新教材北师大版学习笔记必修一第二章 4【学案+同步课件】.1 第2课时　函数奇偶性的应用

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第2课时　函数奇偶性的应用
第二章　4.1　函数的奇偶性
学习目标
1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念.
2.能综合应用函数的奇偶性与单调性解决相关问题.
导语
这节课我们继续学习用函数的奇偶性与单调性去解决函数相关问题.
内容索引
根据函数奇偶性求函数的解析式

一
知识梳理
关于奇、偶函数的几个性质(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.(2)奇偶性相同的两个函数的积(商，分母不为零)为________，奇偶性相反的两个函数的积(商，分母不为零)为________.(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，则________.(4)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|).
偶函数
奇函数
f(0)＝0
　　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式.
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
延伸探究　1.在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式.
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3.即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
2.在本例(2)中，把条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式.
∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
用奇偶性求解析式的方法(1)如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点对称的区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.②要利用已知区间的解析式进行代入.③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解.
反思感悟
　　　(1)已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式.
设x<0，则－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，又f(x)在R上为偶函数，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1.
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式.
设x>0，则－x<0，则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.又∵函数的定义域为R，∴f(0)＝0，
利用函数奇偶性与单调性比较大小

二
问题　想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？
提示　奇函数在(1,2)上单调递减，偶函数在(1,2)上单调递增.
知识梳理
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a单调递增
一致(相同)
单调递减
相反
－M
N
　　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是A.f(－0.5)√
∵函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在R上单调递增，∴f(－1)反思感悟
比较大小的求解策略(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小.
　　　设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3)C.f(π)√
由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2).
利用函数的单调性与奇偶性解不等式

三
　　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，所以f(x)在[－2,2]上单调递减.
反思感悟
利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类(1)利用图象解不等式.(2)转化为简单不等式求解.①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域.
{x|－33}
∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减.∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－33}.
课堂小结
1.知识清单： (1)利用奇偶性求函数的解析式. (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.2.方法归纳：转化法、数形结合法.3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域.
随堂演练

1.已知奇函数在(－∞，0]上单调递减，则A.f(1)>f(2) B.f(1)1
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√
∵f(x)是奇函数，且在(－∞，0]上单调递减，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2).
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2.设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则
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∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(2)＝f(－2).
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3.如果f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－3x，那么x<0时，f(x)等于A.－x2＋3x B.－x2－3xC.x2＋3x D.x2－3x
√
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因为x≥0时，f(x)＝x2－3x，f(x)是偶函数，并且x∈R，f(－x)＝f(x)，所以x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x，所以x<0时，f(x)＝x2＋3x，故选C.
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因为函数f(x)为R上的奇函数，
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5.已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是________.
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由题意可知|a|<3，解得－3(－3,3)
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课时对点练

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A.a＝0时，f(x)是偶函数B.a＝1时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数C.∀a∈R，f(x)是奇函数D.a∈R且a≠0时，f(x)既是奇函数又是偶函数
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当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数.
得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)是偶函数.
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2.若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为A.(－∞，0] B.[0，＋∞)C.(－∞，＋∞) D.[1，＋∞)
√
因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增.
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3.如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上A.单调递增且最小值为－5B.单调递增且最大值为－5C.单调递减且最小值为－5D.单调递减且最大值为－5
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∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，∴f(1)＝－5.
A.6 B.－6 C.2 D.－2
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g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
5.若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有
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方法二　(直接法)当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(1－x).又f(－x)＝－f(x)，
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6.(多选)一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是A.这个函数有三个单调递增区间B.这个函数有两个单调递减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值－7
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根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,0]上的图象，如图所示，
可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.
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7.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是______________.
f(－2)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)1
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9.已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式：f(1－x)＋f(1－2x)<0.
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∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得f(1－x)<－f(1－2x)，即f(1－x)1
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F(x)在(－∞，0)上单调递减.证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1－x2>0.因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，所以f(－x2)f(x1)>0.
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即F(x1)>F(x2)，
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11.若函数y＝f(x)是奇函数，且函数F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则函数y＝F(x)在(－∞，0)上有A.最大值－8 B.最小值－8C.最小值－6 D.最小值－4
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设T(x)＝af(x)＋bx，∵y＝f(x)和y＝x都是奇函数，∴T(x)＝af(x)＋bx也为奇函数.又∵F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，∴T(x)＝af(x)＋bx在(0，＋∞)上有最大值6，∴T(x)＝af(x)＋bx在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)＝af(x)＋bx＋2在(－∞，0)上有最小值－4.
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A.(－1,0)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(0,1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－1,0)∪(0,1)
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∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减且f(1)＝0，
∵奇函数的图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f(x)单调递减且f(－1)＝0，
综上，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
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13.已知定义在R上的奇函数满足f(x＋8)＝f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，则A.f(25)√
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∵f(x＋8)＝f(x)，∴f(25)＝f(17)＝f(9)＝f(1)，同理f(80)＝f(0)，又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增，∴f(x)在区间[－2,2]上单调递增，∴f(－1)1
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14.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.
(－1,3)
∵f(x)为偶函数，∴f(x－1)＝f(|x－1|)，又f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(|x－1|)>f(2).∵|x－1|∈[0，＋∞)，2∈[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴|x－1|<2，即－21
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(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
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因为a>b，所以a－b>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b).
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围.
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由(1)知f(x)为R上的增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以实数m的取值范围为(－∞，4].