北师大版高中数学必修第一册第二章函数检测试题含答案

第二章　检测试题

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.函数f(x)=的定义域为(　A　)

(A)[-1,2)∪(2,+∞) (B)(-1,+∞)

(C)[-1,2)          (D)[-1,+∞)

解析:由解得x≥-1,且x≠2.故选A.

2.已知f(x)=则f(3)=(　D　)

(A)7 (B)2 (C)10    (D)12

解析:f(3)=32+3=12.故选D.

3.下列四组函数中,表示相等函数的一组是(　A　)

(A)f(x)=x,g(x)=lg10x

(B)f(x)=,g(x)=x-1

(C)f(x)=,g(x)=

(D)f(x)=1,g(x)=x0

解析:A.两个函数的定义域相同,g(x)=lg10x=x,对应关系也相同,为相等函数;B,C,D定义域不相同,所以都不是相等函数.故选A.

4.已知函数f(x)=,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是(　A　)

(A)f(x)有最大值,无最小值

(B)f(x)有最大值,最小值

(C)f(x)有最大值,无最小值

(D)f(x)有最大值2,最小值

解析:函数f(x)==2+,即函数f(x)在[-8,-4)上单调递减,则函数f(x)在x=-8处取得最大值,无最小值.故选A.

5.已知定义在[m-5,1-2m]上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(m)的值为(　A　)

(A)-8    (B)8   (C)-24     (D)24

解析:由题意得,m-5=-(1-2m),解得m=-4,

所以f(m)=f(-4)=-f(4)=-(42-2×4)=-8.故选A.

6.函数y=3x+(x≥2)的值域是(　B　)

(A)[,+∞] (B)[6+,+∞)

(C)[6,+∞) (D)[,+∞)

解析:因为y=3x+在[2,+∞)上是增函数,

所以y最小值=3×2+=6+.

所以y=3x+(x≥2)的值域为[6+,+∞).故选B.

7.若函数f(x)=|m-1|xm+1是幂函数,则m=(　C　)

(A)0      (B)1

(C)0或2   (D)1或2

解析:由题意得|m-1|=1,解得m=0或m=2.故选C.

8.已知f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是(　A　)

(A)[,)   (B)(,]

(C)(0,)   (D)(-∞,]

解析:由题意得解得≤a<.

故选A.

二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的为(　AB　)

(A)y=x (B)y=x3

(C)y=- (D)y=x4

解析:A,B为定义域上的增函数且为奇函数.y=-是奇函数,但在定义域内不是增函数.故选AB.

10.已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是(　BC　)

(A)f(x)的定义域为R

(B)f(x)的值域为(-∞,4]

(C)若f(x)=2,则x的值是-

(D)f(x)<1的解集为(-1,1)

解析:函数f(x)的定义域为[-2,+∞],故A错误.

当-2≤x<1时,f(x)∈[0,4];

当x≥1时,f(x)∈(-∞,1],即函数f(x)的值域为(-∞,4],故B正确.

当-2≤x<1时,由x2=2得x=-;当x≥1时,由-x+2=2得x=0(不符合),故C正确.

当-2≤x<1时,令f(x)=x2<1,解得x∈(-1,1);当x≥1时,令f(x)=-x+2<1,解得x∈(1,+∞),故f(x)<1的解集为(-1,1)∪(1,+∞),故D错误.故选BC.

11.函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论正确的是(　ABD　)

(A)f(0)=0

(B)若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值1

(C)若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数

(D)若x>0时,f(x)=x2-2x,则x<0时,f(x)=-x2-2x

解析:A正确;由对称性知B正确;奇函数在对称区间上单调性一致,C不正确;对于D,x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,

又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2-2x,即D正确.故选ABD.

12.已知函数f(x),x∈(-∞,0)∪(0,+∞),对于任意的x,

y∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),则(　AC　)

(A)f(x)的图象过点(1,0)和(-1,0)

(B)f(x)在定义域上为奇函数

(C)若当x>1时,有f(x)>0,则当-1<x<0时,f(x)<0

(D)若当0<x<1时,有f(x)<0,则f(x)>0的解集为(1,+∞)

解析:令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0,令x=y=-1,则f(1)=

f(-1)+f(-1),则f(-1)=0,所以f(x)的图象过点(1,0)和(-1,0),故A正确;

令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,故B错误;

令y=-,则f(-1)=f(x)+f(-)=0,

则f(-)=-f(x),当x>1时,-∈(-1,0),又f(x)>0,则f(-)<0,

即当-1<x<0时,f(x)<0,故C正确;

令y=,则f(1)=f(x)+f()=0,则f()=-f(x),当0<x<1时,∈(1,+∞),又f(x)<0,则f()>0,即当x>1时,f(x)>0,因为f(x)是偶函数,所以x<-1时,f(x)>0,所以f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞),故D错误.故选AC.

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.

13.已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm的图象如图所示,那么实数m的值是　             .

解析:由题意知

解得m=-2或m=1(舍去),

又由函数的图象可得该函数为偶函数,所以m=-2.

答案:-2

14.已知f(x)=x2 005+ax3--8,f(-2)=10,则f(2)=　　    　　. 

解析:由题意知-22 005-a·23+-8=10,

可得22 005+a·23-=-18,

所以f(2)=22 005+a·23--8=-26.

答案:-26

15.奇函数f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,若f(2a+1)+f(4a-3)>0,则实数a的取值范围是　　     　　. 

解析:因为f(x)为奇函数,

所以f(2a+1)>f(3-4a),

又f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,

所以解得≤a<,

实数a的取值范围为[,).

答案:[,)

16.已知函数f(x-1)=x2+(2a-2)x+3-2a.

(1)若函数f(x)在区间[-5,5]上为单调函数,则实数a的取值范围为　　       　　; 

(2)若f(x)在区间[-5,5]上的最小值为-1,则a的值为　　　 　.

解析:令x-1=t,则x=t+1,

f(t)=(t+1)2+(2a-2)·(t+1)+3-2a=t2+2at+2,

所以f(x)=x2+2ax+2.

(1)因为函数f(x)图象的对称轴方程为x=-a,

由题意知-a≤-5或-a≥5,

解得a≤-5或a≥5.

故实数a的取值范围为(-∞,-5]∪[5,+∞).

(2)当a>5时,f(x)最小值=f(-5)=27-10a=-1,解得a=(舍去);

当-5≤a≤5时,f(x)最小值=f(-a)=-a2+2=-1,解得a=±;

当a<-5时,f(x)最小值=f(5)=27+10a=-1,解得a=-(舍去).

综上,a=±.

答案:(1)(-∞,-5]∪[5,+∞)　(2)±

四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)若f(x)对x∈R恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,求f(x).

解:2f(x)-f(-x)=3x+1,                             ①

将①中的x换为-x,得2f(-x)-f(x)=-3x+1,           ②

①②联立,得

把f(x)与f(-x)看成未知数,

解得f(x)=x+1.

18.(12分)已知幂函数f(x)=xa的图象过点(9,3).

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)已知函数g(x)=在给定的平面直角坐标系中画出函数g(x)的图象;

(3)利用图象写出函数g(x)的值域和单调递增区间(不需证明).

解:(1)由题意知9a=3,解得a=,

所以f(x)=.

(2)由(1)可知函数g(x)=作出函数图象如图所示.

(3)由(2)中图象可知,函数g(x)的值域为(-∞,-1]∪[0,+∞),单调递增区间为(-∞,-2]和[0,+∞).

19.(12分)在①k=-1,②k=1这两个条件中任选一个,补充在下面问

题中.

已知函数f(x)=-kx,且　    　　　. 

(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;

(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义给予证明.(若两个条件都选,按第一个计分)

解:选择①k=-1,因为f(x)=-kx,

所以f(x)=x-.

(1)要使函数f(x)有意义,只需x≠0,所以函数f(x)的定义域为

(-∞,0)∪(0,+∞).

因为f(-x)=-x-=-(x-)=-f(x),

所以f(x)为奇函数.

(2)函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增.

证明如下:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=x1--(x2-)=(x1-x2)+=(x1-x2)(1+)

=.

因为0<x1<x2,所以x1-x2<0,

x1x2>0,x1x2+1>0,

所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

故函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;

同理可证,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,

所以函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增.

选择②k=1,因为f(x)=-kx,

所以f(x)=-x.

(1)要使函数f(x)有意义,只需x≠0,

所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

因为f(-x)=-(-x)=-(-x)=-f(x),

所以f(x)为奇函数.

(2)函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减.

证明如下:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=-x1-(-x2)

=+(x2-x1)

=(x2-x1)(1+)

=.

因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>0,x1x2+1>0,

所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

故函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,

同理可证,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,

所以函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减.

20.(12分)已知函数f(x)=2x2-3x+1.

(1)函数h(x)是奇函数,当x>0时,h(x)=f(x),求函数h(x)在x∈R上的解析式;

(2)若g(x)=-f(x)+mx+1,当x∈[1,2]时,g(x)的最大值为2,求m

的值.

解:(1)设x<0,则-x>0,因为函数h(x)是奇函数,

所以h(x)=-h(-x)=-2x2-3x-1.

所以h(x)=

(2)g(x)=-f(x)+mx+1,

所以g(x)=-2x2+(3+m)x.

一元二次函数g(x)的图象开口向下,

对称轴方程为x=,

在x∈[1,2]时,g(x)的最大值为2,

①当≤1,即m≤1时,g(x)max=g(1)=-2+3+m=2,解得m=1;

②当1<<2,即1<m<5时,g(x)max=g()==2,

解得m=1(舍去)或m=-7(舍去);

③当≥2,即m≥5时,g(x)max=g(2)=-8+2m+6=2,解得m=2(舍去).

综上所述,m的值为1.

21.(12分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:min),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40 min,试根据上述分析结果回答下列问题:

(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?

(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.

解:(1)由题意知,当30<x<100时,

f(x)=2x+-90>40,

即x2-65x+900>0,

解得x<20或x>45,

所以,x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.

(2)当0<x≤30时,g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-;

当30<x<100时,

g(x)=(2x+-90)·x%+40(1-x%)=-x+58.

所以,g(x)=

当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增.

说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的.所以当自驾人数为S的32.5%时,人均通勤时间最少.

22.(12分)已知函数f(x)在[m,n](m<n)上的最小值为t,若t≤m恒成立,则称函数f(x)在[m,n](m<n)上具有“DK”性质.

(1)判断函数f(x)=x2-2x+2在[1,2]上是否具有“DK”性质?说明理由.

(2)若g(x)=x2-ax+2在[a,a+1]上具有“DK”性质,求a的取值范围.

解:(1)具有“DK”性质.理由如下:

因为f(x)=x2-2x+2,x∈[1,2],

图象的对称轴方程为x=1,开口向上,

当x=1时,f(x)取得最小值为f(1)=1,

所以f(x)min=f(1)=1≤1,

所以函数f(x)在[1,2]上具有“DK”性质.

(2)g(x)=x2-ax+2,x∈[a,a+1],其图象的对称轴方程为x=,开口向上.

①当≤a,即a≥0时,g(x)min=g(a)=a2-a2+2=2.

若函数g(x)具有“DK”性质,则有2≤a总成立,

即a≥2.

②当a<<a+1,即-2<a<0时,g(x)min=g()=-+2.

若函数g(x)具有“DK”性质,则有-+2≤a总成立,a无解.

③当≥a+1,即a≤-2时,g(x)min=g(a+1)=a+3,

若函数g(x)具有“DK”性质,则有a+3≤a,a无解.

综上所述,若g(x)=x2-ax+2在[a,a+1]上具有“DK”性质,则a≥2.

即a的取值范围为[2,+∞).