突破4.1 指数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 根式
(1)概念:式子eq \r(n,a)叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)性质:(eq \r(n,a))n=a(a使eq \r(n,a)有意义);当n为奇数时,eq \r(n,an)=a,当n为偶数时,eq \r(n,an)=|a|=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a,a≥0,,-a,a<0.))
考点二 分数指数幂
(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)=eq \r(n,am)(a>0,m,n∈N*,且n>1);
(2)正数的负分数指数幂的意义是a-eq \f(m,n)=eq \f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
考点三 指数幂的运算性质
(2)有理指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.
三、题型突破
(一) 根式化简
例1、(1)当时,
B. C. D.
(2).(2021·上海高一单元测试)( )
A. B.5 C. D.25
【变式训练1-1】.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A. B.
C. D.
【变式训练1-2】.(2019秋•九龙坡区校级期中)把根号外的移到根号内等于
A. B. C. D.
【变式训练1-3】.(多选题)下列根式分数指数幂的互化中,不正确的是( )
A. B.
C. D.
(二) 根式与分数指数幂互化
例2、(1)下列关系式中,根式与分数指数幂互化正确的是
A. B.
C. D.
(2).(2021·江苏省如东高级中学高一月考)已知,,化简得( )
A. B. C. D.
【变式训练2-1】.(多选题)(2019·全国高一课时练习)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A. B.
C. D.
【变式训练2-2】.(2021·福建高二月考)( )
A. B. C. D.
【变式训练2-3】.(多选题)(2019·广东禅城 佛山一中高一月考)下列运算结果中,一定正确的是( )
A. B. C. D.
(三) 多重根式化简
例3、(1)(2019秋•景泰县校级期中)等于
A. B.2 C. D.2
(2).(2021·全国高一课时练习)将 化为分数指数幂为( )
A. B.
C. D.
【变式训练3-1】.(2021·全国高一专题练习)可以化简成( )
A. B. C. D.
【变式训练3-2】.(2020·全国高一课时练习)设,将表示成分数指数幂的形式,其结果是________.
【变式训练3-3】.【变式训练4-3】.(多选题)(2020·全国高一课时练习(理))下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A. B.
C. D.
E.
(四) 根式与分数指数幂互化
例4、(2021·全国高一课时练习)计算下列各式
(1)
(2)
【变式训练4-1】.(2019秋•温江区校级月考)计算:
(1);
(2).
(五) 利用整体代换思想求值
例5、.(2021·全国高一课时练习)已知,求:
(1);
(2).
【变式训练5-1】.(2019秋•越秀区校级月考)已知,且,求的值.
(六) 指数幂的综合应用
例6、(2019秋•临沂期中)已知,.
(1)求证:是奇函数,并求的单调区间;
(2)分别计算(4)(2)(2)和(9)(3)(3)的值,由此概括出涉及函数和对所有不等于零的实数都成立的一个等式,并加以证明.
【变式训练6-1】.(2019·安徽)已知函数(x∈R).
(1)若,求的值;
(2)若,求的值.