第三章 函数的概念与性质单元测试（基础版）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

绝密★启用前|满分数学命制中心 2022-2023学年上学期第三单元 函数的概念与性质单元测试卷（基础版） 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教必修2019第三单元 函数的概念与性质。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（2021·江西省靖安中学高一月考）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由给定函数有意义，列出不等式组求解即得. 【详解】 函数有意义，则有，解得且， 所以原函数的定义域是. 故选：A 2．（2021·全国高一单元测试）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题得再由函数的单调性得解. 【详解】 因为函数是偶函数， 所以 因为时，是增函数， 所以， 所以. 故选：A 3．（2021·全国）下列各组中的两个函数是同一函数的个数为（ ） ①，； ②，； ③，； ④，； ⑤，. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求出①②③④⑤中两个函数的定义域，并化简函数解析式，利用函数相等的概念判断可得出结论. 【详解】 对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，①中的两个函数不是同一个函数； 对于②，对于函数，有，解得， 对于函数，有，解得或， 函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，②中的两个函数不是同一个函数； 对于③，，两个函数对应法则不同，③中的两个函数不是同一函数； 对于④，函数、的定义域均为， 且，④中的两个函数是同一个函数； 对于⑤，对于函数，有，可得，即函数的定义域为， 函数的定义域为，两个函数的定义域不同，⑤中的两个函数不是同一个函数. 故选：A. 4．（2021·全国高一单元测试）函数 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 判断函数的奇偶性和对称性，当时，，利用排除法进行判断即可． 【详解】 解：，即是奇函数，图象关于原点对称，排除，， 当时，，排除， 故选：． 5．（2021·全国高一专题练习）已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 分段函数在定义域内单调递减，不仅要求每一段解析式为减函数，还要注意端点处的函数值的大小关系. 【详解】 因为函数是定义在上的减函数， 所以， 解得. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 6．（2021·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））已知函数．则的值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】 根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案． 【详解】 解：根据题意，函数，若，解可得， 将代入，可得， 故选：． 7．（2021·全国）已知幂函数的图象过点，则的值为（　　） A．3 B．9 C．27 D． 【答案】C 【分析】 求出幂函数的解析式，然后求解函数值． 【详解】 幂函数的图象过点， 可得，解得， 幂函数的解析式为：， 可得（3）． 故选：． 8．（2021·江苏高三专题练习）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（ ） A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个 B．可以是某个圆的“优美函数” C．正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数” D．函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形 【答案】D 【分析】 利用“优美函数”的定义判断选项A，B，C正确，函数的图象是中心对称图形，则函数是“优美函数”，但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D错误． 【详解】 解：对于A：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分， 所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A正确； 对于B：因为函数图象关于原点成中心对称， 所以将圆的圆心放在原点，则函数是该圆的“优美函数”， 故选项B正确； 对于C：将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上， 则正弦函数是该圆的“优美函数”，故选项C正确； 对于D：函数的图象是中心对称图形， 则函数不一定是“优美函数”，如； 但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形， 如图所示： 所以函数的图象是中心对称图形是函数是“优美函数” 的不充分不必要条件，故选项D错误， 故选：D. 【点睛】 本题考查函数的新定义，考查函数图象的应用，以及对函数对称性的理解，考查分析问题能力和数形结合思想. 二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。） 9．（2021·全国高一单元测试）已知为奇函数，且为偶函数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 综合已知，利用奇偶性的定义和性质判定f(x)的周期为4，进而可求得,然后即可判定AB；根据周期性可判定C;根据已得数据可以判定时D中的方程不成立，从而判定D不正确. 【详解】 因为函数为偶函数，所以， 又因为f(x)是R上的奇函数，所以， 所以，所以f(x)的周期为4， 又 故A，B正确； ,∴C正确； ,同时根据奇函数的性质得既相等又互为相反数，故f(2)=0,所以，即对于不成立，故D不正确. 故选：ABC. 【点睛】 本题考查抽象函数的奇偶性和周期性，关键难点在于结合奇偶性得到周期性，同时注意，定义域为R的周期为奇函数，必有这一结论值得记忆. 10．（2020·张家口市第一中学高一月考）函数的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 通过对取值，判断函数的图象，推出结果即可. 【详解】 由题可知，函数， 若时，则，定义域为：，选项C可能； 若，取时，则函数定义域为，且是奇函数；时函数可化为 选项B可能； 若时，如取，，定义域为：且是奇函数，选项A可能， 故不可能是选项D， 故选： 【点睛】 本题主要考查了由函数解析式判断函数图象，属于高考高频考点，涉及函数的定义域、奇偶性，单调性，特殊值代入，等属于中档题. 11．（2021·全国）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 根据常见函数的单调性，即可容易判断选择. 【详解】 选项A，在上单调递增，所以A正确. 选项B，在上单调递增，所以B正确. 选项C，在上单调递增，所以C正确. 选项D，在上单调递减，所以D不正确. 故选：. 【点睛】 本题考查常见函数的单调性，属简单题. 12．（2020·全国高一单元测试）某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列说法中正确的是（ ） A．前三年中，总产量的增长速度越来越快 B．前三年中，总产量的增长速度越来越慢 C．前三年中，年产量逐年增加 D．第三年后，这种产品停止生产 【答案】BD 【分析】 根据函数的图象依次判断选项即可得到答案. 【详解】 由题中函数图象可知，在区间上，图象是凸起上升的， 表明总产量的增长速度越来越慢，因此A错误，B正确； 由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减少，因此C错误； 在区间上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 13．（2021·全国）已知函数，则_______ 【答案】 【分析】 利用函数的解析式可求得的值. 【详解】 因为，所以，. 故答案为：. 14．（2021·全国高一单元测试）已知幂函数在上单调递减，则___________. 【答案】 【分析】 由系数为1解出的值，再由单调性确定结论． 【详解】 由题意，解得或， 若，则函数为，在上递增，不合题意． 若，则函数为，满足题意． 故答案为：． 15．（2020·江苏宝应中学高三开学考试）定义在上函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题： ①是周期函数； ②的图象关于对称； ③在上是增函数； ④． 其中正确命题的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】 令替换即可得出的周期为4；计算，再令得出为奇函数，用替换可得的对称轴；根据奇函数的对称性和对称轴得出在的单调性；根据和，即可得出. 【详解】 由，可得， 所以函数的周期为4，所以①正确； 由，可得，解得， 在令，可得，所以， 即，所以函数为奇函数， 所以，即， 所以的图象关于对称，所以②正确； 因为在上是增函数， 又由，所以函数关于直线对称， 所以函数在为减函数，所以③错误； 由，可知， 因为，所以，所以④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】 本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性的综合应用及判定，属于中档试题. 16．（2018·上海市七宝中学）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】 根据题意，由函数单调性的定义可得，解得的取值范围． 【详解】 根据题意，函数在上是增函数， 则有，解得：， 即实数的取值范围为； 故答案为：． 【点睛】 本题考查分段函数的单调性，若分段的函数在定义域内为增函数，则每一段都为增函数且左边那段函数的最大值小于等于相邻右边那段函数的最小值． 四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（2021·全国）求下列函数的解析式： （1）已知二次函数满足，且； （2）已知函数满足：； （3）已知函数满足：. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）设，由可求得的值，由可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）设，代入化简可得函数的解析式； （3）由已知可得出关于、的方程组，即可解得函数的解析式. 【详解】 （1）设， ，因为， 所以，，解得，因此，； （2）令，则，， 代入有， 因此，； （3）由可得，解得. 18．（2021·全国高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，且当时， （1）求函数的解析式； （2）若函数，求函数的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）设，则，进而根据偶函数性质求解析式即可； （2）由题知，进而分，，三种情况讨论求解. 【详解】 解:(1)设，则， 因为是定义在上的偶函数，且当时，， 所以， 所以 (2)，对称轴方程为， 当，即时，在上单调递增,为最小值； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，为最小值； 当，即时，在上单调递减,为最小值． 综上， 19．（2021·河南南阳中学高三月考（理））已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数： （3）解关于x的不等式． 【答案】（1）；（2）证明见详解；（3） 【分析】 （1）由已知条件得到关于的方程组，解方程组即可求出解析式； （2）设；作差法判断，然后根据定义即可判断； （3）利用函数的奇偶性与单调性将不等式转化为一元一次不等式，解不等式即可. 【详解】 （1）∵函数是定义在上的奇函数 ∴，即，∴ 又∵，即，∴ ∴函数的解析式为 （2）由（1）知 令，则 ∵ ∴ ∴ 而 ∴，即 ∴在上是增函数 （3）∵在上是奇函数 ∴等价于，即 又由（2）知在上是增函数 ∴，即 ∴不等式的解集为. 【点睛】 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． 20．（2021·全国高一单元测试）已知幂函数（）的图像关于轴对称，且. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由，得到函数在区间为单调递增函数，即求解. （2）根据函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，将不等式，转化为求解. 【详解】 （1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且， 所以在区间为单调递增函数， 所以，解得， 由，。 又函数的图像关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 所以. （2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数， 所以不等式，等价于， 解得或， 所以实数的取值范围是. 【点睛】 本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．（2021·全国高一课时练习）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到区间（单位：元/（）内，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价始终为0.3元/（）. （1）写出本年度电价下调后电力部门的利润（单位：元）关于实际电价（单位，元/）的函数解析式； （2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%？ 【答案】（1），；（2）0.6元/（）时. 【分析】 （1）根据题意，结合反比例的定义进行求解即可； （2）根据题意得到不等式组，解不等式组进行求解即可. 【详解】 （1）， （2）当时， 由题意可得： 整理得：，解得 所以当电价最低定为0.6元/（）时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20% 【点睛】 本题考查了数学阅读能力，考查了一元二次不等式的解法应用，考查了数学运算能力. 22．（2020·全国高一单元测试）函数的定义域为，且对一切，都有，当时，有. （1）求的值； （2）判断的单调性并加以证明； （3）若，求在上的值域. 【答案】（1）；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）. 【分析】 （1），根据函数性质即可求出； （2）根据单调性的定义及可证明函数为增函数； （3）根据函数的单调性及函数满足的性质可求出函数值域. 【详解】 当，时，， 令，则 设，且， 则， ， ， ， ，即在上是增函数 由知在上是增函数， ， ， 由，知， ， 在上的值域为. 【点睛】 本题主要考查了抽象函数的单调性证明，抽象函数值域，属于中档题.