高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆综合训练题
展开高二提优椭圆专项练习
一、选择题
- 已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交E于A、B两点，若AB的中点坐标为，则E的方程为
A. B. C. D.
- 在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点，，顶点B在椭圆上，则
A. B. C. D.
- “”是“方程表示焦点在x轴上椭圆”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
- 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C：，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有
A. 四边形为正方形
B.
C. ，，为等比数列
D. 轴，且
- 如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为、，，P是y轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率是
A. B. C. D.
- 离心率为，且过点的椭圆的标准方程是
A. B. 或
C. D. 或
- 方程表示椭圆的必要不充分条件是
A. B.
C. D.
- 如图，分别为椭圆的左右焦点，点P在椭圆上，的面积为的正三角形，则的值为
A.
B.
C.
D.
|
二、不定项选择题（本大题共2小题，共8.0分）
- 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个判断中正确命题为
A. P到、、、四点的距离之和为定值
B. 曲线C关于直线、均对称
C. 曲线C所围区域面积必小于36
D. 曲线C总长度不大于
- 如图所示，一个底面半径为3的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是
A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆的一个方程可能为
三、填空题
- 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且，则该椭圆的离心率是________．
- 已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 ．
- 如图所示，，是椭圆：与双曲线的公共焦点，A，B分别是，在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则的方程是________．
|
- 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是
四、解答题
- 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
焦点分别为，，经过点
对称轴为坐标轴，经过点和．
- 已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为，焦距为4．
求椭圆C的标准方程；
求过点，且与椭圆C有相同焦点的椭圆的标准方程．
- 已知椭圆的离心率为，且经过点，直线l过点，交椭圆C于A，B两点，设．
求椭圆C的方程；
求的取值范围．
- 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为．
求椭圆C的标准方程；
设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且时，求直线BM的方程．
高二提优椭圆专项练习
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
- 已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交E于A、B两点，若AB的中点坐标为，则E的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程，熟练掌握点差法以及中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键，属于中档题．
设，，代入椭圆方程，利用“点差法”结合中点坐标公式可得，，利用斜率计算公式可得AB的斜率．于是得到a，b关系，再利用焦点为，即可解得，进而得到椭圆的方程．
【解答】
解：设，，
代入椭圆方程得，，
相减得，
，
的中点坐标为，
，，
且．
，
化为，又，解得，．
椭圆E的方程为：．
故选C．
- 在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点，，顶点B在椭圆上，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质、正弦定理及椭圆定义的应用，先求出，，，由正弦定理把转化为三角形边的关系得答案．
【解答】
解：由椭圆，得，
则和为椭圆的两个焦点．
在椭圆上，
，．
．
故选C．
- “”是“方程表示焦点在x轴上椭圆”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查的是充要条件的判断及椭圆的标准方程，属于基础题．
先求出表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件再求解即可．
【解答】
解：若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，得，
所以时，不一定表示焦点在x轴上椭圆，
表示焦点在x轴上的椭圆时，m一定满足，
所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，
故选C．
- 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C：，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有
A. 四边形为正方形
B.
C. ，，为等比数列
D. 轴，且
【答案】B
【解析】略
- 如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为、，，P是y轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
由题意，直角三角形的内切圆半径，结合，可得，从而可求，即可求得椭圆的离心率．
【解答】
解：由题意，直角三角形的内切圆半径
，
即，
，
，
，
，
，
，
椭圆的离心率是．
故选B．
- 离心率为，且过点的椭圆的标准方程是
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程，注意要先分析明确椭圆的焦点的位置．属于中档题．
根据题意，按椭圆的焦点在x轴与y轴上不同分2种情况讨论，分别求出椭圆的方程，综合即可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2种情况讨论：
、若要求椭圆的焦点在x轴上，
若椭圆过点，则，
又由其离心率为，即，则，
，
此时椭圆的方程为：；
、若要求椭圆的焦点在y轴上，
若椭圆过点，则，
又由其离心率为，即，则，
，
即，
此时椭圆的方程为：；
故要求椭圆的方程为：或，
故选：D．
- 方程表示椭圆的必要不充分条件是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了必要条件和椭圆的概念及标准方程，属于中档题．
先由方程表示椭圆，可得，解得，由集合间的关系和必要条件可得结论．
【解答】
解：由方程表示椭圆，
则，解得，
由，
所以是的必要不充分条件，
故选B．
- 如图，分别为椭圆的左右焦点，点P在椭圆上，的面积为的正三角形，则的值为
A.
B.
C.
D.
|
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由的面积为的正三角形，可得，解得把代入椭圆方程可得：，与联立解得即可得出．
【解答】
解：的面积为的正三角形，
，
解得．
代入椭圆方程可得：，与联立解得：．
故选B．
二、不定项选择题（本大题共2小题，共8.0分）
- 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个判断中正确命题为
A. P到、、、四点的距离之和为定值
B. 曲线C关于直线、均对称
C. 曲线C所围区域面积必小于36
D. 曲线C总长度不大于
【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的性质和几何意义，属于中档题．
利用题意结合图形的对称性和取值范围整理计算即可求得最终结果．
【解答】
解：若点P在椭圆 上，P到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故A错误；
两个椭圆关于直线、均对称，曲线C关于直线、均对称，故B正确；
曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；
曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长：，故D错误．
故选BC．
- 如图所示，一个底面半径为3的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是
A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆的一个方程可能为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的方程与性质，属于中档题．
求出椭圆的a，b，c可得结果．
【解答】
解：由题意易知椭圆的短半轴，
截面与底面所成的角为，
椭圆的长轴长为，
，，
离心率为，，
当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为x轴，短轴为y轴时，
则椭圆的方程为．
故选ABD．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且，则该椭圆的离心率是________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
设右焦点，将代入椭圆方程求得B，C的坐标，方法一：运用两直线垂直的条件：斜率之积为，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
方法二：运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合离心率公式计算即可得到所求．
【解答】
解：设右焦点，
将代入椭圆方程可得，
可得，，
由，可得，
即有，
化简为，
由，即有，
由，可得，
可得．
另解：设右焦点，
将代入椭圆方程可得，
可得，，
，，
由，可得，则，
因为，代入得，
由，可得，
可得．
故答案为．
- 已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查中点坐标公式，“点差法”的应用，属于中档题．
设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式，从而求得椭圆的离心率．
【解答】
解：设直线与椭圆相交于，，
由弦的中点坐标是得，，
直线AB的斜率，
由，，
两式相减得：，
，
，
椭圆的离心率，
故答案为．
- 如图所示，，是椭圆：与双曲线的公共焦点，A，B分别是，在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则的方程是________．
|
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得与是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
利用椭圆的定义，四边形为矩形，可求出，的值，进而可得双曲线的几何量．
【解答】
解：由椭圆与双曲线的定义可知，，，
，，
又四边形是矩形，
，
，解得，
则，
故双曲线的方程是．
故答案为．
- 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用椭圆的标准方程及其性质即可得出，熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键．
【解答】
解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
，
解得，
故答案为 ．
四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
- 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
焦点分别为，，经过点
对称轴为坐标轴，经过点和．
【答案】因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为．
方法一：由椭圆的定义知，
，
所以又，所以，
所以椭圆的标准方程为．
方法二：因为所求椭圆过点，
所以又，
所以解得，，
所以椭圆的标准方程为．
由椭圆的几何性质可知，
以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，
则短半轴长，长半轴长，
且短轴、长轴分别在x轴和y轴上，
所以椭圆的标准方程为．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
设出椭圆方程，方法一：利用椭圆的定义求出a，进而可得b，即可求出椭圆的方程；方法二：直接将点代入椭圆方程，再结合a、b、c关系解出a、b，即可求出椭圆方程；
设出椭圆方程，代入点的坐标，建立方程组，即可求得椭圆的标准方程．
- 已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为，焦距为4．
求椭圆C的标准方程；
求过点，且与椭圆C有相同焦点的椭圆的标准方程．
【答案】解：长轴长为，则，焦距为，，则，
椭圆C的标准方程为．
由椭圆C的焦点坐标为，设椭圆标准方程为由椭圆定义知，所以又，所以，
因此椭圆标准方程为．
【解析】本题主要考查的是椭圆的概念及标准方程和椭圆的性质及几何意义的综合应用，属于基础题．
长轴长，焦距可求a，c，由即可求出椭圆C的标准方程；
由椭圆C的焦点坐标为，设椭圆标准方程为由椭圆定义，又因为过点即可与椭圆C有相同焦点的椭圆的标准方程．
- 已知椭圆的离心率为，且经过点，直线l过点，交椭圆C于A，B两点，设．
求椭圆C的方程；
求的取值范围．
【答案】解：椭圆的离心率为，且经过点，
可得：，解得，，，
可得椭圆方程为；
设，，
，
，
设直线AB的方程为与椭圆方程联立可得，
则，，
令，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于较难题．
利用已知条件列出方程组求解a，b即可得到椭圆方程．
设，，通过求出的表达式，设直线AB的方程为与椭圆方程联立可得，利用韦达定理，通过斜率关系，利用基本不等式转化求解的范围即可．
- 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为．
求椭圆C的标准方程；
设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且时，求直线BM的方程．
【答案】解：由，，
得直线NQ的方程为．
令，得点B的坐标为．
所以椭圆的方程为．
将点N的坐标代入，
得，解得．
所以椭圆C的标准方程为．
设线法 设直线BM的斜率为，
则直线BM的方程为．
在中，令，得，
而点Q是线段OP的中点，所以．
所以直线BN的斜率．
联立
消去y，得，解得．
用2k代替k，得．
又，所以，得．
故，
又，解得．
所以直线BM的方程为．
【解析】
【分析】
本题考查椭圆方程、直线方程，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．
根据点Q，N的坐标求可得下顶点B的坐标，从而椭圆过N，B两点，由此应用待定系数的方法求得它的方程．
由于点B是已知的，因此求直线BM的方程有两种思维方式：一是求出它的方向，即它的斜率；二是求出它上面的另一点．本题可用设线法：设出直线BM的点斜式方程为，从而得到它与x轴的交点，利用点Q是线段OP的中点，求得点Q的坐标，进而得到直线BN的斜率．将直线BM的方程与椭圆方程联立，求得点M的坐标；利用对称思想求得点N的坐标，根据得到关于k的一个方程，求得k的值，从而求得直线BM的方程．
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