高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆试讲课ppt课件
展开环节三 椭圆的简单几何性质(一)
【引入新课】
问题:前面我们利用坐标法建立了椭圆的标准方程,那么如何利用椭圆方程来研究椭圆的几何性质呢?
【课堂探究】
问题1:观察椭圆的形状,你能从图上看出它的范围吗?
追问:观察图3.1-7容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内,你能利用方程(代数方法)确定出它的具体边界吗?
由方程,可知
所以,椭圆上点的横坐标都适合不等式
即
同理有
即
这说明椭圆位于直线和围成的矩形框里(图3.1-7).
问题2:它具有怎样的对称性?
追问:通过观察椭圆的形状,可以发现椭圆即是轴对称图形,又是中心对称图形,如何利用方程说明椭圆的对称性?
答案:在椭圆的标准方程中,以代,方程不变
当点P在椭圆上时,它关于轴的对称点也在椭圆上,所以椭圆关于轴对称.
以代,方程也不变,这说明如果点P在椭圆上,那么它关于y轴的对称点
也在椭圆上,所以椭圆关于y轴对称.
以代,以代,方程也不变,这说明当点P在椭圆上时,它关于原点的对称点也在椭圆上,所以椭圆关于原点对称.
综上,椭圆关于轴、y轴都是对称的,这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆
的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
问题3:椭圆上哪些点比较特殊?
答案:椭圆与它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点.研究曲线上某些特殊点的位置,可以确定曲线的位置.
追问:如何通过椭圆的方程得到这些点的坐标?
在椭圆的标准方程 中,令,得 因此,是椭圆与y轴的两个交点.
同理,令,得. 因此, 是椭圆与轴的两个交点.
因为轴、轴是椭圆的对称轴,所以(图3.1-8).线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于和,和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
问题4:不同形状的椭圆扁平程度不同,相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗?
如图3.1-10,椭圆 的长半轴长为半焦距为. 保持长半轴长不变,改变椭圆的半焦距,可以发现,越接近,椭圆越扁平.类似地,保持不变,改变的大小,则越接近,椭圆越扁平;而当,扩大或缩小相同倍数时,椭圆的形状不变.
这样,利用和这两个量,可以刻画椭圆的扁平程度.我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率用表示,即.
追问1:请你计算下面几个椭圆的离心率,观察离心率大小和椭圆的形状的关系?
答案:观察发现,保持长半轴长不变,经过计算得出:
, ,
蓝色、红色、绿色分别代表 ,可以看到椭圆越圆的离心率越小.
追问2:能根据方程给出证明吗?
答案:因为,所以.
越接近1,越接近,就越小,因此椭圆越扁平;
越接近0,越接近0,b越接近a,这时椭圆就越接近于圆.
当且仅当时,,这时两个焦点重合,图形变为圆,它的方程为.
问题5:本节课我们研究了椭圆的哪些性质?这些性质是通过怎样的方法得到的?通过方程研究曲线的几何性质有怎样的特点?
答案:本节课我们研究了椭圆的范围、对称性、顶点和离心率的性质.通过研究椭圆的方程的性质得到椭圆的几何性质,这也是我们研究圆锥曲线几何性质的一般思路与方法.
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