3.4函数复习课教学设计

3.4函数复习课

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)

一、教学目标

1.知识与技能：领会函数的基本知识，熟练掌握应用函数的性质解决基本函数问题

2.过程与方法：通过绘制知识结构导图，强化对函数的认识，学会自主复习的方法。

3.情感态度与价值观：学习归纳知识的方法有意识强化及时复习的意识，通过对典型例题的分析，感受现实生活中变量间的变化规律。

二、教学重难点

1.函数的概念与性质的理解

2.函数性质的应用

三、教学过程

1.知识结构导图

【实际情境】通过这一章的学习，我们知道世间万物，有很多变量之间都有着函数关系，那么我们如何来把握这种函数关系呢？我们可以从以下方面入手：

【预设的答案】

【设计意图】对函数概念的整体把握，形成知识网络.

2. 基础知识整合

问题1：函数的概念，表示方法与三要素分别是什么？：

1.一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的值f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个_函数_，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做_函数值，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的__值域．

2．函数的表示方法

(1)解析法：就是用_数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法．

(2)图象法：就是用_图象表示两个变量之间的对应关系的方法．

(3)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法．

3．构成函数的三要素

(1)函数的三要素是：_定义域_，_对应关系，值域.

(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．

（3）.求函数的定义域应注意：① f(x)是整式，则定义域是R② f(x)是分式，则分母不为0；

③ 偶次方根的被开方数非负； ④ 若,则定义域

⑤表格形式给出时,定义域就是表格中数的集合.

【设计意图】回顾函数的概念，用填空的形式加强对概念的理解记忆。

问题2：什么是分段函数？它有哪些性质？

若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．

【设计意图】强化分段函数的概念，特别注意不同区间段函数对应关系不同。

问题3：函数的单调性的定义是什么？

(1)增函数与减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．

②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

(2)单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

问题4：什么是函数的奇偶性？有哪些特性？

1.奇偶函数定义：

  如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.

  如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.

2.几个结论:

①偶函数的图象关于y轴对称.

②奇函数的图象关于原点对称.

③函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是---定义域关于原点对称,否则它是非奇非偶函数.

④判断一个函数是否为奇(偶)函数还可用f(-x)±f(x)=0  或 .

【设计意图】回顾两个重要的函数性质，理解其本质及原理。

3.核心素养训练

类型一   函数的定义域

例1.(1)函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　)

A.　　   B.

C.        D.∪

(2)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝f(2x－1)的定义域是                                         (　　)

A． B．[－1,4]

C．[－5,5] D．[－3,7]

[解析](2)设u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以y＝f(u)的定义域为[－1,4]．再由－1≤2x－1≤4，

解得0≤x≤，即函数y＝f(2x－1)的定义域是.

类型二   求函数的解析式

【例2】　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．

(2)已知f＝＋，则f(x)的解析式为________．

(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.

∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，

∴f(x)＝

(2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋

＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.

所以所求函数的解析式为

f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．

类型三    函数的性质及应用

【例3】已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f()＝.

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数．

[解]　(1)由题意，得∴故f(x)＝.

(2)任取－1<x1<x2<1，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0，1＋x>0，1＋x>0.

又－1<x1x2<1，∴1－x1x2>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1，1)上是增函数．

【例4】若函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－2,0)　　　　B．[－2,0)

C．(－∞，1]     D．(－∞，0)

[解析]　由x≥1时，f(x)＝－x2＋2ax－2a是减函数，得a≤1；由x＜1时，函数f(x)＝ax＋1是减函数，得a＜0.

分段点x＝1处的值应满足－12＋2a×1－2a≤1×a＋1，

解得a≥－2.所以－2≤a＜0.

例5.函数f(x)的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.

(1)证明：f(x)是奇函数；

(2)证明：f(x)在R上是减函数；

(3)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．

[解析]　(1)令y＝－x，得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，

∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．又∵f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，

∴f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]

＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)．

∵x1<x2，∴x2－x1>0，又∵当x>0时，f(x)<0，

∴f(x2－x1)<0，∴－f(x2－x1)>0，即f(x1)>f(x2)，

从而f(x)在R上是减函数．

(3)∵f(x)在R上是减函数．

∴f(x)在[－3,3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)．

f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×(－2)＝－6，

∴f(－3)＝－f(3)＝6.

从而f(x)在区间[－3,3]上的最大值是6，最小值是－6.

四、课外作业

一．单选题（共3小题）

1．设函数，则　　

A．0 B．3 C．1 D．2

2．已知函数，若，则实数的取值范围是　　

A． B．，， 

C． D．，，

3．已知函数的定义域为，函数，则函数的定义域为　　

A． B． C． D．，（1）

二．多选题（共3小题）

4．若幂函数的图象经过点，则幂函数是　　

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数

5．已知函数图象经过点，则　　

A．函数在定义域内为增函数 

B．函数为偶函数 

C．当时， 

D．当时，

6．已知函数，则在下列实数中，函数值可以取值的有　　

A． B． C． D．

三．填空题（共3小题）

7．函数的最小值为　　．

8．若函数的值域为，，则实数的取值范围是　　．

9.某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润（单位：元）与时间，，单位：天）之间的函数关系式为，且日销售量（单位：箱）与时间之间的函数关系式为

①第4天的销售利润为　　元；

②在未来的这20天中，公司决定每销售1箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象．为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间的增大而增大，则的最小值是　　．

四．解答题（共2小题）

10.已知函数．

（1）证明函数在上单调递减；

（2）当时，有，求的范围．

11.已知函数，且．

（1）求的值；

（2）判定的奇偶性；

（3）判断在上的单调性，并给予证明．

五．思考题

12．已知函数其中．

（1）当时，求的最小值；

（2）设函数恰有两个零点，，且，求的取值范围．

参考答案【解答】1.解：函数，

，

（2）．

故选：．

3.解：由分段函数的性质可知，在上单调递增，

若，

则，

解可得，或．

故选：．

解：函数的定义域为，

，解得：，

故函数的定义域是，

故选：．

4.解：设幂函数 为常数），

幂函数的图象经过点，

，

，

，

函数在单调递增，又，

幂函数是奇函数，

故选：．

5.解：由题意可得，，解得，

所以函数解析式为：．

易得函数在，上单调递增，且为非奇非偶函数；故正确，错误；

当时，，又由函数图象易得为“上凸函数”故正确，

故选：．

6.解：函数，定义域为，

当时，，可得，正确；

当，则，，所以，

所以，所以正确，

故选：．

7.解：令，则，

利用换元法可将函数的解析式换元为：，

结合二次函数的性质可知当 时函数取得最小值．

故答案为：．

8.解：时，；时，，且的值域为，，

，

，

实数的取值范围是：，．

故答案为：，．

解：①因为，（4），所以该天的销售利润为；

②设捐赠后的利润为元，则，

化简可得，．

令，因为二次函数的开口向下，对称轴为，为满足题意所以，，解得，

故答案为：①1232；②5．

10．【解答】解：（1）证明：根据题意，，

设，则，

又由，则，，，

则，

则在区间上单调递减；

（2）根据题意，在区间上单调递减，

当时，有，则有，

11．【解答】解 （1）根据题意，函数，

因为，所以，解可得，

（2），因为的定义域为，

又，

所以是奇函数．

（3）在上为单调增函数

证明如下：任取，则

因为，所以，，所以，

所以在上为单调增函数．

解可得：，即的范围是．

12.【解答】解：（1）时，，

则当时，在，上单调递增，且无最小值，

当时，由二次函数知，在，单调递减，在单调递增，

故（4）．

（2）当，不能取零点时，即恒成立，则，

当时，由二次函数的对称轴知，则二次函数不能满足在有两个零点，故不符合题意；

当时，亦不符合题意．

当，能取零点时，则，由二次函数知，对称轴，由，且（1），

根据对称性在上，满足△，即，其必有一零点大于3，故符合题意．

当时，在上，亦无零点，

根据题意，在时，有两零点，且满足（1），即，有，

又因知得，故，此时无解；

综上所述，的取值范围为．