27.2 相似三角形 第五课时-九年级数学下册课件（人教版）

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27.2 相似三角形第5课时目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入复习回顾：三角形的内角和是多少度？新课精讲探索新知1知识点两角分别相等的两个三角形相似这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？三个内角对应相等.观察你与老师的直角三角尺 , 相似吗？探索新知画一个三角形，使三个角分别为60°，45°, 75° .①分别量出两个三角形三边的长度；②这两个三角形相似吗?即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．相似一定需三个角对应相等吗？探索新知相似三角形的判别方法1： 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似吗？ 探索新知CC'∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B '∴ ΔABC ∽ ΔA'B 'C '用数学符号表示：相似三角形的判定(两个角分别对应相等的两个三角形相似.)探索新知例1 如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E 是AC上 一 点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD 的长.解：∵ ED⊥AB， ∴ ∠EDA=90°. 又∠C=90 °， ∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC.探索新知 当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找夹等角的两边对应成比例.找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等.典题精讲底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论.底角相等的两个等腰三角形相似．已知：在△ABC 中，AB＝AC，在△A′B′C ′中，A′B ′＝A′C ′，且∠B＝∠B ′. 求证：△ABC∽△A′B′C ′.证明：在△ABC 中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，同理∠B ′＝∠C ′.又∵∠B＝∠B ′，∴∠C＝∠C ′. ∴△ABC∽△A′B′C ′. 顶角相等的两个等腰三角形相似．已知：在△ABC 中，AB＝AC，在△A′B′C ′中，A′B ′＝A′C ′，且∠A＝∠A′.求证：△ABC∽△A′B′C ′.证明：在△ABC 中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，同理∠B ′＝∠C ′.又∵∠B＝ ∠B′＝∠A＝∠A′，∴∠B＝∠B ′.又∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C ′.解：典题精讲下列各组条件中，不能判定△ABC 与△A′B′C′ 相似的是(　　)A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，∠B′＝55°C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B ′，∠A－∠B＝∠A′－∠B ′C典题精讲如图，△ABC 中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　)C典题精讲如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF 等于(　　)A．1 B．2 C．3 D．4B探索新知2知识点两直角三角形相似的判定思考： 我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 事实上，这两个直角三角形相似.下面我们给出证明. 如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中， ∠C＝90°，∠C′＝90°， 求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ . 探索新知分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ，可设法证∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.探索新知直角三角形相似的判定定理：(1)有一锐角相等的两个直角三角形相似；(2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似．数学表达式：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中，(1)∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C ′；(2)∵∠C＝∠C′＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C ′.探索新知直角三角形相似的判定方法：有一锐角对应相等⇒两直角三角形相似有两组直角边对应成比例⇒两直角三角形相似有斜边与一直角边对应成比例⇒两直角三角形相似探索新知例2 在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是(　　)A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9导引：根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． A．∵∠A＝55°，∴∠B＝90°－55°＝35°. ∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D. 又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△EDF；C探索新知B．∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△DEF；C．由题目中知∠C＝∠F＝90°，但已知条件中不能得出两组对应边成比例，故不能判定两三角形相似．D．∵AB＝10，AC＝8，∴由勾股定理可得BC＝6.又DE＝15，EF＝9，∴又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△DEF.探索新知判定两直角三角形相似的方法：一个锐角对应相等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应成比例．典题精讲如图，Rt△ABC 中，CD 是斜边AB上的高. 求证：(1)△ACD∽△ABC； (2)△CBD∽△ABC.(1)∵CD 是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°. 在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB. 又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.(2)∵CD 是斜边AB上的高， ∴∠CDB＝90°. 在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， ∴∠CDB＝∠ACB. 又∵∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC. 证明：典题精讲如果Rt△ABC 的两条直角边分别为3和4，那么以3k 和4k (k是正整数)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC 相似吗？为什么？一定相似．理由如下：∵两条对应直角边的比分别为∴对应直角边的比相等．又∵两直角边所夹的角都为直角，∴两个三角形一定相似．证明：典题精讲如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，点E 在AB上，点F 在CD上，点G，H 在对角线AC上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是(　　) A．2 B．3 C．5 D．63C典题精讲如图，正方形ABCD 中，M 为BC上一点，ME⊥AM，ME 交AD 的延长线于点E. 若AB＝12，BM＝5，则DE 的长为(　　) A．18 B． C． D．4B易错提醒已知正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，Q 在线段BC上，△ADP 与△QCP 相似时，求BQ 的值．解：易错提醒易错点： 相似情形考虑不全面，解答不完整.跳出误区：因为题中∠D＝∠C＝90°，所以直角三角形相似在对应顺序上有两种可能，即△ADP∽△PCQ 或△ADP∽△QCP，此题容易因只考虑一种情况而漏解．学以致用小试牛刀1如图，AB 是半圆O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE 与BD 相交于点C，要使△ADC 与△ABD 相似，下列添加的条件错误的是(　　)A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD 2＝BD·CD D．CD·AB＝AC·BDD小试牛刀2如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC 的长为(　　)A．4 B．4 C．6 D．4B小试牛刀3如图，矩形ABCD 的边AD＝3，AB＝2，E 为AB 的中点，F 在边BC上，且BF＝2FC，AF 分别与DE，DB 相交于点M，N，则MN 的长为(　　)A. B.C.D.B小试牛刀如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，下列结论中：①AC·BC＝AB·CD；②AC 2＝AD·DB；③BC 2＝BD·BA；④CD 2＝AD·DB，正确的个数是(　　)A．1 B．2 C．3 D．44C小试牛刀5 如图，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF上，EF 与BC 相交于点G，连接CF.(1)求证：△DAE ≌ △DCF；(2)求证：△ABG ∽ △CFG.小试牛刀证明：(1)求证：△DAE ≌ △DCF；小试牛刀证明：(2)求证：△ABG∽△CFG.小试牛刀6 如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O于点D，连接OD. 作BE⊥CD 于点E，交半圆O 于点F. 已知CE＝12，BE＝9.(1)求证：△COD ∽△CBE；(2)求半圆O 的半径r 的长．小试牛刀∵CD 切半圆O 于点D，∴CD⊥OD，∴∠CDO＝90°.∵BE⊥CD，∴∠CDO＝90°＝∠E.又∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CBE.证明：(1)求证：△COD∽△CBE；　解：(2)求半圆O 的半径r 的长．小试牛刀7 如图，以AB 边为直径的⊙O 经过点P，C 是 ⊙O上一点，连接PC 交AB 于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD.(1)试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若点C 是弧AB 的中点，已知AB＝4，求CE ·CP 的值．小试牛刀(1)试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；解：小试牛刀解：(2)若点C 是弧AB 的中点，已知AB＝4，求CE · CP 的值．小试牛刀8 如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE 的长．小试牛刀证明：(1)求证：DE 是⊙O 的切线；小试牛刀解：(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE 的长．课堂小结课堂小结判定两三角形相似的思路：(1)平行于三角形一边的直线，找两个三角形；(2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边成比例；(3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例；(4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例．(5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两直角边对应成比例， 或斜边、一直角边对应成比例．同学们，下节课见！