水平距离为12m.请你判断该火球能否点燃目标C？并说明理由.
【分析】建立适当直角坐标系,构建二次函数解析式,然后分析判断.
解:该火球能点燃目标.如图,以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，则点（12，20）为抛物线顶点，设解析式为y=a(x-12)2+20,∵点（0，2）在图象上，∴144a+20=2,∴a=- ,∴y=- (x-12)2+20.当x=20时，y=-×(20-12)2+20=12,即抛物线过点（20,12),∴该火球能点燃目标.
【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的应用关键是构造出二次函数模型.
四、运用新知，深化理解
1.若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2,则必须（ ）
A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
2.抛物线y=x2-4与x轴交于B,C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（ ）
A.4 B.4+4 C.12 D.2+4
3.函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是（ ）

4.二次函数y=-2x2+6的图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大.
5.已知函数y=ax2+c的图象与函数y=-3x2-2的图象关于x轴对称，则a= ,c= .
6.把抛物线y=(x-1)2沿y轴向上或向下平移，所得抛物线经过Q（3，0），求平移后抛物线的解析式.
【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，教师引导解疑.
【答案】1.B 2.B 3.C 4.y轴，（0，6），＜0 5.3,2 6.y=(x-1)2-4
五、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？
2.在学生回答的基础上，教师点评：①二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质；②如何由抛物线y=ax2平移得到抛物线y=a(x-h)2+k.
【教学说明】教师应引导学生自主小结，加深理解掌握y=ax2与y=a(x-h)2+k二者图象的位置关系.

1.教材P15第1~3题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

掌握函数y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k图象的变化关系，从而体会由简单到复杂的认识规律.















第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

【知识与技能】
1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.
2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.
3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.
【过程与方法】
1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.
2.在学习y=ax2+bx+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想.
【情感态度】
进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识.
【教学重点】
①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图象并能说出图象的性质.
【教学难点】
能利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.

一、情境导入，初步认识
请同学们完成下列问题.
1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式.
2.写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标.
3.画y=-2x2+6x-1的图象.
4.抛物线y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的图象.
5.二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何？
【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的转化过程.
二、思考探究，获取新知
探究1 如何画y=ax2+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？
学生回答、教师点评：
一般分为三步：
1.先用配方法求出y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.
2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象.
3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象.
探究2 二次函数y=ax2+bx+c图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？
学生回答，教师点评：
抛物线y=ax2+bx+c= ,对称轴为x=-,顶点坐标为(-,),当a＞0时，若x＞-，y随x增大而增大，若x＜-，y随x的增大而减小；当a＜0时，若x＞-，y随x的增大而减小，若x<-，y随x的增大而增大.
探究3 二次函数y=ax2+bx+c在什么情况下有最大值，什么情况下有最小值，如何确定？
学生回答，教师点评：
三、典例精析，掌握新知
例1 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴.
①y=x2-3x+21 ②y=-3x2-18x-22
解：①y=x2-3x+21
= (x2-12x)+21
=(x2-12x+36-36)+21
=(x-6)2+12.
∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为（6，12），对称轴是x=6.
②y=-3x2-18x-22=-3(x2+6x)-22=-3(x2+6x+9-9)-22=-3(x+3)2+5.
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为（-3,5)，对称轴是x=-3.
【教学说明】第②小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.
例2 用总长为60m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？
①S与l有何函数关系？
②举一例说明S随l的变化而变化?
③怎样求S的最大值呢?
解:S=l (30-l)
=- l2+30l (0＜l＜30)
=-( l2-30l)
=-( l-15)2+225
画出此函数的图象，如图.
∴l=15时，场地的面积S最大（S的最大值为225)
【教学说明】二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分.
四、运用新知，深化理解
1.（北京中考）抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为（ ）
A.(3,-4) B.(3,4) C.(-3,-4) D.(-3,4)

2.（贵州贵阳中考）已知二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）
A.有最小值5、最大值0
B.有最小值-3、最大值6
C.有最小值0、最大值6
D.有最小值2、最大值6
3.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴.

(1)给出四个结论：①a＞0;②b＞0;③c＞0；
④a+b+c=0.其中正确结论的序号是 .
(2)给出四个结论:①abc＜0;②2a+b＞0;③a+c=1;
④a＞1.其中正确结论的序号是 .
【教学说明】通过练习,巩固掌握y=ax2+bx+c的图象和性质.
【答案】1.A 2.B 3.(1)①④ (2)②③④
五、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.在学生回答的基础上，教师点评：
（1）用配方法求二次y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴；
（2）由y=ax2+bx+c的图象判断与a,b,c有关代数式的值的正负；
（3）实际问题中自变量取值范围及函数最值.

1.教材P15第1~3题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

y=ax2+bx+c的图象和性质可以看作是y=ax2,y=a(x-h)2+k，y=a(x-h)2+k的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律.







*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式

【知识与技能】
1.掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式.
2.由已知条件的特点,灵活选择二次函数的三种形式，合适地设置函数解析式,可使计算过程简便.
【过程与方法】
通过例题讲解使学生初步掌握,用待定系数法求二次函数的解析式.
【情感态度】
通过本节教学,激发学生探究问题,解决问题的能力.
【教学重点】
用待定系数法求二次函数的解析式.
【教学难点】
灵活选择合适的表达式设法.

一、情境导入，初步认识
1.同学们想一想，已知一次函数图象上两个点的坐标，如何用待定系数法求它的解析式？
学生回答：
2.已知二次函数图象上有两个点的坐标，能求出其解析式吗？三个点的坐标呢？
二、思考探究，获取新知
探究1 已知三点求二次函数解析式讲解：教材P21例1，例2.
【教学说明】让学生通过例题讲解归纳出已知三点坐标求二次函数解析式的方法.
探究2 用顶点式求二次函数解析式.
例3 已知二次函数的顶点为A(1,-4)且过B(3,0),求二次函数解析式.
【分析】已知抛物线的顶点,设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.
解：∵抛物线顶点为A(1,-4),∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4,∵点B（3，0）在图象上，∴0=4a-4,∴a=1,∴y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.
【教学说明】已知顶点坐标，设顶点式比较方便，另外已知函数的最（大或小）值即为顶点纵坐标，对称轴与顶点横坐标一致.
探究3 用交点式求二次函数解析式
例4(甘肃白银中考) 已知一抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（1，0），且经过点C（2，8）.求二次函数解析式.
【分析】由于抛物线与x轴的两个交点为A（-2，0），B（1，0），可设解析式为交点式：y=a(x-x1)(x-x2).
解：A（-2，0），B（1，0）在x轴上，设二次函数解析式为y=a(x+2)(x-1).又∵图象过点C（2，8），∴8=a(2+2)(2-1),∴a=2,∴y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.
【教学说明】因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程简单.
三、运用新知，深化理解
1.若二次函数y=-x2+mx-2的最大值为 ，则m的值为（ ）
A.17 B.1 C.±17 D.±1
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示，下列判断错误的是（ ）
A.a＜0 B.b＞0 C.c＞0 D.ab＞0

第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是直线x=1,且经过点P（3,0)，则a-b+c的值为（ ）
A.0 B.-1 C.1 D.2
4.如图是二次函数y=ax2+3x+a2-1的图象,a的值是 .
5.已知二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5），且与x轴交于A、B两点.
(1)试确定此二次函数的解析式;
(2)判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在,请求出△PAB的面积;如果不在,试说明理由.
【教学说明】通过练习巩固加深对新知的理解,并适当对题目作简单的提示.第3题根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为（-1，0），将此点代入解析式，即可求出a-b+c的值.第4题可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向.
【答案】1.C 2.D 3.A 4.-15.
解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.∵二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5）.∴c=3.∴9a-3b+3=0,4a+2b+3=-5.解得a=-1,b=-2.∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)∵当x=-2时，y=-(-2)2-2×(-2)+3=3,∴点P（-2,3)在这个二次函数的图象上.令-x2-2x+3=0,∴x1=-3,x2=1.∴与x轴的交点为(-3,0),(1,0),∴AB=4.即S△PAB=12×4×3=6.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.在学生回答的基础上，教师点评：
3.求二次函数解析式的三种表达式的形式.
(1)已知三点坐标,设二次函数解析式为y=ax2+bx+c.
(2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k.
(3)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)可设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2).


1.教材P23第1~3题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

用待定系数法求二次函数的表达式有三种基本方法,解题时可根据不同的条件灵活选用.本节内容是二次函数中的重点也是中考考点之一,同学们要通过练习,熟练掌握.
1.4 二次函数与一元二次方程的联系

【知识与技能】
1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.
2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.
3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.
4.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题.
【过程与方法】
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系,进一步体会数形结合的思想.
【情感态度】
通过自主学习,小组合作,探索出二次函数与一元二次方程的关系,感受数学的严谨性,激发热爱数学的情感.
【教学重点】
①理解二次函数与一元二次方程的联系.
②求一元二次方程的近似根.
【教学难点】
一元二次方程与二次函数的综合应用.

一、情境导入，初步认识
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c,当 y=0 时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的 横坐标 .
2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴 无 交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有 一 个交点；当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有 两 个交点.
学生回答,教师点评
二、思考探究，获取新知
探究1 求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
例1 求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.
【分析】抛物线y=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标y=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根.
解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3,x2=-1,所以抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标分别是3或-1.
【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令y=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根.
探究2 抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：
（1）你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？
【教学说明】
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况
b2-4ac的值
有两个公共点
有两个不相等的实数根
b2-4ac＞0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
b2-4ac=0
无公共点
无实数根
b2-4ac＜0
探究3 利用函数图象求一元二次方程的近似根
提出问题：同学们可以估算下一元二次方程x2-2x-2=0的两根是什么？
学生回答：
【教学点评】-1＜x1＜0,2＜x2＜3.
探究4 一元二次方程与相应二次函数的综合应用
讲解教材P26例2
【教学说明】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的某一个函数值y=M,求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M,这样将二次函数的知识和前面学的一元二次方程就紧密联系起来了.
三、运用新知，深化理解
1.（广东中山中考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个同号的实数根
D.没有实数根
2.若一元二次方程x2-mx+n=0无实根，则抛物线y=-x2+mx-n图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限
3.（x-1)(x-2)=m(m＞0)的两根为α,β，则α,β的范围为（ ）
A.α＜1，β>2 B.α＜1＜β＜2
C.1＜α＜2＜β D.α＜1,β＞2
4.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0)，则方程ax2+bx+c=0的解为 .
5.(湖北武汉中考)已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点，交y轴的正半轴于点C，且x21+x22=10.
(1)求此二次函数的解析式；
（2）是否存在过点D（0，-）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.
学生解答:
【答案】1.D 2.C 3.D 4.x1=1,x2=3
5.解：（1）y=x2-4x+3 (2)存在 y=x-
【教学说明】一元二次方程的根的情况和二次函数与x轴的交点个数之间的关系是相互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.在学生回答基础上,教师点评:
①求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系；
②抛物线与x轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系.
③用函数图象求“一元二次方程的近似根”；
④二次函数问题可转化为对应一元二次方程根与系数关系问题.

1.教材P28第1~3题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

通过本节课的学习,让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数，取某一特值时，把对应的自变量的值都联系起来了,这样对二次函数的综合应用就方便得多了,从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理.












1.5 二次函数的应用
第1课时 二次函数的应用(1)

【知识与技能】
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数的知识解决实际问题.
【过程与方法】
经历运用二次函数解决实际问题的探究过程,进一步体验运用数学方法描述变量之间的依赖关系,体会二次函数是解决实际问题的重要模型,提高运用数学知识解决实际问题的能力.
【情感态度】
1.体验函数是有效的描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具.
2.敢于面对在解决实际问题时碰到的困难,积累运用知识解决问题的成功经验.
【教学重点】
用抛物线的知识解决拱桥类问题.
【教学难点】
将实际问题转化为抛物线的知识来解决.

一、情境导入，初步认识
通过预习P29页的内容，完成下面各题.
1.要求出教材P29动脑筋中“拱顶离水面的高度变化情况”，你准备采取什么办法？
2.根据教材P29图1-18，你猜测是什么样的函数呢？
3.怎样建立直角坐标系比较简便呢？试着画一画它的草图看看！
4.根据图象你能求出函数的解析式吗？试一试！
二、思考探究，获取新知
探究 直观图象的建模应用

例1 某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，
大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各
有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离是6m,如
图所示，则厂门的高（水泥建筑物厚度不计，
精确到0.1m)约为（ ）
A.6.9m B.7.0m C.7.1m D.6.8m
【分析】因为大门是抛物线形，所以建立二次函数模型来解决问题.
先建立平面直角坐标系,如图,设大门地面宽度
为AB,两壁灯之间的水平距离为CD,则B,D坐标
分别为(4,0),(3,3),设抛物线解析式为y=ax2+h.
把（3，3），（4，0）代入解析式求得h≈6.9.故选A.
【教学说明】根据直观图象建立恰当的直角坐标系和解析式.

例2 小红家门前有一座抛物线形拱桥,如图,
当水面在l时，拱顶离水面2m,水面宽4m,水面
下降1m时，水面宽度增加多少？
【分析】拱桥类问题一般是转化为二次函数的知识来解决.

解:由题意建立如图的直角坐标系,设抛物线的解析式y=ax2,
∵抛物线经过点A（2，-2），∴-2=4a,
∴a=-,即抛物线的解析式为y=-x2,
当水面下降1m时，点B的纵坐标为-3.
将y=-3代入二次函数解析式，得y=-x2,
得-3=-x2→x2=6→x=±,∴此时水面宽度为2|x|=2m.
即水面下降1m时，水面宽度增加了(2-4)m.
【教学说明】用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系；抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便.
三、运用新知，深化理解
1.某溶洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,溶洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内，溶洞所在抛物线的函数关系式是（ ）
A.y= x2 B.y=x2+
C.y=-x2 D.y=-x2+
2.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A.50m B.100m C.160m D.200m

第2题图 第3题图

3.如图，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒.
4.(浙江金华中考）如图，足球场上守门员在O处
踢出一高球，球从离地面1米处飞出（A在y轴上），运
动员乙在距O点6米的B处发现球在自己的正上方达到最
高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;
(2)足球第一次落地点C距守门员是多少米?(取4≈7,2≈5)
(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？
【教学说明】学生自觉完成上述习题，加深对新知的理解，并适当加以分析，提示如第4题，由图象的类型及已知条件，设其解析式为y=a(x-6)2+4,过点A（0，1），可求出a;（2）令y=0可求出x的值，x＜0舍去；（3）令y=0,求出C点坐标（6+4,0),设抛物线CND为y=-(x-k)2+2,代入C点坐标可求出k值(k＞6+4).再令y=0可求出C、D的坐标，进而求出BD.
【答案】1.C 2.C 3.36 4.解:(1)y=-(x-6)2+4(2)令y=0,可求C点到守门员约13米. (3)向前约跑17米.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.在学生回答的基础上,教师点评.
3.建立二次实际问题的一般步骤:(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.(2)把已知条件转化为点的坐标.(3)合理设出函数解析式.(4)利用待定系数法求出函数解析式.(5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.

1.教材P31第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课主要是利用二次函数解决生活中的实际问题,其主要思路是建立适当的直角坐标系,使求出的二次函数模型更简捷,解决问题更方便,让学生学会运用所学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.







第2课时 二次函数的应用(2)

【知识与技能】
1.经历探索实际问题中两个变量的过程,使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.
2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.
【过程与方法】
经历优化问题的探究过程,认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.
【情感态度】
体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增加对数学的理解和学好数学的信心.
【教学重点】
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.
【教学难点】
二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣.

一、情境导入，初步认识
问题1 同学们完成下列问题:已知y=x2-2x-3
①x= 时，y有最 值，其值为 ；
②当-1≤x≤4时，y最小值为 ，y最大值为 .
答案:①1,小，-4；②-4，5
【教学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固，又是本节课解决优化最值问题的理论依据.
二、思考探究，获取新知
教学点1 最大面积问题
阅读教材P30动脑筋，回答下列问题.
1.若设窗框的宽为xm，则窗框的高为 m,x的取值范围是 .
2.窗框的透光面积S与x之间的关系式是什么？
3.如何由关系式求出最大面积？
答案：1. 0 2.S=-x2+4x,0 3.Smax=m2.
例1 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
解：设矩形纸较短边长为a,设DE=x，则AE=a-x,那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当x=-时，y最小值=2×（a）2-2a×a+a2=a2
即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.
【教学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型,再利用二次函数性质求解.
教学点2 最大利润问题
例2 讲解教材P31例题
【教学说明】通过例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题.
例3 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?
【分析】找出进价,售价,销售,总利润之间的关系,建立二次函数,再求最大值.列表分析如下:

关系式：每件利润=售价-进价，总利润=每件利润×销量.
解:设降价x元，总利润为y元，由题意得
y=(10-x-8)(100+100x)=-100x2+100x+200=-100(x-0.5)2+225.
当x=0.5时，总利润最大为225元.
∴当商品的售价降低0.5元时，销售利润最大.
三、运用新知，深化理解
1.如图，点C是线段AB上的一个支点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是( )
A.当C是AB的中点时,S最小
B.当C是AB的中点时,S最大
C.当C为AB的三点分点时,S最小
D.当C是AB的三等分点时,S最大

第1题图 第2题图
2.如图,某水渠的横断面是等腰梯形,底角为120°，两腰与下底的和为4cm，当水渠深x为 时，横断面面积最大，最大面积是 .
3.某经销店为某工厂代销一种建筑材料,当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）.
①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
②求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
④小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.【答案】1.A 2. cm, cm2
3.解：①45+ ×7.5=60（吨）.
②y=(x-100)(45+×7.5).化简，得y=-x2+315x-24 000.
③y=-x2+315x-24 000=-(x-210)2+9 075.
此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.
④我认为,小静说得不对.
理由:当月利润最大时,x为210元，每月销售额W=x(45+×7.5=- (x-160)2+19 200.当x为160元时，月销售额W最大.∴当x为210元时，月销售额W不是最大的.∴小静说得不对.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.在学生回答的基础上,教师点评:能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围,并能求出实际问题的最值.

1.教材P31第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课主要是用二次函数理论知识解决最大面积问题和最大利润问题,通过对此问题的探究解决,使学生认识到数学知识和生活实际的紧密联系,提高学习数学的积极性.
章末复习

【知识与技能】
掌握本章重要知识,能灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题.
【过程与方法】
通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的数形结合思想,转化化归思想的过程,加深对本章知识的理解.
【情感态度】
在运用本章知识解决具体问题过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,激发学习兴趣.
【教学重点】
回顾本章知识点,构建知识体系.
【教学难点】
利用二次函数的相关知识解决具体问题.

一、知识框图，整体把握

【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识结构框图,使学生系统了解本章知识及它们之间的关系,教学时,边回顾边建立结构框图.
二、释疑解惑，加深理解
1.由于y=ax2+bx+c配方后可得y= ,所以y=ax2+bx+c的图象总可由y=ax2平移得到.
2.对于现实生活中的许多问题，可以通过建立二次函数模型来解决.
3.利用二次函数解法实际问题时,自变量的取值范围要结合具体问题来确定.
三、典例精析，复习新知
例1 下列函数中,是二次函数的是( )
A.y=8x2+1 B.y=x2+ C.y=(x-2)(x+2)-x2 D.y=ax2
【解析】选A.选项A符合二次函数的一般形式，是二次函数，正确；选项B不是整式形式，错误；选项C不含二次项，错误；选项D，二次项系数a=0时，不是二次函数，错误.
例2 抛物线y=-(x-1)2是由抛物线y=-(x+3)2向 平移 个单位得到的；平移后的抛物线对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x= 时，函数y有最 值，其值是 .

【解析】本题因为a=-1＜0，所以抛物线开口向下，函数有最大值；掌握“左加右减”的平移规律时，关键是把握平移方向.
答案:右 4 直线x=1 (1,0) 1 大 0
例3 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，
在下列说法中：①ac＜0;②方程ax2+bx+c=0
的根是x1=-1,x2=3;③a+b+c＞0；④当x＞1时，
y随着x的增大而增大.正确的说法有 .(请写出所有正确说法的序号)
【解析】∵抛物线开口向上,即a＞0;与y轴的交点在x轴下方，即c＜0,∴ac＜0,①正确；由函数图象与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0），可得方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1,x2=3,②正确；由函数图象与x=1的交点位置位于x轴下方，即a+b+c＜0，③错误；由函数图象可得抛物线的对称轴为x=1,当x＞1时，y随着x的增大而增大，故正确的说法有①②④.
例4 如图，利用一面墙（墙长为15m)和30m长的篱笆来围矩形场地，若设垂直墙的一边长为x(m)，围成的矩形场地的面积为y(m2).

(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的
取值范围;
(2)怎样围成一个面积为112m2的矩形场地？
（3）若要围成一个面积最大的矩形场地，则矩形场地的长和宽各应是多少？
【解析】
（1）∵AD=BC=x,∴AB=30-2x,由题意得y=x(30-2x),=-2x2+30x(7.5≤x＜15);
(2)当y=112时，-2x2+30x=112,解得:x1=7,x2=8,
当x=7时，AD=BC=7m,AB=30-2×7=16m(大于围墙的长度，舍去）.
当x=8时，AD=BC=8cm,AB=30-2×8=14m(符合题意)
∴当垂直于墙面的边长为8m时，可以围成面积为112m2的矩形场地.
(3)y=-2x2+30x=-2（x-）2+
∴当x=m时，围成的面积最大，此时矩形的宽为m,长为15m.
四、运用新知，深化理解
1.(江苏扬州中考）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数解析式是（ ）
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2-2 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2-2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：

点A（x1,y1),B(x2,y2)在函数的图象上，则当1＜x1＜2,3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1≥y2 D.y1≤y2
3.（湖北咸宁中考）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；②当x≤1时，y随x的增大而减小，则m=1;
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1;
④当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3.
其中正确的说法是 .(把你认为正确说法的序号都填上)
4.如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C.
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x,y)（其
中x＞0,y＞0),使S△ABD=S,求点D的坐标.
5.某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.经市场调查发现;若以每箱50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(1)写出售价x(元）与平均每天所得利润W(元）之间的函数关系式；
（2）每箱定价多少元时，才能使平均每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】1.B 2.B 3.①④
4.(1)m=3 (2)y=-x2+2x+3 令y=0解得x=3或-1，∴B（-1，0）
（3）∵S△ABD=S△ABC，点D在第一象限.∴点C,D关于二次函数对称轴对称.
∵对称轴x=1,C(0,3),∴D(2,3)
5.解：（1）设销售量为y箱，则y=240-3x,
所以W=(x-40)y=(x-40)(240-3x)=-3(x-60)2+1200(40≤x≤70).
(2)当x=60时，W最大=1200.∴每箱定价为60元时，才能使平均每天的利润最大，最大利润是1200元.
五、师生互动，课堂小结
本堂课你能完整地回顾本章所学的二次函数的有关知识吗?你能用二次函数知识解决实际问题吗?你还有哪些疑问?

1.教材P37第3~6题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节通过学习归纳本章内容,建立二次函数模型,掌握二次函数性质,并利用二次函数性质去解决实际问题,查漏补缺,使学生对本章知识有通盘了解和掌握.

第2章 圆
2.1 圆的对称性

【知识与技能】
1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义.
2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.
3.圆既是轴对称图形又是中心对称图形.
4.点与圆的位置关系.
【过程与方法】
通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画图的过程多角度体会和认识圆.
【情感态度】
结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
【教学重点】
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.
【教学难点】
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.

一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.

1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形.
2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的.
【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识.
二、思考探究，获取新知
1.圆的定义
问题 如教材P43图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象.
如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”.
注意:圆指的是圆周,不是圆面.
【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义.
2.点与圆的位置关系
一般地,设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,则有
（1）点P在⊙O内d＜r
（2）点P在⊙O上d=r
（3）点P在⊙O外d＞r
3.与圆有关的概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(如:线段AB、AC)
直径：经过圆心的弦(如AB)叫做直径.
注:直径是特殊的弦,但弦不一定是直径.
弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
如图,以A、B为端点的弧记作,,读作:弧AB.
注:①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
②大于半圆的弧,用三个点表示,如图中的,叫做优弧.
小于半圆的弧,用两个点表示,如图中的,叫做劣弧.
等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.
注:半径相等的两个圆是等圆,反过来,同圆或等圆的半径相等.
等弧:在等圆或同圆中,能够互相重合的弧叫等弧.
注:①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等.
②等弧只存在于同圆或等圆中.
【教学说明】结合图形,使学生准确地掌握与圆有关的概念,为后面的学习打下基础.
4.圆的对称性
（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
（2）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
【教学说明】上述两个结论是通过教材P44探究1、2而得出来的，教师应引导学生仔细体会，必要时可通过画图或折叠圆心纸片演示.
思考 车轮为什么做成圆形的?如果车轮不是圆的(如椭圆或正方形等),坐车人会是什么感觉?

【分析】把车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径,当车轮在平面滚动时,车轮中心与平面的距离保持不变.因此,车辆在平路上行驶时,坐车的人会感到非常平稳.
如果车轮不是圆的,车辆在行驶时,坐车人会感觉到上下颠簸,不舒服.
三、运用新知，深化理解
1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心，2cm长为半径作圆，则点C（）
A.在⊙A内
B.在⊙A上
C.在⊙A外
D.可能在⊙A上也可能在⊙A外
2.（1）以点A为圆心，可以画____个圆.
(2)以已知线段AB的长为半径,可以画____个圆.
(3)以A为圆心AB长为半径,可以画___个圆.
3.如图,半圆的直径AB=________.

第3题图 第4题图
4.如图，图中共有____条弦.
【教学说明】学生自主完成,加深对新学知识的理解和检测对圆的有关概念的掌握情况,对学生的疑惑教师及时指导,并进行强化.
【答案】1.C 2.(1)无数 (2)无数 (3)1 3. 4.2
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.
2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.
【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳,对于某些概念性的知识,要结合图形加以区别和理解.

1.布置作业:从教材“习题2.1”中选取.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课是从学生感受生活中圆的应用开始,到通过学生动手画圆,培养学生动手、动脑习惯,在操作过程中观察圆的特点,加深对所学知识的认识,并运用所学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.






2.2 圆心角、圆周角
2.2.1 圆心角

【知识与技能】
1.理解并掌握圆心角的概念.
2.掌握圆心角与弧及弦的关系定理.
【过程与方法】
通过对圆心角的概念及定理的探究,从而认识到几何中不同量之间的对等关系.
【情感态度】
在探究过程中体验获取新知的喜悦，提高探究能力和归纳能力.
【教学重点】
弧、弦、圆心角之间关系的定理及推论和它们的应用.
【教学难点】
探索定理和推论及其应用.

一、情境导入，初步认识
探究1如图中,时钟的时针与分钟所成的角与时钟的外围所成的圆有哪些位置关系?
【教学说明】这里让学生关键指出两点:一是角的顶点在圆心,二是两边与圆相交.
二、思考探究，获取新知
1.圆心角概念
顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角.如图,∠AOB叫做
所对的圆心角,叫做圆心角∠AOB所对的弧.
【教学说明】圆心角的定义实际可以简化为:顶点在圆心的角叫圆心角.
2.圆心角与弧、弦关系定理
探究1 请同学们按下列要求作图并回答下列问题:
如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′位置，你能发现哪些等量关系，为什么？
学生回答：
【教学说明】=，AB=A′B′.
理由：∵半径OA与OA′重合，且∠AOB=∠A′OB′，
∴半径OB与OB′重合.
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合，
∴与重合,弦AB与弦A′B′重合.
∴=,AB=A′B′.
探究2 同学们思考一下,在等圆中,这些结论是否成立?
学生回答:
【教学说明】可以在等圆⊙O和⊙O′中分别作∠AOB=∠A′O′B′,然后滚动一个圆,使圆心O与O′重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与O′A′重合,∠AOB与∠A′O′B′重合,则有上面相同结论,AB=A′B′, =.
用文字叙述这个命题,则有弧、弦、圆心角之间关系的定理:
在同一个圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
同样还可以得到两个推论：
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧和两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
注意:圆心角、弦、弦关系定理的前提条件是在同圆或等圆中,没有这一条,定理不成立.
三、典例精析，掌握新知
例1 教材P48例1
【分析】在同圆中，由弦相等可以得到圆心角相等，从而使问题解决.学生自主完成.
例2 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以C点为圆心，CA的长为半径的圆交AB于点D，求的度数.
【分析】要求的度数,根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数,故只需求出∠DCA的度数.
解:连接CD,如图.
∵∠ACB=90°,∠B=25°,
∴∠A=65°.
∵CD=CA,
∴∠CDA=65°,
∴∠DCA=180°-65°×2=50°.∴的度数为50°.
【教学说明】在圆中求角的度数时，把角放在直角三角形和等腰三角形中去解决是一种常用的方法.
四、运用新知，深化理解
1.(浙江湖州中考）如图是七年级（1）班参加课外兴趣小组人数的扇形统计图，则表示唱歌兴趣小组人数的扇形的圆心角的度数是（）
A.36° B.72° C.108° D.180°
2.在⊙O中，所对的圆心角有___个，弦AB所对的弧有____条.若∠OAB=50°,则所对的圆心角为_____度.
3.如图所示，⊙O1和⊙O2为两个等圆，O1A∥O2D,O1O2与AD相交于点E，AD与⊙O1和⊙O2分别交于点B，C，求证：AB=CD.
【教学说明】学生自主完成加深对新学知识的理解和检测对圆心角及相关定理的掌握情况.
【答案】1.B 2.1,2,80
3.证明:∵O1A∥O2D,∴∠A=∠D.
∴∠AO1B=∠DO2C.
又∵⊙O1和⊙O2为两个等圆，
∴AB=CD.
五、师生互动，课堂小结
1.学生总结本堂课的收获与困惑.
2.教师强调:圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.

1.教材P56第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课从时钟引入圆心角的概念,进一步探究圆心角的相关定理.加深学生对圆心角及相关定理的认识,并运用所学知识解决实际问题,以此来激发他们的学习兴趣.






















2.2.2 圆周角
第1课时 圆周角(1)

【知识与技能】
1.理解圆周角的定义,会区分圆周角和圆心角.
2.能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理.
【过程与方法】
经历探索圆周角与圆心角的关系的过程,加深对分类讨论和由特殊到一般的转化等数学思想方法的理解.
【情感态度】
1.在探究过程中体验数学的思想方法,进一步提高探究能力和动手能力.
2.通过分组讨论,培养合作交流意识和探索精神.
【教学重点】
理解并掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角之间的关系,能进行有关圆周角问题的简单推理和计算.
【教学难点】
分类讨论及由特殊到一般的转化思想的应用.

一、情境导入，初步认识阅读教材P49-50，回答下列问题.
1.如图所示的角中，哪些是圆周角？

2.顶点在______上，并且两边都与圆_________的角叫做圆周角.
3.在同圆或等圆中,_____或_______所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的______的一半.
4.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也_______.
【教学说明】圆周角必须符合两个条件①顶点在圆上②两边与圆相交.
二、思考探究，获取新知
探究圆周角定理.
1.同学们作出所对的圆周角,和圆心角,学生分组讨论,并回答下列问题:
问题1 所对的圆周角有几个？
问题2 度量下这些圆周角的关系.
问题3 这些圆周角与圆心角∠AOB的关系.
学生解答:
【教学说明】①所对的圆周角的个数有无数个.
②通过度量,这些圆周角相等.
③通过度量,同弧对的圆周角是它所对圆心角的一半.
2.同学们思考如何推导上面的问题(3)的结论?
教师引导,学生讨论①当点O在∠BAC边AB上，
②当点O在∠BAC的内部，
③当点O在∠BAC外部.
①②由同学们分组讨论,自己完成.
③由同学们讨论,代表回答.
【教学说明】作直径AE,由∠BAC=∠OAC-∠OAB,由∠OAC=∠EOC,∠OAB=∠BOE得:∠BAC=∠EOC-∠BOE= (∠EOC-∠BOE)=∠BOC.从①②③得出圆周角定理：
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
还可以得出下面推论:
同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等;
3.讲例题:如图,(1)已知.求证:AB=CD.
(2)如果AD=BC,求证:.
证明:(1)∵,
∴,
∴,∴AB=CD.
(2)∵AD=BC,
∴,
∴,即.
【教学说明】在今后证明线段相等的题目中又加了一种有弧相等也可以得到线段相等的方法了.
三、运用新知，深化理解
1.如图，在⊙O中，AD=DC，则图中相等的圆周角的对数是（）
A.5对 B.6对 C.7对 D.8对
2.如图所示，点A，B，C，D在圆周上，∠A=65°,求∠D的度数.

第2题图 第3题图
3.如图所示,已知圆心角∠BOC=100°,点A为优弧上一点，求圆周角∠BAC的度数.
4.如图所示,在⊙O中，∠AOB=100°,C为优弧AB的中点，求∠CAB的度数.
【教学说明】在圆中利用同弧所对的圆周角相等推得角相等是灵活对角进行等量转换的关键,要特别注意等弧所对的圆心角也相等.
【答案】1.D 2.65° 3.50° 4.65°
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.在学生回答基础上.
【教学说明】①圆周角的定义是基础.
②圆周角的定理是重点,圆周角定理的推导是难点.
③圆周角定理的应用才是重中之重.


1.教材P56第3~5题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课主要学习圆周角的概念及圆周角定理,运用分类讨论的思想对圆周角定理进行推导,学习新思路,新途径,进一步强调分类讨论的思想在数学中的运用.加深学生的印象,激发他们的学习兴趣,数学是千变万化的,又是有规律可循的.



















第2课时 圆周角(2)

【知识与技能】
1.巩固圆周角概念及圆周角定理.
2.掌握圆周角定理的推论:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
3.圆内接四边形的对角互补.
【过程与方法】
在探索圆周角定理的推论中,培养学生观察、比较、归纳、概括的能力.
【情感态度】
在探索过程中感受成功,建立自信,体验数学学习活动充满着探索与创造,交流与合作的乐趣.
【教学重点】
对直径所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径这些性质的理解.
【教学难点】
对圆周角定理推论的灵活运用是难点.

一、情境导入，初步认识
1.如图,木工师傅为了检验如图所示的工作的凹面是否成半圆,他只用了曲尺(它的角是直角)即可,你知道他是怎样做的吗?
【分析】当曲尺的两边紧靠凹面时,曲尺的直角顶点落在圆弧上,则凹面是半圆形状,因为90度的圆周角所对的弦是直径.
解:当曲尺的两边紧靠凹面时,曲尺的直角顶点落在圆弧上,则凹面是半圆形状,否则工作不合格.
2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
3.圆内接四边形的对角互补.
【教学说明】半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对弦是直径都是圆周角定理可推导出来的.试着让学生简单推导,培养激发他们的学习兴趣.
二、思考探究，获取新知

1.直径所对的圆周角是直角,90°的角所对的弦是直径.如图，∠C1、∠C2、∠C3所对的圆心角都是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，就可求出∠C1、∠C2、∠C3的度数.
【教学说明】∵A、O、B在一条直线上,∠AOB是平角,∠AOB=180°，由圆周角定理知∠C1=∠C2=∠C3=90°,反过来也成立.
2.讲教材P54例3
【教学说明】在圆中求角时，一种方法是利用圆心角的度数求,另一种方法是把所求的角放在90°的三角形中去求.
3.讲圆内接四边形和四边形的外接圆的概念.
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆;圆内接四边形对角互补.
例1如图所示,OA为⊙O的半径,以OA为直径的圆⊙C与⊙O的弦AB相交于点D,若OD=5cm,则BE=10cm.
【教学说明】在题中利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线，从而求解.
例2如图,已知∠BOC=70°,则∠BAC=_____，∠DAC=______.
【分析】由∠BOC=70°可得所对的圆周角为35°，又∠BAC与该圆周角互补，故∠BAC=145°.而∠DAC+∠BAC=180°,则∠DAC=35°.
答案:145° 35°
例3如图,点A、B、D、E在⊙O上,弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径,D是BC的中点.
(1)试判断AB、AC之间的大小关系,并给出证明;
(2)在上述题设条件下,△ABC还需满足什么条件,使得点E一定是AC的中点(直接写出结论)
【教学说明】连接AD,得AD⊥BC,构造出Rt△ABD≌Rt△ACD.
解：（1）AB=AC.
证明:如图,连接AD,则AD⊥BC.
∵AD是公共边,BD=DC,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD,
∴AB=AC.
(2)△ABC为正三角形或AB=BC或AC=BC或∠BAC=∠B或∠BAC=∠C.
三、运用新知，深化理解
1.(湖南湘潭中考）如图，AB是半圆O的直径，D是AC的中点，∠ABC=40°,则∠A等于（）
A.30° B.60° C.80° D.70°
2.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=40°，点D在圆上，则∠ADC=_______.

3.(山东威海中考)如图,AB为⊙D的直径,点C、D在⊙O上.若∠AOD=30°,则∠BCD的度数是______.

4.(浙江金华中考）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F.
(1)求证:CF=BF;
(2)若CD=6,AC=8,则⊙O的半径为,CE的长是_____.
【教学说明】①遇到直径常设法构造直角三角形；②注意：“角→弧→角”之间转化.
【答案】1.D 2.50°3.105°
4.解：（1）AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°,∴∠A+∠CBA=90°.又CE⊥AB，∠ECB+∠CBA=90°,∠BCE=∠A,又，∴∠A=∠CBD，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF.
(2)半径为5.CE= =4.8.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？在学生回答基础上.
2.教师强调:
①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
②圆内接四边形定义及性质;
③关于圆周角定理运用中,遇到直径,常构造直角三角形.


1.教材P57第7~9题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课是在巩固圆周角定义及定理的基础上开始，运用定理推导出半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及圆内接四边形性质定理的,学生见证了从一般到特殊的这一过程,使学生明白从特殊到一般又从一般到特殊的多种解决问题的途径,激发学生的求知欲望.
















*2.3 垂径定理

【知识与技能】
1.理解圆是轴对称图形,由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证.
2.理解垂径定理,灵活运用定理进行证明及计算.
【过程与方法】
在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中,培养我们观察,比较,归纳,概括的能力.
【情感态度】
通过对圆的进一步认识,加深我们对圆的完美性的体会,陶冶美育情操,激发学习热情.
【教学重点】
垂径定理及运用.
【教学难点】
用垂径定理解决实际问题.

一、情境导入，初步认识
教师出示一张图形纸片,同学们猜想一下:
①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
②如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点M，能发现图中有哪些等量关系？（在纸片上对折操作）
学生回答或展示：
【教学说明】
（1）是轴对称图形，对称轴是直线CD.
（2）AM=BM，.
二、思考探究，获取新知
探究1垂径定理及其推论的证明.
1.由上面学生折纸操作的结论,教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论,学生们说出已知、求证,再由小组讨论推理过程.
已知:直径CD,弦AB,且CD⊥AB,垂足为点M.
求证:AM=BM,
【教学说明】连接OA=OB,又CD⊥AB于点M,由等腰三角形三线合一可知AM=BM,再由⊙O关于直线CD对称,可得.学生尝试用语言叙述这个命题.
2.得出垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论(垂径定理推论):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
3.学生讨论写出已知、求证,并说明.
学生回答:
【教学说明】已知:AB为⊙O的弦(AB不过圆心O),CD为⊙O的直径,AB交CD于点M,MA=MB.
示证:CD⊥AB, .
证明:在△OAB中,∵OA=OB,MA=MB,∴CD⊥AB.又CD为⊙O的直径,∴.
4.同学讨论回答,如果条件中,AB为任意一条弦,上面的结论还成立吗?
学生回答:
【教学说明】当AB为⊙O的直径时,直径CD与直径AB一定互相平分,位置关系是相交,不一定垂直.
探究2 垂径定理在计算方面的应用.
例1讲教材P59例1
例2已知⊙O的半径为13cm,弦AB∥CD，AB=10cm,CD=24cm,求AB与CD间的距离.

解:(1)当AB、CD在O点同侧时,如图①所示，过O作OM⊥AB于M，交CD于N，连OA、OC.∵AB∥CD,∴ON⊥CD于N.在Rt△AOM中，AM=5cm,OM= =12cm.在Rt△OCN中，CN=12cm,ON= =5cm.∵MN=OM-ON,∴MN=7cm.
(2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，由（1）可知OM= 12cm,ON=5cm,MN=OM+ON,∴MN=17cm.∴AB与CD间的距离是7cm或17cm.
【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去.
2.AB、CD与点O的位置关系没有说明,应分两种情况:AB、CD在O点的同侧和AB、CD在O点的两侧.
探究3与垂径定理有关的证明.
例3讲教材P59例2
【教学说明】1.作直径EF⊥AB,∴.
又AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD.
∴.
∴，即.
2.说明直接用垂径定理即可.
三、运用新知，深化理解
1.（湖北黄冈中考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）
A.8 B.10 C.16 D.20
2.如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0,-4),N(0,-10),函数 (x＜0)的图象过点P，则k=______.

3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE为正方形.
【教学说明】1.在解决与弦的有关问题时，常过圆心作弦的垂线（弦心距），然后构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用直角三角形的性质求解.
2.求k值关键是求出P点坐标.
3.利用垂径定理,由AB=AC→AE=AD，再由已知条件→三个直角→正方形.
【答案】1.D 2.28
3.解:由OE⊥CA,OD⊥AB,AC⊥AB,∴四边形ADOE为矩形.再由垂径定理;AE=AC,AD=AB,且AB=AC,∴AE=AD,∴矩形EADO为正方形.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.在学生回答基础上.
3.教师强调:①圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；②垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；④注意计算中的两种情况.

1.教材P60第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课由折叠圆形入手,让学生猜想垂径定理并进一步推导论证,在整个过程中着重学习动手动脑和推理的能力,加深了对圆的完美性的体会,陶冶美育情操,激发学习热情.







2.4 过不共线三点作圆

【知识与技能】
1.理解、确定圆的条件及外接圆和外心的定义.
2.掌握三角形外接圆的画法.
【过程与方法】
经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程,让我们学会用尺规作不在同一直线上的三点的圆.
【情感态度】
在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中,进一步培养探究能力和动手能力,提高学习数学的兴趣.
【教学重点】
确定圆的条件及外接圆和外心的定义.
【教学难点】
任意三角形的外接圆的作法.

一、情境导入，初步认识
如图所示,点A,B,C表示因支援三峡工程建设而移民的某县新建的三个移民新村.这三个新村地理位置优越,空气清新,环境幽雅.花园式的建筑住宅让人心旷神怡,但安居后发现一个极大的现实问题:学生就读的学校离家太远,给学生上学和家长接送学生带来了很大的麻烦.
根据上面的实际情况,政府决定为这三个新村就近新建一所学校,让三个村到学校的距离相等,你能帮助他们为学校选址吗?
二、思考探究，获取新知
1.确定圆的条件活动1如何过一点A作一个圆?过点A可以作多少个圆?
活动2如何过两点A、B作一个圆?过两点可以作多少个圆?
【教学说明】以上两个问题要求学生独立动手完成,让学生初步体会,已知一点和已知两点都不能确定一个圆,并帮助学生得出如下结论.
(1)过平面内一个点A的圆,是以点A以外的任意一点为圆心,以这点到A的距离为半径的圆,这样的圆有无数个.
(2)经过平面内两个点A,B的圆,是以线段AB垂直平分线上的任意一点为圆心,以这一点到A或B的距离为半径的圆.这样的圆有无数个.
活动3如图,已知平面上不共线三点A、B、C,能否作一个圆,使它刚好都经过A,B,C三点.
【教学说明】假设经过A、B、C三点的圆存在,圆心为O,则点O到A、B、C三点的距离相等,即OA=OB=OC,则点O位置如何确定?是否唯一确定?教师提示到此,让学生动手画圆,最后教师归纳出.
(3)经过不在同一直线上的三个点A,B,C的圆,是以AB,BC,CA的垂直平分线的交点为圆心,以这一点到点A,点B或点C的距离为半径的圆,这样的圆只有一个.
例1判断正误:
(1)经过三点可以确定一个圆.
(2)三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点.
(3)三角形的外心到三边的距离相等.
(4)经过不在同一直线上的四点能作一个圆.
【分析】经过不在同一直线上的三点确定一个圆;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;经过不在同一直线上的四点不一定能作一个圆.
解:(1)×(2)√(3)×(4)×
2.三角形的外接圆，三角形的外心.
活动4经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗?请动手画一画.
【教学说明】因为△ABC的三个顶点不在同一条直线上,所以过这三个顶点可以作一个圆,并且只可以作一个圆,并且得出如下结论.
1.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，它的圆心叫做三角形的外心，是三角形三边垂直平分线的交点.
2.三角形的外心到三角形三顶点的距离相等.强调:任意一个三角形都有唯一的一个外接圆,但对于一个圆来说,它却有无数个内接三角形.
教学延伸:经过不在同一直线上的任意四点能确定一个圆吗?什么样的特殊四边形能确定一个圆?
【教学说明】提示:不一定.对角互补的四边形一定可以确定一个圆.

例2小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)若在△ABC中,AB=8米,AC=6米,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.
解:(1)用尺规作出两边的垂直平分线,作出图.⊙O即为所求的花坛的位置.
(2)∵∠BAC=90°,AB=8米,AC=6米,
∴BC=10米,∴△ABC外接圆的半径为5米.
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.
三、运用新知，深化理解
1.下列说法正确的是（）
A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B.过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C.过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点
D.过四点A、B、C、D的圆不存在
2.已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（）
A.a=15,b=12,c=11 B.a=5,b=12,c=12 C.a=5,b=12,c=13 D.a=5,b=12,c=14
3.下列说法正确的是（）
A.过一点可以确定一个圆 B.过两点可以确定一个圆
C.过三点可以确定一个圆 D.三角形一定有外接圆
4.在一个圆中任意引两条平行直线，顺次连结它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）
A.菱形 B.等腰梯形 C.矩形 D.正方形
【教学说明】通过练习巩固三角形的外心和外接圆的概念，强调过不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆.
【答案】1.B 2.C 3.D 4.C
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾：过已知点作圆，条件一是确定圆心，二是确定半径，不在同一直线上的三个点确定一个圆.了解三角形的外接圆、外心等概念.
2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.
【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳.

1.教材P63第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课从生活实际需要引入,到学生动手画满足条件的圆、培养学生动手、动脑的习惯.在动手画圆的过程中层层深化,得出新知识.加深了学生对新知的认识,并运用新知解决实际问题.体验应用知识的快感,以此激发学习数学的兴趣.















2.5直线与圆的位置关系
2.5.1直线与圆的位置关系

【知识与技能】
1.理解直线与圆相交、相切、相离的概念.
2.会根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断直线与圆的位置关系.
【过程与方法】
经历点、直线与圆的位置关系的探索过程,让我们了解位置关系与数量的相互转化思想,发展抽象思维能力.
【情感态度】
教学过程中让我们从不同的角度认识问题,采用不同的方法与知识解决问题,让我们在解决问题的过程中,学会自主探究与合作、讨论、交流,感受问题解法的多样性,思维的灵活性与合理性.
【教学重点】
判断直线与圆的位置关系.
【教学难点】
理解圆心到直线的距离.

一、情境导入，初步认识
活动1学生口答，点与圆的位置关系三个对应等价是什么？
学生回答或展示：
【教学说明】设⊙O的半径为r，点P到圆心距离OP=d,则有：
点P在⊙O外d＞r， 点P在⊙O上d=r，
点P在⊙O内d＜r.
二、思考探究，获取新知
探究1直线与圆的位置关系
活动2前面讲了点和圆的位置关系，如果把这个点改为直线l呢？它是否和圆还有这三种关系呢？
学生操作：固定一个圆，按三角尺的边缘运动.如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？

【教学说明】如图所示：如上图（1）所示，直线l和圆有两个公共点，叫直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线.
如上图（2）所示，直线l和圆只有一个公共点,叫直线与圆相切,这条直线叫圆的切线,这个点叫做切点.
如上图（3）所示，直线l和圆没有公共点,叫这条直线与圆相离.
注:以上是从直线与圆的公共点的个数来说明直线和圆的位置关系的,还有其它的方法来说明直线与圆的位置关系吗?看探究二.
探究2直线与圆的位置关系的判定和性质
活动3设⊙O半径为r，直线l到圆心O的距离为d，在直线和圆的不同位置关系中，d与r具有怎样的大小关系？反过来，根据d与r的大小关系，你能确定直线与圆的位置关系吗？同学们分组讨论下：
学生代表回答：
【教学说明】直线与⊙O相交d＜r
直线与⊙O相切d=r 直线与⊙O相离d＞r
注：1.这是从圆心到直线的距离大小来说明直线与圆的三种位置关系的.
2.以上两种不同的角度来说明直线与圆的位置关系中,在今后的证明中以第二种居多.
三、典例精析，掌握新知
例1见教材P65例1
【分析】过O作OD⊥CA于D点，在Rt△COD中，∠C=30°.
∴OD=OC=3.
∴圆心到直线CA的距离d=3cm,再分别对（1）（2）（3）中的r与d进行比较,即可判定⊙O与CA的关系.
例2如图,Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4.若以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围？
【分析】此题中以r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，此时要注意相切和相交两种情形，由于相交有两个交点但受线段AB的限制，也有可能只有一个交点，提示后让学生自主解答.
答案:r=2.4或3＜r≤4.
四、运用新知，深化理解
1.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
2.设⊙O的半径为3,点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O只有一个公共点，则d应满足的条件是（）
A.d=3 B.d≤3 C.d＜3 D.d＞3
3.已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP=3，则直线l与⊙O的位置关系是_____ .
4.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=4cm,BC=2cm,以C为圆心，r为半径作圆.若直线AB与⊙C:(1)相交，则r____;(2)相切，则r____;(3)相离，则____＜r＜_____.
5.如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,AC=4cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB所在直线与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与AB所在直线分别有怎样的位置关系？
【教学说明】要判断直线与圆的位置关系，关键是找出圆心到直线的距离d，再与圆的半径进行比较，要熟练掌握三个对应等式.
【答案】1.A 2.A 3.相交或相切 4.＞ = 0
5.解：（1）过点C作AB的垂线段CD.∵AC=4,AB=8,∠C=90°,∴BC=4,又CD·AB=AC·BC，∴CD=2，∴当半径长为2cm时，AB与⊙C相切.
(2)d=2cm,当r=2cm时d＞r,⊙C与AB相离；当r=4cm时，d＜r,⊙C与AB相交.
五、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.在学生回答基础上，教师强调：
①直线和圆相交、割线、直线和圆相切、切点、直线和圆相离等概念.
②设⊙O半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交d＜r
直线l与⊙O相切d=r
直线l与⊙O相离d＞r

1.教材P65第1题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课由前面学过的点和圆的三种位置关系引入,让学生动手操作直尺和固定的圆之间有何关系,用类比的思路导入新课、学生易接受且容易操作和容易得到结论.最后用所得到的结论去解决一些实际问题.培养学生动手、动脑和解决问题的能力,激发他们求知的欲望.









2.5.2 圆的切线
第1课时 圆的切线的判定

【知识与技能】
理解并掌握圆的切线判定定理,能初步运用它解决有关问题.
【过程与方法】
通过对圆的切线判定定理和判定方法的学习,培养学生观察、分析、归纳问题的能力.
【情感态度】
通过学生自己的实践发现定理,培养学生学习的主动性和积极性.
【教学重点】
圆的切线的判定定理.
【教学难点】
圆的切线的判定定理的应用.

一、情境导入，初步认识
同学们,一辆汽车在一条笔直平坦的道路上行驶.如果把车轮看成圆,把路看成一条直线,这个情形相当于直线和圆相切的情况.再比如,你在下雨天转动湿的雨伞,你会发现水珠沿直线飞出,如果把雨伞看成一个圆,则水珠飞出的直线也是圆的切线,那么如何判定一条直线是圆的切线呢?
二、思考探究，获取新知
1.切线的判定
(1)提问:如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时，①随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？②当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
(2)探究：讨论直径与经过直径端点的直线所形成的∠α来得到切线的判定.
可通过多媒体演示∠α的大小与圆心O到直线的距离的大小关系，让学生用自己的语言描述直线与⊙O相切的条件.
(3)总结：教师强调一条直线是圆的切线必须同时满足下列两个条件：①经过半径外端，②垂直于这条半径，这两个条件缺一不可.
2.切线的画法：教师引导学生一起画圆的切线，完成教材P67做一做.
【教学说明】让每一位学生动手画圆的切线,感知一条直线是圆的切线须满足的两个条件,加深对切线判定的理解.
例1教材P67例2
【教学说明】该例展示了判定圆的切线的一种方法，即已知直线和圆有公共点时，要证明该直线是圆的切线，常用证明方法是：连接圆心和该点，证明直线垂直于所连的半径.
例2如图，已知点O是∠APB平分线上一点，ON⊥AP于N，以ON为半径作⊙O.求证：BP是⊙O的切线.
【分析】该例与上例不同,上例已知BC经过圆上一点D,所以思路是连接半径证垂直.该例BP与⊙O是否有公共点还不能确定,而要证BP是⊙O的切线,需用证明切线的另一种方法,即“作垂直，证明圆心到直线的距离并等于证半径”.
证明:作OM⊥BP于M.
∵OP平分∠APB,且ON⊥AP,OM⊥BP,
∴OM=ON,又ON是⊙O的半径
∴OM也是⊙O的半径
∴BP是⊙O的切线.
【教学说明】证明直线是圆的切线常有三种方法.
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(2)圆心到直线距离等于半径的直线是圆的切线;
(3)经过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.
三、运用新知，深化理解
1.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
2.菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
3.如图，△ABC中，已知AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E.求证:DE是⊙O的切线.
4.如图,AO⊥BC于O,⊙O与AB相切于点D,交BC于E、F,且BE=CF,试说明⊙O与AC也相切.
【教学说明】教师当堂引导学生完成练习,帮助学生掌握切线的判定方法,特别是把握不同条件时用不同的思路证明的理解与掌握.
【答案】1.B 2.B
3.证明:连接OD,则OD=OB,∴∠B=∠BDO.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BDO=∠C,
∴OD∥AC,∴∠ODE=∠DEC.
∵DE ⊥AC,∴∠DEC=90°,∴ODE=90°,
即DE⊥OD,∴DE是⊙O的切线.
4.解:过点O作OG⊥AC,垂足为G,连接OD.
∵BE=CF,OE=OF,∴BO=CO.
又∵OA⊥BC,∴AO平分∠BAC.
∵⊙O与AB切于点D,∴OD⊥AB,
∴OG=OD.∴G在⊙O上,
∴⊙O与AC也相切.
四、师生互动，课堂小结
1.该堂课你学到了什么,还有哪些疑惑?
2.学生回答的基础上教师强调:本堂课主要学习了切线的判定定理及切线的画法,通过例题讲述了证明圆的切线的不同证明方法.

1.教材P75第2~3题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课先探究了圆的切线的判定定理,接着讲述了切线的画法.通过画切线使学生进一步体会到直线是圆的切线须满足的两个条件,然后通过例题讲解了切线的证明方法,通过“理论感性理论”的认知，体验掌握知识的方法和乐趣.




























第2课时 圆的切线的性质

【知识与技能】
理解并掌握圆的切线的性质定理，能初步运用 它解决有关问题
【过程与方法】
通过对圆的切线性质定理及其应用的学习，培养学生分析、归纳问题的能力.
【情感态度】
在学习过程中，独立思考，合作交流，增强学习的乐趣与自信心，在学习活动中获得成功的体验
【教学重点】
圆的切线的性质定理及应用
【教学难点】
圆的切线的性质定理，判定定理的综合应用.

一、情境导入，初步认识
活动1：用反证法证明：两条直线相交只有一个交点
学生完成，教师点拨：
【教学说明】活动1的目的是让同学们熟 悉反证法的证明方法和步骤，为后面切线性质 的证明创造条件.
强调：如果一个命题从正面直接证明比较 困难，则应釆用反证法证明往往比较容易，即 ‘‘正难则反”.
二、思考探究，获取新知
1.切线的性质
活动2：如图，直线L切⊙O于点A，求证l丄OA.
老师点拨：①直接证明，行不行（学生思考）
②若用反证法证明，第一步是什么？（要求学生完成过程)
切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径
【教学说明】关于切线性质的五点理解
1.切线与圆只有一个公共点；
2.切线和圆心的距离等于半径；
3.切线垂直于过切点的半径；
4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心
教学引申：对于任意一条直线，如果具备下
列条件中的两个，就可以推出第三个结论：（1）垂直于切线；(2)经过切点；(3)经过圆心.
2.例题讲解
例1 教材P68例3
教师引导学生完成
【教学说明】本例展示了切线性质定理应
用的基本辅助线作法：“见切点，连接圆心和切点’’，即连接圆心和切点得到垂直或直角解决问题
例2 教材P69例4
【教学说明】该例是圆的切线性质的简单应用，教师可要求学生独立完成
例3 如图，AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线，AC交
⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C
(1)求证：OD丄AC；
(2)若AE=8，，求OD的长.
【解析】（1）∵ BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°

三、运用新知，深化理解
1..在梯形 ABCD中，AD∥BC,AB = CD=5， AD=3,BC=9，以D为圆心，4为半径画圆，下底50与⊙D的位置关系为( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定
2.（山西中考）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( )
A.40°。 B.50° C.60° D.70°

3.如图，两个圆心图，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是
4.如图，⊙O的直径为20cm，弦 AD=16cm， OD丄AB，垂足为点D.则AB沿射线OD方向平移 cm时可与⊙O相切.

5.如图，已知△ABC，以BC为直径，以O为圆心的半圆 交AC于点F，点E为 的中点，连结BE，交AC于点M,AD为△ABC的角平分线，且AD丄BE， 垂足为点H.
(1)求证:AB是半圆O的切线；
(2)若AB= 3,BC=4，求BE的长.

【教学说明】学生自主完成上述习题，加深对新知的理解，并适当对练习中题目加以分析.
【答案】1. C 2.B 3.8＜AB≤10 4.4


∴
四、师生互动，课堂小结
1.本节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.学生回答，教师小结：本节主要学习了切线性质定理的证明及应用，旨在掌握圆的切线的 性质定理及应用切线性质定理的基本思路及基本辅助线作法.

1.教材P69第1、2题.
2，完成同步练习册中本课时的练习.

本节课是从学生用反证法证明圆的切线的性质定理入手，使学生掌握切线的性质定理.通过例 题让学生掌握圆的切线性质定理的应用，加深学生对圆的切线的判定及性质的理解，体验应用知识的成就感，



























2.5.3切线长定理

【知识与技能】
掌握切线长定理及其运用.
【过程与方法】
通过对圆的切线长及切线长定理的学习,培养学生分析,归纳及解决问题的能力.
【情感态度】
通过学生自己的实践发现定理,培养学生学习的积极性和主动性.
【教学重点】
切线长定理及运用.
【教学难点】
切线长定理的推导.

一、情境导入，初步认识
活动1:如图,过⊙O外一点P作⊙O的切线,回答问题:
(1)可作几条切线?
(2)作切线的依据是什么?学生回答,教师归纳展示作法:
(1)①连OP.
②以OP为直径作圆，交⊙O于点A、B.③作直线PA，PB.即直线PA、PB为所求作的圆的两条直线.
(2)由OP为直径,可得OA⊥PA,OB⊥PB,由切线判定定理知:PA、PB为⊙O的两条切线.
【教学说明】该活动中作圆的切线实际上是个难点,教师展示后应放手让学生自己再动手作一次,让学生体会运用知识的成功感.
二、思考探究，获取新知
1.切线长定理
(1)切线长定义:从圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.

(2)如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B.求证:PA=PB,∠APO=∠BPO.
学生完成:由此得出切线的定理.
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
2.切线长定理的运用
例1如图,AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD.
求证:CO∥BD.
【分析】连接AB,因为AD为直径,那么∠ABD=90°,即BD⊥AB.因此要证CO∥BD.只要证CO⊥AB即可.
证明:连接AB.∵CA,CB是⊙O的切线,点A,B为切点,
∴CA=CB,∠ACO=∠BCO,
∴CO⊥AB.∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°,即BD⊥AB,∴CO∥BD.
例2如图,PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E,已知PA=6,求△PCD的周长.
【教学说明】图中有三个分别从点P、C、D出发的切线基本图形,因此可以用切线长定理实现线段的等量转化.
解:∵CA、CE与⊙O分别相切于点A、E,
∴CA=CE.
∵DE、DB与⊙O分别相切于点E、B,∴DE=DB.
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B,
∴PA=PB.
∴△PCD的周长C△PCD=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB
=2PA=12.
四、运用新知，深化理解
1.如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°,则∠BAC的度数是_____.

第1题图 第2题图
2.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，如果∠APB=60°,PA=8，那么弦AB的长是_____.
3.如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,直线OP交⊙O于点D,E,交BC于C,图中互相垂直的直线共有____对.



第3题图 第4题图
4.如图,AD,DC,BC都与⊙O相切,且AD∥BC,则∠DOC=______.
5.如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF.
(1)求证:OD∥BE;
(2)猜想:OF与CD有何数量关系?并说明理由.
【教学说明】学生自主完成,加深对切线长定理的理解.
【答案】1.20° 2.8 3.3 4.90°
5.解：（1）证明：连接OE，
∵AM，DE是⊙O的切线.OA，OE是⊙O的半径，
∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°,
∴∠AOD=∠EOD=∠AOE,
∵∠ABE=∠AOE,∴∠AOD=∠ABE,
∴OD∥BE.
(2)OF=CD,理由：连接OC，
∵BC，CE是⊙O的切线，
∴∠OCB=∠OCE,
∵AM∥BN，
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°,
由（1）得∠ADO=∠EDO，
∴2∠EDO+2∠OCE=180°,
即∠EDO+∠OCE=90°,
在Rt△DOC中，
∵F是DC的中点，∴OF=CD.
四、师生互动，课堂小结
1.在本课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.师生共同回顾切线长的定义及切线的定理.

1.教材P75第5题，P76第11题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课开始让同学们过圆外一点画圆的切线,从而得出切线长的定义及切线长定理,培养学生动手,动脑的习惯,加深对所学知识的认识,并运用所学知识解决实际问题.







2.5.4 三角形的内切圆

【知识与技能】
1.理解三角形内切圆的定义，会求三角形的内切圆的半径.
2.能用尺规作三角形的内切圆.
【过程与方法】
经历作一个三角形的内切圆的过程,培养学生的作图能力.
【教学重点】
三角形内切圆的定义及有关计算.
【教学难点】
作三角形的内切圆及有关计算.

一、情境导入，初步认识
如图,已知△ABC,请作出△ABC的三条角平分线.
问:所作的三条角平分线是否相交于一点,这一点到三角形三边的距离是否相等,为什么?
归纳:三角形三条角平分线交点到三边距离相等.
二、思考探究，获取新知
1.三角形内切圆的作法
如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？

教师引导学生，作与三角形三边相切的圆，圆心到三角形的三条边的距离相等.
学生思考下列问题:
圆心如何确定?
学生回答:
【教学说明】分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN.设它们相交于点I,那么点I到三边的距离相等.以点I为圆心,点I到BC的距离ID为半径作圆,则⊙I与△ABC的三条边都相切.
2.三角形内切圆的相关概念
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
【教学说明】要将三角形的外心与内心区别开来,三角形的外心是三边垂直平分线的交点,三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,三角形的外心可以在三角形的内部、外部和边上,而三角形的内心只能在三角形内部.
3.例题讲解
例1如图,⊙O是△ABC的内切圆,已知∠A=70°,求∠BOC的度数.
解:∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB.
∵∠A=70°.∴∠ABC+∠ACB=110°.
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)
=180°- (∠ABC+∠ACB)
=180°-×110°=125°.
例2如图所示，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为______.
【解析】作OD⊥BC,OE⊥AB,连结OB,OC.由点O为内切圆的圆心,得∠ABO=∠CBO=∠BCO=30°,所以OB=OC，点D为BC的中点，即BD=1.设OD=r,则OB=2r.根据勾股定理，得12+r2=(2r)2,解得r= (舍去负值）.
答案:
【教学说明】本题还可以利用Rt△BOD中的条件，用三角函数或解直角三角形来解决比较容易.
四、运用新知，深化理解
1.下面说法正确的是()
A.与三角形两边相切的圆一定是三角形的内切圆
B.经过三角形的三个顶点的圆一定是三角形的内切圆
C.任意一个三角形都有且只有一个内切圆
D.任意一个三角形都有无数个内切圆
2.如图,△ABC的内切圆的半径为2cm,三边的切点分另为D、E、F,△ABC的周长为10cm，那么S△ABC=______cm2.

第2题图 第3题图
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC相切于D、E、F，半径r=2，则△ABC的周长为______.
4.如图，△ABC的内切圆分别与BC、AC、AB相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm,AC=13cm,求AF、BD、CE的长.




第4题图 第5题图
5.如图,点E为△ABC的内心,AE交△ABC的外接圆于点D,求证:BD=ED=CD.
【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解.
【答案】1.C 2.10 3.30
4.解:AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm，
提示：设AF=AE=x,BF=BD=y,CE=CD=z,则有
解之即可.
5.解:连接BE,E为△ABC的内心,
∴∠BAD=∠CAD,
∴,
∴BD=CD.
又∠ABE=∠CBE,∠BED=∠BAD+∠ABE,
而∠EBD=∠CBE+∠CBD,
又∠CBD=∠CAD,
∴∠BED=∠EBD,
∴ED=BD,∴BD=ED=CD.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问，请与同学们交流一下.
2.本节课先学习了三角形内切圆的作法,接着讲述了三角形内切圆的相关概念,然后是三角形内心的有关计算.

1.教材P75第6、7题，P76第8题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课通过学生动手画三角形的内切圆,解决三角形的内切圆有关的题目,常和切线长定理相联系,学习时要体会到这一点.






2.6 弧长与扇形面积
第1课时 弧长及其相关量的计算

【知识与技能】
理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算.
【过程与方法】
经历弧长公式的推导过程,进一步培养学生探究问题的能力.
【情感态度】
调动学生的积极性,在组织学生自主探究,相互交流合作的学习中培养学生的钻研精神.
【教学重点】
弧长公式及其运用.
【教学难点】
运用弧长公式解决实际问题.

一、情境导入，初步认识
如图是某城市摩天轮的示意图,点O是圆心，半径r为15m,点A、B是圆上的两点，圆心角∠AOB=120°.你能想办法求出AB的长度吗？

【教学说明】学生根据AB是120°是周长可直接求出AB的长，为下面推导出弧长公式打好基础.
二、思考探究，获取新知
问题1在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧长_______.
【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识,同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一组量相等,则另外两组量也分别相等,结论自然不难得出.
问题2 1度的圆心角所对的弧长l=_____.
问题3 半径为R的圆中，n度的圆心角所对的弧长l=______.
【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推导，学生就不容易质疑了.
结论:半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为

注：已知公式中l、r、n的其中任意两个量，可求出第三个量.
三、典例精析，掌握新知
例1已知圆O的半径为30cm,求40度的圆心角所对的弧长.(精确到0.1cm)
解：.
答：40度的圆心角所对的弧长约为20.9cm.
【教学说明】此题是直接导用公式.
例2如图,在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=15°,以C为圆心，CA为半径的圆交点D，若AC=6，求弧的长.
【分析】要求弧长,必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数,即只需求出∠ACD的度数即可.
解:连接CD.
因为∠B=15°,∠BCA=90°,
所以∠A=90°-∠B=90°-15°=75°.
又因为CA=CD,所以∠CDA=∠A=75°.
所以∠DCA=180°-2∠A=30°.
所以的长==π.
【教学说明】在求弧长的有关计算时,常作出该弧所对应的圆心角.
例3如图为一个边长为10cm的等边三角形，木板ABC在水平桌面绕顶点C沿顺时针方向旋转到△A′B′C的位置.求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少？
解：由题可知∠A′CB′=60°.
∴∠ACA′=120°.A点经过的路程即为AA′的长.等边三角形的边长为10cm.即AA′的半径为10cm.
∴AA′的长= (cm).
答：点A从开始到结束经过的路程为cm.
【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在圆的半径，问题就容易解决了.
四、运用新知，深化理解
1.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）
A.6cm B.12cm
C. cm D. cm
2.如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点A到点B，甲虫沿着、、、的路线爬行，乙虫沿着路线爬行，则下列结论正确的是（）
A.甲先到B点 B.乙先到B点
C.甲乙同时到达 D.无法确定
3.如果一条弧长等于l,它所在圆的半径等于R，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加（）
A. B. C. D.
4.(山东泰安中考）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若∠ABC=120°,OC=3,则的长为（）
A.π B.2π
C.3π D.5π

第4题图 第5题图
5.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线无滑动翻滚（如图），那么B点从开始到结束时所走过的路径长度是______.
【教学说明】在弧长公式及其运用的题目中,多是一些基础题,关键是理解公式的推导过程后,在l、n、r中只知道其中任意两个量，就可求出第三个量了.
【答案】1.A 2.C 3.B 4.B 5.
五、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾本小节的知识点.
2.通过本节课的学习,你掌握了那些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.
【教学说明】1.n°的圆心角所对的弧长.
2.学生大胆尝试公式的变化运用.

1.教材P81页第1题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课是从如何计算摩天轮的弧长引入,到学生自己推导出弧长公式,并运用公式解决问题,培养学生动手、动脑的习惯,加深了对公式的理解,并用所学知识解决实际问题.体验了推导出公式的成就感.激发了学生学习数学的兴趣.







第2课时 扇形面积

【知识与技能】
1.掌握扇形的定义.
2.掌握扇形面积公式的推导过程,会运用扇形的面积进行有关计算.
【过程与方法】
经过扇形面积公式的推导,培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.
【情感态度】
经历扇形面积公式的推导过程及利用公式解决实际问题,加强合作交流,集思广益.
【教学重点】
扇形面积公式的推导过程及用公式进行有关计算.
【教学难点】
用公式求组合图形的面积来解决实际问题.

一、情境导入，初步认识
如图所示是一把圆弧形状的扇子的示意图,你能求出做这把扇子用了多少纸吗?要想解决以上问题,需知道求扇形的面积的计算公式.今天我们就来学习扇形的面积.
二、思考探究，获取新知
1.扇形的定义
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形.
【教学说明】1.强调它是一个封闭的图形;
2.扇形包括两半径和弧内部的平面部分.
2.扇形的面积公式同学们结合圆的面积S=πR2，完成下列各题：
（1）该圆的面积可看作是_______的圆心角所在的扇形面积.
(2)设圆的半径为R,1°的圆心角所在的扇形面积为______，2°的圆心角所在的扇形面积为，3°的圆心角所在的扇形面积为______，…,n°的圆心角所在的扇形面积为___.学生解答
【教学说明】(1)360°(2)
因此，在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=,还可推导出
S扇形=,其中l为扇形的弧长.
例1如图，⊙O的半径为1.5cm,圆心角∠AOB=58°,求扇形OAB的面积（精确到 0.1cm2).
解：∵r=1.5cm,n=58,
∴
例2已知半径为2的扇形，其弧长为,则这个扇形的面积为多少？
【分析】已知扇形弧长为l,所在圆的半径为R时，可直接利用扇形的面积公式：S扇形=求解.解: S扇形==.
【教学说明】扇形有两个面积公式，随着已知条件的不同，学生要有不同的公式选择，这样计算更简便.
3.组合图形的面积计算.
例3如图,把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在一起,且∠AOB=∠COD,连接AC.
(1)求证:△AOC≌△BOD;
(2)若OA=3cm,OC=2cm,AB的长为,CD的长为π,求阴影部分的面积.
【教学说明】利用“边角边”证明△AOC≌△BOD，阴影部分是不规则图形，可先将其转化为规则图形，再计算.
(1)证明:∵∠AOB=∠COD,
∴∠BOD=∠AOC.
又∵OA=OB,OC=OD,
∴△AOC≌△BOD.
(2)延长CD,交OB于点F,设AO交CD于点E.
∵S△AOC=S△BOD,
S扇形EOC=S扇形DOF，
∴S图形AEC=S图形BFD.
∴S阴影=S扇形OAB-S扇形OCD
.
【教学说明】扇形面积的学习，主要是求组合图形中的特殊部分的面积，如阴影部分等，关键是找出规则图形之间面积存在怎样的和、差、倍、分关系.
三、运用新知，深化理解
1.（甘肃兰州中考）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（）
A.π B.1 C.2 D.
2.如图所示，一张半径为1的圆心纸片在边长为a(a≥3)的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）
A.a2-π B.(4-π)a2 C.π D.4-π
3.如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点.如果⊙O的半径为1，P是线段AB上的任意一点，则阴影部分的面积为_____.

4.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°,BC=，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是______（保留π).
5.如图，⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，BC为半径作弧，求图中阴影部分的面积.
【教学说明】扇形的面积公式是基础，但关键在解决一些实际问题时，它都不是单一的扇形，而是其组合图形，分解组合图形向基本可求出面积的图形转化方可求出组合图形的面积.
【答案】1.C 2. D 3. 4.
5.解：S阴=S半圆OCAD+S△BCD-S扇形BCED=
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.教师强调：①扇形的概念.
②圆心角为n°的扇形面积S扇= (l为扇形的弧长）.
③组合图形的面积.

1.教材P81第2、3题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课从基本的生活用品扇子引入,到学生自主推导出扇形的两种面积公式,并运用公式解决了组合图形的面积.由简单到复杂,由特殊到一般的解题过程，使学生掌握由浅入深，由简单到复杂的解题技能,而复杂图形又是由简单图形组成,培养学生对数学产生浓厚的兴趣.








2.7 正多边形与圆

【知识与技能】
了解正多边形和圆的有关概念,理解并掌握正多边形半径和边长、中心角之间的关系,会应用多边形和圆的有关知识画多边形.
【过程与方法】
经历画正多形的过程,进一步培养学生的审美观、价值观.
【情感态度】
调动学生的积极性，组织学生自主探究，然后在相互交流学习中培养学生的钻研精神.
【教学重点】
正多边形中几个量之间的关系.
【教学难点】
正多边形中几个量之间关系的计算.

一、情境导入，初步认识
活动1:(1)你能用直尺和圆规将一个圆六等分吗?动手画一画.
教师巡视,看同学们可以用什么方法将一个圆六等分.
(2)如图,把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得六边形ABCDEF，该六边形与一般的六边形有什么不同？
二、思考探究，获取新知
1.正多边形的概念定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
【教学说明】一个多边形是正多边形必须满足两个条件:一是各边都相等,二是各角都相等.
注:(1)各边都相等的多边形不一定是正多边形,如菱形.(2)各角都相等的多边形不一定是正多边形,如矩形.
2.正多边形的画法
活动2:请同学们动手将一个圆三等分、四等分、五等分,然后连接各等分点,看谁作得快!
教师巡视,点拨等分圆周的方法.
问:依次连接得到的三角形、四边形、五边形都是正多边形吗?为什么？
【教学说明】由于在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,因此可得它们都是正多边形.
将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.
例如图,已知⊙O的半径为r,求作⊙O的内接正方形.
【分析】作两条互相垂直的直径,就可以将⊙O四等分,然后依次连接所得四等分点即可.
过程由学生完成
3.正多边形的对称点
活动3:请对活动1和活动2中作出的正三角形,正方形、正五边形、正六边形进行探究.指出它们中哪些是轴对称图形,哪些是中心对称图形?若是轴对称图形，请画出所有对称轴.若是中心对称图形.指出对称中心.
学生回答,教师点评,归纳:
(1)正多边形都是轴对称图形,一个正n边形的每一个顶点与它的中心连线所在的直线都是它的对称轴.
(2)对正n边形，当n为偶数时，它又是中心对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的中心.
三、运用新知，深化理解
1.下列说法正确的是（）
A.各边相等的多边形是正多边形 B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的圆内接多边形是正多边形
2.正八边形的每个内角为（）
A.120° B.135° C.140° D.144°
3.如图所示，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB等于（）
A.36° B.60° C.72° D.108°
4.(湖北恩施中考）下列图形中，有且只有两条对称轴的中心对称图形是（）
A.正三角形 B.正方形 C.圆 D.菱形
5.（江苏宿迁中考）如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于______.
6.如图,正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点F.求证:AC=AB+BF.
【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解.
【答案】1.C 2.B 3.C 4.D 5.72°
6.证明:AC=AF+FC即可以证明AF+FC=AB+BF,通过计算可得到△ABF和△BCF是等腰三角形,可以得到AF=BF,FC=CB,而CB=AB,即可得到结论.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.在学生回答基础上,教师强调:
①正多边形的有关概念. ②如何画正多边形.

1.教材P86第1、2题. 2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课从正多边形的概念入手,培养学生动手、动脑的习惯,加深对新知识的理解和认识.接着让学生动手画正多边形,培养学生合作交流意识和数学审美观,从而提高学生的学习兴趣.






章末复习

【知识与技能】
掌握本章重要知识.能灵活运用有关定理,公式解决具体问题.
【过程与方法】
通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的数形结合思想,分类讨论思想的过程,加深对本章知识的理解.
【情感态度】
在运用本章知识解决具体问题过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,增强数学应用意识,感受数学的应用价值,激发学生兴趣.
【教学重点】
回顾本章知识点,构建知识体系.
【教学难点】
利用圆的相关知识解决具体问题.

一、知识框图，整体把握

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立结构框图.
二、释疑解惑，加深理解
1.垂径定理及推论的应用
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
拓展:①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
说明:由垂径定理及其推论,可知对于一个圆和一条直线.如果具备下列五个性质中的两个,那么就具备其余三个性质.这五个性质分别为:①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.
特别注意:此处被平分的弦不能是直径,因为在圆中,任意两条直径总是互相平分的.
2.三角形内切圆的半径r,周长l与面积S之间的关系.与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.所以,三角形的内心到三角形三边的距离相等,并且一定在三角形内,三角形有唯一的一个内切圆,而圆有无数个外切三角形.
三、典例精析，复习新知
例1如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）
A.AB⊥CD B.∠AOB=2∠AOD C. D.PO=PD
【分析】∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径.∴由垂径定理的推论及“三线合一”的性质即可判断.由题意易判断出D项结论不正确.
例2如图,已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90°,O是AB的中点,⊙O与AC相切于点D, 与BC相切于点E,设⊙O交OB于F,连DF并延长交CB的延长线于G.
(1)∠BFG与∠BGF是否相等?为什么?
(2)求由DG、GE和所围成图形的面积(阴影部分).
解:(1)是.连接OD,∵OD=OF,
∴∠ODF=∠OFD,
∵⊙O与AC相切于点D,
∴OD⊥AC.
又∵∠C=90°,即:GC⊥AC
∴OD∥GC.
∴∠BGF=∠ODF,
又∵∠BFG=∠OFD,
∴∠BFG=∠BGF.
(2)如图,连接OE,则四边形ODCE为正方形,边长为3.
∵∠BFG=∠BGF,∴BG=BF=OB-OF=.
∴CG=CB+BG=.
S阴影=S△DCG-(S正方形ODCE-S扇形ODE）=.
例3如图⊙O的半径为1,过点A（2，0）的直线与⊙O相切于点B，交y轴于点C.
(1)求线段AB的长.
(2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式.
解:(1)连接OB.∵AC是⊙O的切线
∴OB⊥AC,
∴.
(2)过B作BE⊥OA于E,
∴S△ABO=·BE·OA=·OB·AB.
∴.
∴.
∴.设直线AC的解析式为y=kx+b.
则：
∴
∴以直线AC为图象的一次函数的解析式为.
四、复习训练，巩固提高
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP∶PB=1∶4，CD=8，则AB=___.

第1题图 第2题图
2.如图,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧上的一点,已知∠BAC=80°,那么∠BDC=______.
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC绕点B沿逆时针方向旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中，线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为______.
4.如图，已知直线AB：y=-x+4交x轴于点A，交y轴于点B，O1为y轴上的点，以O1为圆心，经过A、B两点作圆，⊙O1与x轴交于另一点C，AF切⊙O1于点A，直线BD ∥AF交⊙O1于点D，交OA于点E.
(1)求⊙O1的半径；(2)求点E的坐标.
【答案】1.10 2.50°3.π【解析】连接BH、BH1,则有△BOH≌△BO1H1,由勾股定理，得BH=BH1=,BO=BO1=2,
所以阴影部分的面积.
4.解：（1）连接O1A交BD于点H，
设⊙O1的半径为r.
∵直线y=-x+4.
∴OB=4,OA=8.
∵OO12+OA2=O1A2,
∴(r-4)2+82=r2,解得r=10,
∴⊙O1的半径为10.
(2)∵AF是⊙O1切线，
∴O1A⊥AF.又∵BD∥AF，
∴O1A⊥BD,∴,
∵OB⊥AC,∴,
∴,∴∠EAB=∠EBA,
∴EA=EB.设OE=x,则EB=AE=8-x,
∵OE2+OB2=BE2,∴x2+42=(8-x)2,
解得x=3,∴点E的坐标为（3,0).
五、师生互动，课堂小结
本堂课你能完整地回顾本章所学的有关圆的知识吗？你学会了哪些相关的证明方法？你还有哪些疑问？
【教学说明】教师引导学生回顾本章知识，尽可能让学生自主交流与反思，对于学生的困惑与疑问，教师应予以补充和点评.

1.布置作业:从教材“复习题24”中选取.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课通过学习归纳本章内容,以垂径定理、内切圆、两圆相交作公共弦等知识点为支撑,力求以点带面,查漏补缺,让学生对本章知识了然于胸.此外,又通过两个有关切线的例题,加强对重点知识的训练.使学生能在全面掌握知识点前提下,又能抓住重点.
第3章 投影与视图
3.1 投影
第1课时 平行投影与中心投影

【知识与技能】
1.了解投影、投影线、投影面的概念，掌握平行投影和中心投影的概念及性质.
2.能够确定物体在平行光线和点光源发出的光线在某一平面上的投影.
【过程与方法】
经过观察、想象，体会中心投影与平行投影之间的区别.
【情感态度】
1.积极参与探索，总结，与同伴交流，勇于解决问题.
2.通过了解，感受我国古代灿烂的文化，并会用数学的眼光观察世界.
【教学重点】
平行投影、中心投影的含义及其特征.
【教学难点】
平行投影与中心投影的区别及判断方法.

一、情境导入，初步认识
媒体展示:①物体在日光或灯光的照射下，在墙壁或地面形成影子；②皮影戏；③灯光下，做不同的手势形成各种各样的手影.(可让学生参与现场表演，激发学生求知欲)
二、思考探究，获取新知
1.投影及平行投影的概念阅读教材P95，了解投影的定义及平行投影的定义.
(1)投影的定义:光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫投影线，投影所在的平面叫投影面.
(2)平行投影的定义:由平行光线形成的投影.如物体在太阳光的照射下形成影子.
【教学说明】平行投影的特征:同一物体在不同时刻太阳光下影子的方向和长短是不一样的.一般上午的影子由西→西北→北变化，影子越来越短，下午的影子由北→东北→东变化，影子越来越长.
例1 如图，有两根木棒AB，CD在同一平面上竖着，其中AB这根木棒在太阳光下的影子为BE，请画出CD的影子DF，并说明你是怎样画的.
【分析】因为是太阳光下的影子，所以光线应是平行的，木棒的顶端A与影子E的连线AE即为太阳光线.
解:过点C作CF∥AE，交BD所在的直线于F，则DF就是所求的CD的影子，如图所示.2.中心投影中心投影的定义:探照灯，路灯或台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影.
【教学说明】①中心投影会改变物体的形状和大小.我们前面学过的位似图就是中心投影.
②中心投影的点光源，物体边缘上的点及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两点，就可以求出第三个点位置.
例2 如图，垂直于地面的两根木杆AB，CD在同一路灯下的影子分别是BE，DF，试画出路灯灯泡的位置.
【分析】因为路灯发出的光线均从一点(即灯泡)出发，故光线AE，CF的交点即为灯泡所在位置.
解:连接EA，FC并延长，交点为P，则点P是灯泡的位置.
三、运用新知，深化理解
1.晚上小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影( )
A.变长 B.变短 C.先变长后变短 D.先变短后变长
2.(湖北宜昌中考）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（ ）
A.越来越小 B.越来越大 C.大小不变 D.不能确定
3.在一个晴朗的白天里，小亮在向正北方向走路时，发现自己的身影向左偏，你知道当时所处的时间是（ ）
A.上午 B.中午 C.下午 D.无法确定
4.从早上太阳升起的某一时刻开始到晚上，操场上旗杆在地面上的影子变化规律是（ ）
A.先变长，后变短 B.先变短，后变长
C.方向改变，长短不变 D.以上都不正确
5.在同一时刻，身高为1.6米的小强的影长是1.2米，旗杆的影长是15米，则旗杆高为_______.
6.确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子.

7.如图，我国某大使馆内有一单杠支架，支架高2.8m，在办公楼前竖立着高28m的旗杆，旗杆底部离大使办公楼墙根的垂直距离为17m，在阳光灿烂的某一时刻，单杠支架的影长为2.24m，办公室窗口离地面5m，问此刻旗子的影子是否能达到办公室的窗口？

【教学说明】学生自主完成加深对新知的理解.
【答案】1. D 2. A 3. A 4. B 5. 20米 6.略
7.解:能达到.设旗杆的影长为xm，依题意 ,∴x=22.4，22.4-17=5.4，再设影子落在办公楼上的影高为ym，依题意得，∴y=6.75＞5，∴旗子的影子能达到办公室的窗口.
四、师生互动，课堂小结
1.本堂课主要学习了投影、平行投影、中心投影的有关概念，初步认识了平行投影和中心投影的特征，通过例题和练习掌握了平行投影的简单应用.
2.本堂课你学到了什么，还有什么疑惑和同学们交流一下.

1.教材P99第2、3题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课首先通过媒体展示、学生动手，让学生们初步感知投影，接着学习平行投影及中心投影的概念，通过例题和练习掌握投影的简单应用，培养学生积极探索、动手动脑的习惯，增强学习数学的兴趣.


















第2课时 正投影

【知识与技能】
1.理解正投影概念，了解点、直线、平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影.
2.掌握正投影的成像规律，会画一个立体图形的正投影.
【过程与方法】
经过观察、想象、体会正投影的概念，了解中心投影、平行投影与正投影的关系.
【情感态度】
1.积极参与探索，勇于解决问题.
2.会用数学的眼光观察世界.
【教学重点】
掌握正投影的概念，了解中心投影、平行投影和正投影的关系.
【教学难点】
掌握线段、正方形、正方体的正投影特征.

一、情境导入，初步认识
1.同学们回顾一下：
①什么是投影？②投影包括哪几种？
2.同学们猜想一下：平行投影时，当投影线垂直于投影面时，物体形成的投影如何呢？
二、思考探究，获取新知
1.正投影的定义
让同学们拿着课本，看看它在太阳光下的正投影是什么形状?
正投影定义：平行投影中，如果投影线与投影面垂直，就称为正投影.
【教学说明】正投影是一种特殊的平行投影，它区别于一般的平行投影的不同之处是投影线垂直于投影面.
2.正投影的特征
探究1 如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置；①铁丝平行于投影面；②铁丝倾斜于投影面；③铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）.
三种情况下铁丝的正投影各是什么形状?由此你可以猜想线段的正投影有什么规律?

学生自主完成，小组内展示，细铁丝可以用铅笔代替.
【教学说明】①铁丝平行于投影面时，它的正投影的形状跟大小与它本身完全相等；
②铁丝倾斜于投影面，它的正投影仍是一条线段，但长度变短了；
③铁丝垂直于投影，它的正投影变成了一个点.
正投影特征：①当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB=A1B1；②当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB＞A2B2；③当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3.
探究2 如图，把一块正方形硬纸板Q（例如正方形ABCD）放在三个不同位置：
①纸板平行于投影面；②纸板倾斜于投影面；③纸板垂直于投影面.
三种情况下纸板的正投影各是什么形状?由此你可以猜想得出什么规律?

【教学说明】用作业本做一个投影试验就可得出结论.
结论：①纸板Q平行于投影面P时，Q的正投影与Q形状、大小一样（即全等）；
②纸板Q倾斜于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小发生变化（面积变小）；
③纸板Q垂直于投影面P时，Q的正投影成为一条线段.
例 如图，按照箭头所指的投影方向，画出长方体的正投影，并标出尺寸.

解：(1)正投影是一个正方形，如图(1).
(2)正投影是一个矩形，如图(2).

三、运用新知，深化理解
1.正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（ ）
A.正方形 B.平行四边形或线段 C.矩形 D.菱形
2.当棱长为20cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（ ）
A. 20cm2 B. 300cm2 C. 400cm2 D. 600cm2
3.当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是（ ）

4.下列命题中真命题的个数为（ ）
①正方形的平行投影一定是菱形；②平行四边形的平行投影一定是平行四边形；③三角形的平行投影一定是三角形.
A.1 B.2 C.3 D.0
5.一个长方形的正投影的形状、大小与原长方形完全一样，则这个长方形_______投影面；一个长方形的正投影的形状、大小都发生了变化，则这个长方形_______投影面.
6.已知一纸板的形状为正方形ABCD(如图)，其边长为10cm，AD、BC与投影面β平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠ABB1=45°，求正投影A1B1C1D1的面积.
【教学说明】学生自主完成，教师巡视引导分析.
【答案】1.B 2.C 3.D 4.D 5.平行于 倾斜于
6.解：如图：过点A作AH⊥BB1于H，
∵∠ABB1=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，


四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.在学生回答的基础上，教师点评：①线段、平面图形、立体图形的正投影规律；②画物体的正投影应注意哪些细节?

1.教材P100第5、6题.
2.完成同步练习册本课时的练习.

本节课通过学生自己动手完成书本、铅笔在太阳光下的正投影，加深了对正投影概念的理解，有利于对正投影规律的掌握，培养了学生动手、动脑和探究问题的能力.


3.2 直棱柱、圆锥的侧面展开图

【知识与技能】
1.认识直棱柱、圆锥的侧面展开图，并会计算.
2.进一步培养我们的空间观念和综合运用知识的能力.
【过程与方法】
1.通过动手操作，经历体验，合作探究，培养我们的观察能力、抽象思维能力和概括能力.
2.通过直棱柱、圆锥侧面展开图的教学，向我们渗透化曲面为平面，化立体图形为平面图形的“转化”思想.
【情感态度】
1.渗透数学应用意识教育和数学审美教育，提高学习数学的兴趣.
2.通过本节教学，培养我们合作交流意识，主动探索，敢于实践的良好学风.
【教学重点】
直棱柱、圆锥的侧面展开图分别是什么图形.
【教学难点】
直棱柱、圆锥的侧面展开图的相关计算.

一、情境导入，初步认识
如图是一个长方体，大家数一下它有几个面，几条棱，上、下面与侧面有什么位置关系，竖着的棱与上、下面有何位置关系?
二、思考探究，获取新知
观察下列图中的立体图形，它们的形状有什么共同特点?

1.直棱柱的有关概念
在几何中，我们把上述这样的立体图形称为直棱柱，其中“棱”是指两个面的公共边.它具有以下特征：(1)有两个面互相平行，称它们为底面；(2)其余各个面都为矩形，称它们为侧面；(3)侧棱(指两个侧面的公共边)垂直于底面.
根据底面图形的边数，我们分别称它们为直三棱柱、直四棱柱、直五棱柱、直六棱柱等.
2.直棱柱的侧面展开图
要求同学们把准备好的长方体纸盒的侧面沿一条侧棱剪开，试试看能否展开成一个平面，它是什么图形?
结论：将直棱柱的侧面沿着一条侧棱剪开，可以展开成平面图形，称为直棱柱的侧面展开图.
直棱柱的侧面展开图是一个矩形，这个矩形的长是直棱柱的底面周长，宽是直棱柱的侧棱长.
例1 教材P102例1
【教学说明】直棱柱的侧面展开图的有关计算中，实际上是转换成直棱柱的底面周长和高的计算.
3.圆锥的侧面展开图
(1)圆锥的有关概念：如右图是一个圆锥，它是由一个底面和一个侧面围成的图形，它的底面是一个圆，连接顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高，圆锥顶点与底面圆周上上任意一点的连线都叫做圆锥的母线，母线的长度都相等.
(2)把圆锥的侧面沿它的一条母线展开，它的侧面可以展开成一个平面图形，称为圆锥的侧面展开图.
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长.
例2 教材P103例2
三、运用新知，深化理解
1.下面的图形中，是三棱柱的侧面展开图的是（ ）

2.(黑龙江齐齐哈尔中考）小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒（如图），六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（ ）

3.如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）
A.1 B.34
C.12 D.13
4.若一个圆锥的底面积是侧面积的13，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______度.
5.如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，那么圆锥的全面积为_______.
6.如图，已知圆锥的母线AB=6，底面半径r=2，求圆锥的侧面展开图的扇形圆心角.

第6题图 第7题图
7.如图所示的是一个食品包装盒的平面展开图.
(1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称；
(2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积(侧面积与两个底面积之和).
【教学说明】教师引导学生当堂完成，帮助学生认识直棱柱，扇形的侧面展开图及其公式的理解.
【答案】1.A 2.C 3.C 4.120 5.24πcm2
6.解：设圆心角为n°，则有2πr=·AB
∴4π=×6，∴n=120，扇形的圆心角α=120°
7.(1)这个多面体是直六棱柱 (2)S侧=6ab S全面积=6ab+3b2
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.在学生回答基础上，教师点评：
(1)直棱柱的侧面展开图是矩形，其面积=直棱柱的底面周长×直棱柱的高.
(2)圆锥侧面积公式：S侧=πrl（r为底面圆半径，l为母线长）
(3)圆锥全面积公式：S全=πrl+πr2(r为底面圆半径，l为母线长）

1.教材P104第1、2、3题.
2.完成同步练习册本课时的练习.

本节课首先让同学们认识直棱柱的有关概念及其棱柱的侧面展开图，接着学习了圆锥的有关概念及其侧面展开图，通过例题和练习初步掌握了直棱柱和圆锥的侧面展开图的有关计算，完成了从立体到平面的转化，增强了同学们学习的成就感.










3.3 三视图
第1课时 几何体的三视图

【知识与技能】
1.理解并掌握视图的概念，会判断简单几何体的三视图.
2.会画出圆柱、圆锥、球、棱柱的三视图.
3.培养我们的识图能力和观察能力.
【过程与方法】
让学生经历观察，想象得出简单几何体的三视图，培养学生的空间想象力，形成从不同的角度观察事物，深入而全面地看问题的思想.
【情感态度】
让学生在观察，试验，操作中，丰富数学活动经验，激发学生的练习兴趣.
【教学重点】
掌握三视图的概念，会判断简单几何的三视图.
【教学难点】
画组合几何体的三视图.

一、情境导入，初步认识
思考：在正午的太阳光下，一个物体在地面上的影子是一个圆，你能确定这个物体的形状吗?
同学们讨论，分小组发言.
同学们发言完毕后，教师展示：
如图所示的几何体，在正午的太阳光下，在地面的影子分别是什么?

学生很容易得出它们的影子都是圆.
归纳：影子是圆的物体可以是圆、球、圆柱、圆锥等，这说明单凭在地上的影子，不可以确定物体的形状，即从一个方向看物体，不能确定物体的形状.
二、思考探究，获取新知
1.视图的概念
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影不改变这个图的形状和大小，按照这个原理，当从某一角度观察物体在这种正投影下的像就称为该物体的一个视图.
主视图是在正面内得到的由前向后观察物体的视图；俯视图是在水平面内得到的由上向下观察物体的视图；左视图是在侧面内得到的由左向右观察物体的视图.主视图、左视图、俯视图统称为“三视图”.
2.三视图的画法
例1 画出如图所示一些基本几何体的三视图.

【分析】画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方向观察它们，具体画法为：确定主视图的位置，画出主视图；在主视图下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”.
解：

(1)圆柱 (2)三棱柱 (3)四棱柱 (4)球
【教学说明】三视图一般规定主视图要在左上边，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图右边，其中主视图反映物体的长和高，左视图反映物体的高和宽，俯视图反映物体的长和宽.可以概括为：“长对正，高平齐，宽相等”.
例2 某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件的左视图是( )

【教学说明】工件是一长方体中挖出一个圆柱体，画左视图要注意看得见的轮廓线画成实线，看不见的部分画成虚线.
三、运用新知，深化理解
1.（四川成都中考）下列几何体的主视图是三角形的是（ ）

2.（安徽中考）如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（ ）

3.（山东泰安中考）下列几何体，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）

4.（浙江温州中考）如图所示的支架是由两个长方体构成的组合体，则它的主视图是（ ）

5.三棱柱、四棱柱、圆柱的主视图为________，左视图为________.
6.如图所示是由几个小立方块所搭的几何体，请你画出它们的三视图.

【教学说明】由物体得到三视图是基础知识，也是中考的考点之一，大多数以选择题和填空题的形式出现，教师着重引导分析培养学生认识立体图形的能力.【答案】1.B 2.D 3.D 4.D 5.矩形矩形
6.如图所示.

四、师生互动，课堂小结
教师强调：①三视图的概念. ②三视图的画法及注意点.

1.教材P111~P112第1、2、3题. 2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课由正午太阳光下的物体的影子引入视图及三视图的概念，接着介绍三视图的画法，通过作图巩固三视图的概念.培养了学生动手、动脑和空间想象能力.增加学生对美学的了解.激发了他们的求知欲望，从而加强了学生的学习兴趣.







第2课时 由三视图确定几何体

【知识与技能】
进一步明确三视图的意义，由三视图想象出原型进一步明确三视图意义，由三视图得出实物原型并进行简单计算.
【过程与方法】
让学生从三视图得出实物，培养学生的空间想象力，形成不同角度观察事物，深入而全面看问题的思想.
【情感态度】
让学生在观察，试验中丰富数学活动经验，从而激发学生的学习兴趣.
【教学重点】
由三视图想象出实物原型.
【教学难点】
由三视图抽象出原型并进一步计算.

一、情境导入，初步认识
同学们独立完成以下几个问题：
1.画三视图的三条规律，即视图长对正；视图高平齐；视图宽相等.
2.如图所示，分别是由若干个完全相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是_______.

答案：1.主、俯 主、左 左、俯
2.4个或5个
二、思考探究，获取新知
1.由三视图想象出简单的几何体.
学生独立完成教材P109说一说.
【教学说明】由三视图想象立体图形，要先根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形.
例1 讲解教材P109例4
2.由三视图确定组合体的名称.
例2 已知一个几何体的三视图如图所示，想象出这个几何体.

解：根据三视图想象出的几何体是一个长方体上面正中部分竖立一个小圆柱，如图.
【教学说明】有些三视图反映的是两个或多个基本几何体，我们可以从三视图中分解出各个基本几何体的三视图，先想象出各个基本几何体，再根据它们三视图的位置关系确定这些基本几何体的组合关系.
例3 如图所示是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则小立方体不可能是( )个?选择并说明理由.

A.6 B.7 C.8 D.9
解：如图，根据左视图可以推测d=e=1，a、b、c中至少有一个为2.

当a、b、c中一个为2时，小立方体的个数为：1+1+2+1+1=6；
当a、b、c中两个为2时，小立方体的个数为：1+1+2+2+1=7；
当a、b、c三个都为2时，小立方体的个数为：1+1+2+2+2=8.
所以小立方体的个数可能为6个、7个、8个.
故选D.
【教学说明】1.由视图确定物体形状时，仅一个视图不能确定其空间形状，必须把各视图对照起来看.
2.对于复杂的物体，由三视图想象出实物原型，计算时先应搞清三个视图的长、宽、高与实物体的对应关系.
三、运用新知，深化理解
1.（四川遂宁中考）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）

A.棱柱B.圆柱C.圆锥D.球
2.已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图所示，则其主视图为（ ）

3.（浙江杭州中考）已知某几何体的三视图（单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积等于（ ）
A.12πcm2 B.15πcm2 C.24πcm2 D.30πcm2

第3题图 第4题图
4.（云南昆明中考）如图是由3个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

5.（浙江湖州中考）如图，由四个小立方体组成的几何体中，若每个小立方体的棱长都是1，则该几何体俯视图的面积是______.
【教学说明】教师巡视，学生自主解答加深对由三视图说物体的理解.
【答案】1.B 2.D 3.B 4.B 5.3
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.在学生回答的基础上，教师点评：只有物体的三视图全部已知，才能根据三视图想象出几何体(实物).

1.教材P112第4题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课是在学习了简单物体的三视图的基础上，反过来已知物体的三视图想象出实际物体，既是对三视图知识的完善，又是三视图知识的简单应用，培养了学生的空间想象能力，使同学们初步体会到由平面图形到立体图形的转化也是一种数学方法.










章末复习

【知识与技能】
掌握本章的重要知识，能灵活解决视图的相关问题.
【过程与方法】
通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数学思想，转化思想的过程，加深对本章知识的理解.
【情感态度】
在运用本章知识解决问题的过程中，进一步培养学生空间主体思维，激发学习兴趣.
【教学重点】
回顾本章知识点，构建知识体系.
【教学难点】
运用三视图的知识解决实际问题.

一、知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解
1.在平行投影中，如果三视图与投影面互相垂直，称为“正投影”，当物体面平行于投影面时，这个面的正投影不改变这个面的形状和大小，三视图是根据这个原理来反映物体的形状的.
2.有关三视图计算问题的“三步法”

三、典例精析，复习新知
例1 如图，小亮在广场上乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立的广场上的灯杆，点P表示照明灯.
(1)请你在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子.
(2)如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出小亮影子的长度.
【分析】灯P、点A与影子的端点在同一直线上.
解:(1)如图，线段BC是小亮在照明灯(P)照射下的影子.
(2)在△ABC和△CPO中，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠POC=90°，
∴△CAB∽△CPO.
∴.
∴.
∴BC=2m.
∴小亮的影子的长度为2m.
例2 如图是一个几何体的三视图.

(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据所示数据计算这个几何体的全面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程.
【规范解答】(1)圆锥；
(2)全面积S=S扇形+S圆=πrl+πr2=12π+4π=16π(平方厘米）.
(3)如图将圆锥侧面展开，线段BD为所求的最短路程，由条件得，∠BAB′=120°，C为弧BB′的中点，所以BD=3 厘米.
四、复习训练，巩固提高
1.（北京中考）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A.圆锥 B.圆柱
C.正三棱柱 D.正三棱锥
2.（四川南充中考）下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）

3.（河南中考）将两个长方体如图所示放置，则所构成的几何体的左视图可能是（ ）

4.（山东东营中考）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）

5.如图所示，△ABC是一个圆锥的左视图，其中AB=AC=5，BC=8，则这个圆锥的全面积是_______.

第5题图 第6题图
6.一个长方体木块的正中央位置搁着一个乒乓球，已知它的主视图与俯视图如图所示，请补画出它的左视图.
7.如图所示，测得电线杆AB落在斜坡CD上的影长CE=4m，又测得平地上的影子BC=10m，坡度为30°，同一时刻垂直于地面的1m长的竹竿影长为2m，请计算此电线杆的高度（结果保留根号）.
【教学说明】学生自主完成，教师巡视，引导分析.
【答案】1.C 2.D 3.C 4.B 5.36π
6.如图所示.

7.(7+)m
五、师生互动，课堂小结
本堂课你能完整地回顾本章所学的三视图的知识吗？你能画简单物体的三视图吗？你能由三视图想象出简单物体吗？你还有哪些疑惑？

1.教材P115~P116第3、4、5题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节通过学习归纳本章内容，主要是投影.直棱柱、圆锥的侧面展开图及三视图等知识点，让学生对本章知识有进一步掌握，重点的是三视图的画法及反过来应用.

















第4章 概率
4.1 随机事件与可能性

【知识与技能】
1.了解必然事件，不可能事件和随机事件的概念.
2.理解随机事件发生的可能性大小.
【过程与方法】
通过举出生活中常见的例子，体会确定性事件和随机事件的概念，认识随机事件发生的可能性大小.
【教学重点】
不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
【教学难点】
理解随机事件发生的可能性的大小.

一、情境导入，初步认识
动脑筋：下列事件中，哪些一定发生，哪些不可能发生，哪些可能发生.
①晴天的早晨，太阳从东方升起.
②通常，在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾.
③a是实数，a2＜0.
④种瓜得豆.
⑤买一张福利彩票，中奖.
⑥掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上.
【教学说明】要求同学们凭生活经验或已学过知识，对上述问题分组讨论，然后回答.
二、思考探究，获取新知
1.必然事件、不可能事件、随机事件的概念
在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件，如动脑筋中的①和②.
在一定条件下，一定不发生的事件称为不可能事件，如动脑筋中的③和④.
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，如动脑筋中的⑤和⑥.
必然事件和不可能事件统称为确定性事件，确定性事件和随机事件统称为事件.
事件的分类

请同学们举出日常生活中见到的必然事件，不可能事件，随机事件的例子.
例1 掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，试问，下列哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件?
(1)出现的点数大于0.
(2)出现的点数为7.
(3)出现的点数为5.
【教学说明】本例比较简单，要求学生独立完成作答.
2.随机事件发生的可能性大小
动脑筋：
①掷一枚均匀的硬币，是正面朝上的可能性大，还是反面朝上的可能性大？
②一个袋中有8个球，5红3白，球的大小和质地完全相同，搅均匀后从袋中任意取出一个球，是取出红球的可能性大，还是取出白球的可能性大？
【教学说明】教师引导学生讨论，分小组回答完成.
归纳：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同.
例1 教材P121例题
3.教师引导学生完成教材P121的议一议.
三、运用新知，深化理解
1.有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是( )
A.事件A，B都是随机事件
B.事件A，B都是必然事件
C.事件A是随机事件，事件B是必然事件
D.事件A是必然事件，事件B是随机事件
2.下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形，其中确定事件有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A.守株待兔 B.一箭双雕 C.水中捞月 D.瓮中捉鳖
4.一个袋中装有7个红球，3个白球，从中任意摸出一球，则（ ）
A.一定是红球 B.摸到红球的可能性大
C.摸到红球、白球的可能性一样大 D.一定是白球
5.小华买一张电影票，座位号是2的倍数的可能性比座位号是5的倍数的可能性______.(填“大”“小”或“相等”）
6.一个不透明的口袋里有5个红球，3个白球，2个绿球，这些球形状和大小完全相同，小明从中任摸一个球.
(1)你认为小明摸到的球很可能是什么颜色?为什么?
(2)摸到三种颜色球的可能性一样吗?
(3)如果想让小明摸到红色球和白色球的可能性一样，该怎么办?写出你的方案.
【教学说明】学生自主完成，在完成上述题目后.
【答案】1.D 2.B 3.D 4.B 5.大
6.解：(1)红色，因为红球最多；
(2)不一样；
(3)取2个红球出来，或放2个白球进去.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾事件的分类及概念，知道随机事件发生的可能性有大小.
2.通过这节课学习，你掌握了哪些知识?还有哪些疑问?请与同学们交流.

1.完成教材P122第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课由生活中常见的例子，引出必然事件、不可能事件、随机事件的概念，让学生了解到随机事件发生的可能性有大小，培养学生动脑的习惯，体验生活与新知识的紧密联系，提高学习兴趣.





















4.2 概率及其计算
4.2.1 概率的概念

【知识与技能】
1.了解概率的定义，理解概率的意义.
2.理解P(A)= (在一次试验中有n种可能的结果，其中A包含m种）的意义.
【过程与方法】通过生活中简单的例子帮助学生理解概率的意义，掌握概率的计算方法.
【情感态度】
对概率意义的正确理解.
【教学重点】
概率计算方法的掌握.

一、情境导入，初步认识
问题1：在一个袋子里放有1个白球和1个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同，从袋子中随机取出一个球.问(1)摸出的球可能是哪个球?(2)全部可能结果有几种?(3)每种结果的可能性大小如何?
学生讨论交流后回答，教师总结归纳：
(1)摸出的球可能是白球或红球；(2)全部可能结果有2种.(3)每种结果的可能性大小都是.
二、思考探究，获取新知
1.概率的概念
问题2：如图是一个能自由转动的游戏转盘，红、黄、蓝3个扇形的圆心角均为120°，让转盘自由转动，当它停止时，问（1）指针可能停在哪个扇形区域？（2）全部可能结果有几种？（3）每种结果的可能大小如何？
教师鼓励学生动脑，模仿问题作出回答.
概率的概念
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的 概率 ，记为 P(A) .
2.概率的计算
教师引导学生阅读完成教材P125动脑筋从而得出概率的计算方法.
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种可能，那么事件A发生的概率为P(A)=，其中的范围是0≤≤1，因此，P（A）的范围是0≤P(A)≤1，当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）= 0 .
3.例题讲解
例1 见教材P126例1
例2 （四川凉山州中考）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同质地相同的球，其中3个白球，4个黑球.
(1)从中随机取出一个黑球的概率是多少?
(2)若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式.
【分析】计算哪一种颜色的球的概率，就用这种颜色球的个数除以球的总个数.
解：(1)取出一个黑球的概率P=.
(2)∵取出一个白球的概率，∴.∴12+4x=7+x+y，∴y与x的函数关系式为y=3x+5.
例3 小明随机地在正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为_______.
【答案】
【教学说明】针扎到阴影区域的概率=.
三、运用新知，深化理解
1.（北京中考）如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（ ）


2.（江苏苏州中考）如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（ ）

3.（浙江湖州中考）已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为13，则a等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.（天津中考）如图是一副普通扑克牌中的13张黑桃牌.将它们洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，则抽出的牌点数小于9的概率为_______.
5.（湖南长沙中考）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是________.
6.掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：
(1)点数为2； (2)点数为奇数； (3)点数大于2小于5.
【教学说明】学生自主完成，加深对新学知识的理解和掌握.
【答案】1.D 2.D 3.A 4. 5.
6.解：(1)；(2)；(3).
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾概率的概念及概率的计算方法.
2.通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?请与同学们交流.

1.教材P127第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课由摸球试验和玩转盘游戏让学生感受概率的概念及概率的计算方法，培养学生思考、总结的习惯，并用所学的知识解决实际问题，体验应用知识的成就感.


















4.2.2 用列举法求概率
第1课时 用列表法求概率

【知识与技能】
1.进一步在具体情境中了解概率的意义.
2.会用列表法求出简单事件的概率.
【过程与方法】
通过生活中简单的例子，通过列表列举出事件的所有结果，进而求指定事件的概率.
【情感态度】
通过小组合作、探究、发现解决数学问题的方法和途径，从而激发求知欲.
【教学重点】
用列表法求概率的过程与方法.
【教学难点】
理解“等可能事件”，摸球或抽卡片放回与不放回的区别.

一、情境导入，初步认识
活动1：一枚硬币连续掷两次，求下列事件概率.
(1)两次全部正面朝上；
(2)两次全面反面朝上；
(3)一次正面朝上，一次反面朝上.
学生分组讨论，思考，教师让学生回答解题结果：(1) (2) (3)
教师问：解决上述问题，能否用一个表格先列举出所有可能结果，再解题呢?这个表格应怎样列，学生先动手试试看，然后教师展示列表.

思考：若能先列出表格，列举出试验的所有结果，再求确定事件的概率，是否要简捷一些.
二、思考探究，获取新知
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性都相等，可以用列表列举出试验结果的方法，分析出随机事件的概率.
例 李明和刘英各掷一枚骰子，如果两枚骰子的点数之和是奇数，则李明赢，如果两枚骰子的点数之和为偶数，则刘英赢，这个游戏公平吗?
【分析】1.游戏对双方是否公平，要看双方获胜的概率是否相等，若相等，则公平，若不相等，则不公平.
2.各掷一枚骰子，可能出现的结果比较多，为了不重不漏，可用列表法列举出所有可能结果.解：
列表

从表中可以看出，出现点数之和为奇数的结果有18种，出现点数之和为偶数的结果也有18种.
∴P(李明胜)=，P(刘英胜)=，所以游戏公平.
【教学说明】以上例可以看出用列表法求概率的关键是能根据题意正确列出表格，用表格列举出事件出现的所有结果.
活动2：教师引导学生完成教材P128的“做一做”.
【教学说明】用列表法求概率适用的对象是：
1.试验出现各种结果的个数是有限个.
2.试验涉及两个因素或分两步完成，如掷两个骰子，抽两张卡片，两次摸球等.
强调：当试验为模球或抽卡片时，一定要分清第一次摸球或抽卡片后，“球”与“卡”是否放回，即“放回”与“不放回”结果是不同的.
三、运用新知，深化理解
1.从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是（ ）

2.均匀的正四面体的各面上依次标有1，2，3，4四个数字，同时抛掷两个这样的正四面体，着地的一面数字之和为5的概率是（ ）

3.（福建福州中考）从1，2，-3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ）

4.(山东潍坊中考)将一个转盘分成6等份，分别是红、黄、蓝、绿、白、黑，转动转盘两次，两次能配成“紫色”的概率是________（红色和蓝色配成紫色）.
5.（湖北黄冈中考）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4.小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球.记小明摸出球的标号为x，小强摸出球的标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜.
(1)若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率；
(2)若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由.
【教学说明】学生先自主解答，再教师引导分析讲解，加深对新知识理解.
【答案】1.C 2.B 3.B 4.
5.解：（1）由题意知（x，y)共有（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）共12种，其中x＞y有6种，∴小明获胜的概率P（x＞y)==.
(2)由题意知（x，y)除（1）中情形外，还有（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）共16种.其中x＞y有6种.
∴x＞y的概率P（x＞y)= =＜，
∴游戏规则不公平.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾用列表法求概率的方法和步骤.
2.通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问，请与同伴交流.

1.教材P129第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课从掷硬币试验引出用列表法求简单事件的概率，通过学生自己动手列表，加深对新知识的掌握和认识，并运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的乐趣.





第2课时 用树状图法求概率

【知识与技能】
1.会用画树状图法列举试验的所有结果.
2.掌握用树状图求简单事件的概率.
【过程与方法】
通过生活中简单的例子，掌握画树状图的方法，进而掌握用树状图求概率的一般步骤.
【情感态度】
通过小组讨论，培养学生合作、探究的意识和品质.
【教学重点】
用树状图求概率.
【教学难点】
如何正确地画出树状图.

一、情境导入，初步认识
活动1：将一枚质地均匀的硬币连掷三次，问：
(1)列举出所有可能出现的结果.
(2)求结果为一次正面，两次反面的概率.
教师问：该问题可以用列表法来解决吗?请试一试看(学生分组讨论).
经探究发现，上述问题用列表法不易解决，因为列表法适用于试验只需两步完成的事件，而上述掷硬币需三步完成，所以不易用列表来解决，这就需要一种新的方法来解决——树状图法.
二、思考探究，获取新知
如何用树状图来解决［活动1］中的问题呢？
先让我们一起来画树状图.

从所画树状图可知共有正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反8种结果，而结果为一次正面两次反面的结果，有正反反，反正反，反反正3种，∴P(一次正面，两次反面)=
【教学说明】列表法求概率适用的对象是两步完成或涉及两个因素的试验，而树状图法既运用于两步完成的试验，又适用于三步及三步以上较复杂的试验.
例1 小明和小华做“剪刀、石头、布”的游戏，游戏规则是：若两人出的不同，则石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；若两人出的相同，则为平局.
(1)怎样表示和列举一次游戏的所有可能结果?
(2)用A、B、C表示指定事件：
A：“小明胜” B.“小华胜” C.“平局”
分别求出事件A、B、C的概率.
【教学说明】本例为教材P129“动脑筋”，教师要求学生先小组讨论，后独立完成，再以小组交流的方法去完成，过程见P130.
例2 教材P130例2
【教学说明】用列表法或画树状图法都可以不重不漏地列举出试验所有可能出现的结果，只是适用的范围不同，一般来讲，可用列表法解决的问题都可以用树状图来解决，反过来，就不一定.
画树状图时，一定要看清题意，注意试验是几步完成，一般来讲试验分几步完成.树状就“分枝”几次；树状图可以横着画，也可以竖着画.
四、运用新知，深化理解
1.要从小强、小红和小华三人中随机选取两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概率是( )

2.小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过的每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是( )

3.一套书共有上、中、下三册，将他们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左到右恰好成上、中、下顺序的概率为________.
4.三个同学同一天生日，他们做了一个游戏：买来了三张相同的贺卡，各自在其中一张内写上祝福的话，然后放在一起，每人随机拿一张，则他们拿到的贺卡都不是自己所写的概率是________.
5.一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少?
【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的掌握.
【答案】1.B 2.B 3. 4.
5.解：画树形图如下：

P（1个男婴，2个女婴）=.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾用树状图求概率的方法，特别要注意树状图的画法.
2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问，请与同学们交流.

1.教材P131第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课由三次掷硬币引出用树状图求概率，与上节课“两次掷硬币”用列表法求概率相比较，让同学们学会比较、观察、探究问题的能力，加深对求概率知识的掌握.


























4.3 用频率估计概率

【知识与技能】
1.理解当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
2.了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率.
【过程与方法】
通过做抛掷硬币试验，让学生体会到为什么可以用频率来估计概率.
【情感态度】
通过本节课学习，让同学们体会到科学来源于实践的道理，激发他们动手、动脑、探究、归纳的兴趣和欲望.
【教学重点】
了解用频率估计概率的必要性和合理性.
【教学难点】
大量重复试验得到频率值的分析，对频率与概率之间关系的理解.

一、情境导入，初步认识
同学们口答下列几个问题.
(1)用列举法求概率的条件是什么?
(2)用列举法求概率的公式是什么?
(3)常用的列举法有哪几种方法?
二、思考探究，获取新知
1.用频率估计概率
活动探究1 ①将学生分小组完成教材P134“做一做”活动具体做法是：将全班学生分成几个小组，每小组里面选定两名同学抛硬币，其余的同学记录试验结果，完成“教材做一做”中的统计表和统计图.
②将各小组完成的统计表和统计图进行交流或展示，让同学们从中发现有什么共同点，从而完成“做一做”中的（3）、（4）.
归纳：①随着掷硬币次数的增加，“正面朝上”的频率稳定在左右.
②通过大量的重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.
2.用模拟试验求各种可能结果发生的可能性不相等事件的概率.
【教学说明】①对于掷硬币试验，它的所有可能结果是有限的，只有两个，而且出现两种结果的可能性相等，可以用前面所学的方法求概率.
②对于一般的随机事件，当试验所有的可能结果不是有限个，或者各种结果发生的可能性不相同的，就不能用前面所学的方法求其概率.
活动探究2 教材P135做一做——抛瓶盖试验
【教学说明】①问：瓶盖与硬币有什么不同？
②试验的方法和过程与［活动探究1］一样分小组完成.
归纳：在同样条件下，大量重复实验时，如果事件A发生的频率稳定于某个常数P，那么事件A发生的概率P（A）=P.
【教学说明】频率与概率的区别和联系.
1.频率和概率都是刻画随机事件发生可能性大小的量.
2.频率与试验次数及具体试验有关，具有随机性.
3.概率是刻画随机事件发生可能性大小的，是一个固定值，不具有随机性.
4.每次试验的可能结果不是有限个或各种可能结果发生的可能性不相等时，用频率估计概率.
3.例题讲解
例1 教材P137例题
例2 一粒木质中国象棋“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的.将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表：

（1）请将数据表补充完整；
（2）画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；
（3）如将试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？
【分析】利用“频率=事件发生的次数÷实验次数”完成表格，将表格对应转化成折线图，结合折线图估计事件概率.
解：(1)18，0.52，0.55.
(2)频率分布折线图如下：

(3)随着试验次数的增加，“兵”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55左右，利用这个频率来估计概率，即P（“兵”字面朝上）=0.55.
三、运用新知，深化理解
1.关于频率与概率的关系，下列说法中正确的是（ ）
A.频率等于概率
B.当试验次数很大时，频率稳定在概率的附近
C.当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
2.在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种球共20只，某学习小组做摸球实验，每次摸完再把它放回袋中，不断重复，下表是一次摸球实验的一组统计数据：

(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近多少？假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=________.
(2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有_______只，________只.
【教学说明】学生自主完成以上题目.
【答案】1.B 2.(1)0.6 (2)8 12
四、师生互动，课堂小结
1.本节课主要学习了用频率估计概率的条件和方法.
2.通过本节课的学习你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?请与同伴交流.

1.教材P138练习. 2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课从学生动手做试验开始，从而领会掌握如何用频率来估计概率，理解频率与概率的区别和联系，培养学生动手、动脑、合作探究的习惯，增强了学习兴趣.






章末复习

【知识与技能】
掌握本章重要知识，能灵活运用列举法求概率，会用频率估计概率.
【过程与方法】
通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的由特殊到一般的思想和转化的思想过程，加深对本章知识的理解.
【情感态度】
在运用本章知识解决具体问题中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，激发学习兴趣.
【教学重点】
回顾本章知识点，构建知识体系.
【教学难点】
利用概率的相关知识解决具体问题.

一、知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解
1.概率是随机事件自身的固有性质，随机事件发生可能性大小可以用概率来刻画，随机事件概率P(A)满足0≤P(A)≤1，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
2.频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定理刻画，概率是随机事件自身固有的性质，当试验次数非常多时，频率和概率很接近，在大多数情况下，频率可以作为概率的估计.
3.将一枚硬币连掷两次与将两枚硬币一起掷一次结果相同.
三、典例精析，复习新知
例1 在学生会主席的竞选活动中，5名参选者以抽签的形式决定出场顺序，在形状、大小一致的签条上分别标有1、2、3、4、5，时锋同学在看不到签条上数字的情况下随机地抽取一根签条，请思考以下问题并说明是什么事件：
(1)抽到的序号会是0吗?
(2)抽到的序号会是3吗?
(3)抽到的序号会小于6吗?
【分析】要解决此题，必须弄清楚必然事件、不可能事件、随机事件这三个概念.
解：(1)不可能抽到0.故抽到序号是0是不可能事件.
(2)有可能抽到3，也有可能抽不到3，故抽到序号是3是随机事件.
(3)由于序号1、2、3、4、5都小于6.故抽到序号小于6是必然事件.
例2 四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4，它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀.
(1)随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字2的概率；
(2)随机地从盒子里抽取一张，不放回再抽取第二张，请你用树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求抽到的数字之和为5的概率.
【分析】(1)可用树状图法或列表法分别求出结果，先列举所有等可能的情况有四种，再找出出现2的情况为一种，从而可得P(抽到数字为2)=14.(2)也是用树状图法或列表法分别求出结果，先列举不放回所有等可能的情况共12种，而抽到的数字之和为5的情况有4种，从而得出概率.
解：(1)P(抽到数字为2)=.
(2)列举所有等可能的结果，画树状图：

∴P（抽到数字和为5）=.
【教学说明】列举所有等可能结果时，注意“放回再抽第二张”与“不放回再抽第二张”的区别.
四、复习训练，巩固提高
1.（江苏扬州中考）下列说法正确的是（ ）
A. “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
C. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D. “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率为”，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在附近
2.（浙江嘉兴中考）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”，如“947”就是一个“V数”.若十位上的数字为2则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是（ ）

3.下图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天.则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是（ ）


4.有3张扑克牌，分别是红桃3，红桃4和黑桃5，把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张.
（1）先后两次抽得的数字分别记为s和t，求|s-t|≥1的概率；
（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案，A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜.请问甲选择哪种方案胜率更高?
【教学说明】教师巡视，学生自主解答后教师讲解.
【答案】1.D 2.C 3.C
4.解：（1）画树状图：

|s-t|≥1有6种，故P|s-t|≥1)=
（2）由（1）中树状图得共9种可能结果，花色相同的有5种，数字和为奇数的有4种，所以A方案P（甲胜）=，B方案P（甲胜）=，故选择A方案甲的胜率更高.
五、师生互动，课堂小结
本堂课你能完整地回顾本章所学的有关概率的知识吗?你能求随机事件的概率吗?你还有哪些困惑与疑问?

1.教材P142第2、3、4题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课通过学习归纳本章内容，以随机事件的概率为支撑，力求以点带面，查漏补缺，让学生对本章知识了然于胸，以熟练运用知识解决实际问题.