高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆获奖课件ppt

环节一 椭圆及其标准方程（一）

引入新课

数学史资料参考：

古希腊：

公元前350年，米奈克穆斯将某些类型的曲线与现在称为圆锥曲线（由平面切割圆锥体形成的曲线）的曲线相关联，已解决数值比例问题.

大约一个世纪以后，阿波罗尼乌斯探索圆锥剖面，他感兴趣的是轨迹问题：哪些点满足给定的条件，他们是否形成某些线或曲线？比如，与给定点距离固定的点的轨迹是一个圆，到给定点距离等于给定直线的垂直距离的点的轨迹是抛物线.阿波罗尼乌斯研究了更复杂的轨迹问题，表明其中的一些但并不是全部都形成了圆锥曲线.

16世纪末和17世纪初，德国开普勒使用古老的希腊圆锥曲线来描述太阳系；开普勒发现行星围绕太阳在椭圆轨道上运转，并制定了数学定律来描述每个行星移动的速度.

法国，神父马林.梅森尝试让从不同地方来的学者聚集在一起，开展讨论并分工合作以便了解这个世界.

英国，托马斯.哈里奥特则发展了代数，并将数学应用于光学、航海技术和解决其他问题.

希腊人为其数学兴趣研究椭圆

17世纪上半叶，皮埃尔.德.费马，费马在1630年左右发展了解析几何的许多关键概念.他对阿波罗尼乌斯的轨迹问题的兴趣，费马设计了一个坐标系统来描绘两个未知量，费马说：为了协助方程的概念，让两个未知的量构成一个角度，我们通常认为他是一个直角，这是可取的.

费马关于几何学的代数方法的著作直到他死后才出版，所以发明解析几何的大部分功劳都是其他人得了.

这个其他人就是笛卡尔，一位出生在法国的贵族.他年轻时学习数学，壮年时成为一名士兵，在他生命的最后20年，则是位有自由思想的著名哲学家和数学家.许多数学家认为解析几何的发展是他最伟大的成就之一.笛卡尔他的《几何学》主要绘图工具基本上与费马所设计的相同，自变量现在称为x,沿着水平基准线标记，因变量现在称为y,由一条线段与x线段成固定角度的线段表示.笛卡尔甚至可能比费马更强调角度的选择只是一个方便的问题，并不一定总是直角.笛卡尔的代数几何方法是一个非常强大的工具，但在那个时代并没有直接的影响，因为有语言的问题，直到荷兰数学家凡.司顿译为拉丁文，17世纪末，在整个欧洲广为流传.

解析几何是数学大进步的历史链中的一个重要环节.正如符号代数的发展为解析几何铺平了道路，解析几何反过来又为微积分铺平了道路.微积分又打开了现代物理学和许多其他科学核技术领域的大门.所有这一切都依赖于给空间中的每个点提供一个数字坐标这样简单的想法，以便我们可以用数字来描述图形.

引导语:从解析几何的发展史可以看到，研究对象一直围绕着圆锥曲线，在日常生活和学习中，也可以见到很多有关椭圆的形象，所以今天我们开始研究椭圆的标准方程.

课堂探究

问题1我们已经知道，取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把绳子的两端拉开一段距离，分别固定在图板的，（图3.1-1）套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.

由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆.

问题2：在上述过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

答案：把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数.

问题3：如何利用椭圆上的这一动点的几何条件建立椭圆的方程？

追问1：前面我们知道，一个点在圆上的充要条件是这个点到圆心的距离等于半径，而点到圆心的距离由两点间距离公式将几何条件转化为坐标语言；那么如何把椭圆上的点到两个定点距离之和为常数这一几何条件进行转化呢？

追问2：怎样建立坐标系可能使得所得的椭圆方程简单？

观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们把经过椭圆的两焦点的直线为轴，垂直平分线线段为轴，建立平面直角坐标系，如图3.1-2所示.

设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为那么焦点坐标分别为，根据椭圆的定义，设点与焦点的距离之和为.

由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集

因为,

所以

①

问题4：类比圆的标准方程，如何化简这个方程呢？

答案：为了使得运算中平方的次数尽量少，该如何平方？

我们将其左边的一个根式移到右边，得

 ②

对方程②两边平方，得

整理，得

   ③

对方程③两边平方，得

整理，得

  ④

将方程④两边同除以，得

⑤

由椭圆得定义可知，2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以.

问题5：观察图3.1-3，你能从中找出表示得线段吗？

由图3.1-3可知，，令

,那么方程⑤就是

.⑥

问题6：如何证明方程⑥就是椭圆的方程？

答案：由于方程②③两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥得变形都是同解变形，这样，椭圆上的任意一点的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥为解的坐标的点与椭圆的两个焦点的距离之和为，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上，根据曲线与方程的概念我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是的椭圆，这里.

问题7：如图3.1-4如果焦点在y轴上，且的坐标分别为的意义同上，那么椭圆的方程是什么？

容易知道，此时椭圆的方程是

，

这个方程也是椭圆的标准方程.