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    3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质(学案) (人教A版2019选择性必修第一册)
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    人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆优质第1课时导学案

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆优质第1课时导学案,共10页。学案主要包含了学习目标,自主学习,小试牛刀,经典例题,跟踪训练,当堂达标,参考答案等内容,欢迎下载使用。

    3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质
    【学习目标】
    课程标准
    学科素养
    1.掌握椭圆的简单几何性质.(重点)
    2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.
    3.可以根据题目条件求椭圆的离心率或范围. (难点)
    1、直观想象
    2、数学运算
    3、逻辑推理
    【自主学习】
    一.椭圆的简单几何性质
    焦点的位置
    焦点在x轴上
    焦点在y轴上
    图形


    焦点的
    位置
    焦点在x轴上
    焦点在y轴上
    标准
    方程
    +=1(a>b>0)
    (a>b>0)
    范围


    对称性
    对称轴为 ,对称中心为
    顶点
    A1(-a,0),A2(a,0)
    B1(0,-b),B2(0,b)
    A1(0,-a),A2(0,a)
    B1(-b,0),B2(b,0)
    轴长
    短轴长|B1B2|= ,长轴长|A1A2|=
    焦点


    焦距
    |F1F2|=
    二.离心率
    1.定义:椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的 .
    2.性质:离心率e的范围是(0,1).当e越接近于1时,椭圆 ;当e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.
    思考:离心率相同的椭圆是同一椭圆吗?
    【小试牛刀】
    思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长等于a. (  )
    (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c. (  )
    (3)椭圆的离心率e越小,椭圆越圆. (  )
    (4)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为+=1. (   )
    (5)设F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,M为其上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距).(  )
    【经典例题】
    题型一 椭圆的简单几何性质
    点拨:由标准方程研究性质时的两点注意
    (1)已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式的先化成标准形式,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型.
    (2)焦点位置不确定的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是2a,2b,2c.
    例1 求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.



    【跟踪训练】1 已知椭圆C1:+=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
    (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
    (2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.





    题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
    点拨:利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
    1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:
    ①确定焦点位置;
    ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程);
    ③根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式有b2=a2-c2,e=等.
    2.在椭圆的简单几何性质中,轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.
    例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
    (1)椭圆过点(3,0),离心率e=;
    (2)经过点M(1,2),且与椭圆+=1有相同的离心率.



    【跟踪训练】 2 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为,长轴长为12,则椭圆方程为(  )
    A.+=1或+=1 B.+=1
    C.+=1或+=1 D.+=1或+=1

    题型三 求椭圆的离心率
    点拨:求椭圆离心率及范围的两种方法
    1.直接法:若已知a,c可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
    2.方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的齐次关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.
    例3 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为(  )
    A. B. C. D.
    【跟踪训练】 3 设椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,若在椭圆上存在一点P,使·=0,求椭圆的离心率e的取值范围.



    【当堂达标】
    1.已知椭圆C:的一个焦点为(2,0),则椭圆C的离心率为(    )
    A. B. C. D.1
    2.(多选)已知中心在原点的椭圆C的半焦距长为1,离心率等于,则C的方程是(  )
    A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1
    3.比较椭圆①x2+9y2=36与②+=1的形状,则________更扁.(填序号)
    4.设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为________.
    5.椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为,且经过点.
    (1)求满足条件的椭圆方程;
    (2)求该椭圆的长半轴的长、顶点坐标和离心率.
    6.已知椭圆C:(),点A,B为长轴的两个端点,若在椭圆上存在点P,使,求椭圆的离心率的取值范围.






    【参考答案】
    【自主学习】
    +=1 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a 坐标轴 原点 2b 2a F1(-c,0),F2(c,0)
    F1(0,-c),F2(0,c) 2c
    离心率 越扁
    思考:不是,离心率是比值,比值相同不代表a,c值相同,它反映的是椭圆的扁圆程度.
    【小试牛刀】
    (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
    【经典例题】
    例1 解:把已知方程化成标准方程为+=1,所以a=4,b=3,c==,
    所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6;离心率e==;
    两个焦点坐标分别是(-,0),(,0);四个顶点坐标分别是(-4,0),(4,0),(0,-3),(0,3).
    【跟踪训练】1 解:(1)由椭圆C1:+=1,可得其长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=.
    (2)椭圆C2:+=1.性质如下:
    ①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④焦点:(0,6),(0,-6);⑤离心率:e=.
    例2 解:(1)若焦点在x轴上,则a=3,
    ∵e==,∴c=,∴b2=a2-c2=9-6=3.∴椭圆的方程为+=1.
    若焦点在y轴上,则b=3,
    ∵e====,解得a2=27.∴椭圆的方程为+=1.
    ∴所求椭圆的方程为+=1或+=1.
    (2)法一:由题意知e2=1-=,所以=,即a2=2b2,设所求椭圆的方程为+=1或+=1.将点M(1,2)代入椭圆方程得+=1或+=1,解得b2=或b2=3.
    故所求椭圆的方程为+=1或+=1.
    法二:设所求椭圆方程为+=k1(k1>0)或+=k2(k2>0),将点M的坐标代入可得+=k1或+=k2,解得k1=,k2=,故+=或+=,即所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
    【跟踪训练】2 C 解析:由条件知a=6,e==,∴c=2,∴b2=a2-c2=32,故选C.
    例3 A 解析:不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点.

    依题意可知,△BF1F2是正三角形.
    ∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,∴cos 60°==,即椭圆的离心率e=,故选A.
    【跟踪训练】3 解:由题意知PF1⊥PF2,所以点P在以F1F2为直径的圆上,即在圆x2+y2=c2上.
    又点P在椭圆上,所以圆x2+y2=c2与椭圆+=1有公共点.
    连接OP(图略),则易知0<b≤c<a,所以b2≤c2<a2,即a2-c2≤c2<a2.
    所以≤c2<a2,所以≤e<1.所以e∈.
    【当堂达标】
    1.C 解析:由已知可得,,则,所以,
    则离心率.故选:C.
    2.AC 解析:依题意知,c=1,e==,即a=2,b2=a2-c2=3,因此椭圆的焦点在X轴和Y轴两种可能,所以椭圆的方程为+=1或 +=1。
    3. ① 解析:把x2+9y2=36化为标准形式+=1,离心率e1==,而+=1的离心率e2==,这里e2<e1,故①更扁.
    4. 解析:由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30°,
    ∴∠PF2x=60°.∴|PF2|=2×=3a-2c.
    ∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a-2c=2c,∴e==.
    5.解:(1)设椭圆的标准方程为,
    则 ,所以椭圆的标准方程为
    (2)由(1)知,椭圆的长半轴长为,
    顶点坐标为、、、,
    离心率.
    6.解:由题可知,,设,
    由点P在椭圆上,得,
    所以,
    可得,所以.

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