2021_2022学年高中数学第二章函数章末复习与总结学案北师大版(2019)必修第一册

章末复习与总结

一、数学运算

数学运算是解决数学问题的基本手段，又是计算机解决问题的基础．本章中求函数的定义域、值域及解析式都体现了学科素养中的数学运算.

[例1]　(1)f(x)＝(x－1)0＋的定义域是(　　)

A．(－1，＋∞)　　　　　 B．(－∞，－1)

C．R  D．(－1，1)∪(1，＋∞)

(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)

A.  B．

C．(1，3]  D．[1，3]

[解析]　(1)要使函数f(x)有意义，需满足∴x>－1，且x≠1，所以定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．

(2)由函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，得0≤2x－1≤2，解得≤x≤.再由x－1>0成立，解得x>1.综上，可得1<x≤.故选A.

[答案]　(1)D　(2)A

[例2]　(1)已知函数f(x)＝，则f＝(　　)

A．5  B．3

C.  D.

(2)函数f(x)＝x2＋2x(x∈[－2，1])的值域是(　　)

A．[0，3]  B．[－1，3]

C．[－1，0]  D．[－1，＋∞)

(3)函数y＝的值域是________．

[解析]　(1)由题意，函数f(x)＝，可得f＝＝.

(2)∵函数f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，且x∈[－2，1]．如图，当x＝－1时，函数f(x)取得最小值为f(－1)＝－1；

当x＝1时，函数f(x)取得最大值为f(1)＝3.

因此，函数f(x)＝x2＋2x(x∈[－2，1])的值域为[－1，3]．

(3)法一(判别式法)：∵y＝，

∴y＋yx2＝1－x2，整理，得(y＋1)x2＋y－1＝0.

当y＋1≠0时，Δ＝－4(y＋1)(y－1)≥0，解得－1<y≤1；

当y＋1＝0时，－2＝0不成立，∴y≠－1.

故函数的值域为(－1，1]．

法二(分离常数法)：∵y＝＝＝－1＋，

又∵x2≥0，∴1＋x2≥1，

∴∈(0，2]，

∴－1＋∈(－1，1]．

故函数的值域为(－1，1]．

[答案]　(1)D　(2)B　(3)(－1，1]

[例3]　(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式是(　　)

A．f(x)＝x2－1  B．f(x)＝x2－1(x≥1)

C．f(x)＝x2－4x－1(x≥1)  D．f(x)＝x2＋1

(2)已知对于任意的x，函数f(x)满足f(x)＋2f(2－x)＝x，则f(x)的解析式为________．

[解析]　(1)法一：∵(＋1)2＝x＋2＋1，∴x＋2＝(＋1)2－1.

∴f(＋1)＝(＋1)2－1，其中＋1≥1.

∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

法二：令＋1＝t，则t≥1，x＝(t－1)2，

∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，

∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

(2)∵f(x)＋2f(2－x)＝x， ①

将原式中的x替换为2－x，得f(2－x)＋2f(x)＝2－x. ②

②×2－①，得3f(x)＝4－2x－x，即f(x)＝－x＋.

[答案]　(1)B　(2)f(x)＝－x＋

[例4]　如图所示，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，由B→C→D→A的顺序沿梯形各边运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)，如果AB＝8，BC＝4，CD＝5，DA＝5，求函数f(x)的解析式．

[解]　分三种情况：

(1)当点P在线段BC上，即0≤x≤4时，

f(x)＝AB·BP＝×8·x＝4x.

(2)当点P在线段CD上，即4<x≤9时，

f(x)＝AB·BC＝×8×4＝16.

(3)当点P在线段DA上，即9<x≤14时，过点D作DH⊥AB于点H，过点P作PE⊥AB于点E(图略)．可得△AEP∽△AHD，∴＝，即＝，

∴PE＝.∴f(x)＝AB·PE＝×8×＝－x＋.

综上所述，f(x)＝

二、直观想象

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养，主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物．本章主要体现在利用函数的图象研究函数的性质.

[例5]　已知a≠0，b>0，一次函数y＝ax＋b，二次函数y＝ax2，则下列图象中可以成立的是(　　)

[解析]　因为b>0，所以一次函数y＝ax＋b的图象与y轴正半轴相交，故排除A、C.

当a>0时，一次函数的函数值随x的增大而增大；二次函数图象开口向上，B符合．

当a<0时，一次函数的函数值随x的增大而减小；二次函数图象开口向下，D不符合．故选B.

[答案]　B

[例6]　对于函数f(x)＝x2－2|x|.

(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；

(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．

[解]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称，

f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.

则f(－x)＝f(x)，

所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．

(2)f(x)＝x2－2|x|

＝

画出图象如图所示，

根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0，1]．

三、逻辑推理

逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，本章中函数单调性、奇偶性的判断及应用体现了学科素养中的逻辑推理.

[例7]　(1)若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)

A．f(1)<f<f

B．f<f(1)<f

C．f<f<f(1)

D．f<f(1)<f

(2)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x＋1)为偶函数，若f(3)＝1，则不等式f(2x＋1)<1的解集为(　　)

A．(－1，1)　　　　　 B．(－1，＋∞)

C．(－∞，1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

[解析]　(1)∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x)，

故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3)．

又f(x)在(0，2)上为增函数，∴f(x)在(2，4)上为减函数．

又2<<3<<4，∴f>f(3)>f，

即f<f(1)<f.

(2)∵f(x＋1)是偶函数，∴f(1－x)＝f(1＋x)，

故y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又∵f(x)在[1，＋∞)上单调递增，

∴f(x)在(－∞，1)上单调递减．

∵f(3)＝1，∴f(－1)＝f(3)＝1，

∴f(2x＋1)<1⇔－1<2x＋1<3，

解得－1<x<1.故选A.

[答案]　(1)B　(2)A

[例8]　已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

[解]　(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

所以x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)，知

所以1<a≤3，

故实数a的取值范围是(1，3]．