突破4.1 指数（课时训练）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破4.1 指数 A组 基础巩固 1．（2022·全国高三专题练习（文））下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据指数幂的运算性质，再结合指数幂的意义即可得到答案 【详解】 对于A，由有意义可知，而当时，无意义，故A错误； 对于B，当时，，而无意义，故B错误； 对于C，，故C错误． 对于D，．故D正确． 故选：D. 2．（2021·全国高一课时练习（理））计算 (n∈N*)的结果为（ ） A． B．22n＋5 C．2n2－2n＋6 D． 2n－7 【答案】D 【分析】 结合指数的运算公式化简即可求出结果. 【详解】 原式， 故选：D. 3．（2021·上海）若则x=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用根式与分数指数幂之间的互化即可求解. 【详解】 由，得，即，所以. 故选：A 4．（2021·全国高一专题练习）下列一定正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】 利用根式与指数幂的互化可判断A选项的正误；解方程，可判断B选项的正误；取、为负数可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，当时，，A选项正确； 对于B选项，若，则，B选项错误； 对于C选项，取、均为负数且，则、无意义，C选项错误； 对于D选项，取，，则，但，D选项错误. 故选：A. 5．（2020·全国高一期末）若，且，则的值是（ ） A．18 B．24 C．21 D．27 【答案】D 【分析】 根据、得到关于的两个方程，解出的值即可得到答案. 【详解】 解：，有，； 又，，； 联立方程，解得，， 故选：C. 6．（2021·全国高一课时练习）已知正数满足，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】 根据题中条件，结合指数幂运算的性质，即可求出结果. 【详解】 因为正数满足， 所以，即，则， 所以，即，因此. 故选：B. 7．（2021·全国高一专题练习）计算的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用指数的运算法则以及零次幂求解即可. 【详解】 ； 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题. 8．（2021·全国高一课前预习）已知，则化为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用根式的运算性质即可得出． 【详解】 解：原式． 故选：B． 【点睛】 本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．（2021·江苏高一课时练习）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用和完全平方公式，可得的值，再运用立方和公式得出答案． 【详解】 由题意得 =x+2+x-1=5， 所以=， 所以=()(x-1+x-1)=， 故选：B 【点睛】 本题考查指数幂的运算，考查公式的应用，属于基础题． 10．（2020·上海）化简，结果是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 原式 故选A 【点睛】 本题考查分数指数幂的运算，以及平方差公式的运用，其中在凑平方差公式时，乘以一项再除以这一项是解题的关键． 11．（2021·新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学高三月考（理））若，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 结合指数函数的单调性，可得出，，，结合，从而可得出三个数的大小关系. 【详解】 函数是上减函数，所以，同理得， 又，所以， 又，所以，即. 故选：D. 【点睛】 本题考查几个数的大小比较，考查指数函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题. 12．（2021·重庆复旦中学高一开学考试）计算等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用根式的运算性质即可得出． 【详解】 由可知，∴， 故选：C. 【点睛】 本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力，属于基础题． 13．（多选题）（2021·全国高一专题练习）下列表达式中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】 根据根式的性质、基本不等式以及指数幂的运算即可求解. 【详解】 对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，当且仅当时取等号,故C正确. 对于D，，故D正确. 故选：AB 14．（多选题）（2021·全国高一专题练习）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 根据根式和分式指数幂的关系进行转化即可. 【详解】 对于A，，左边，右边，故A错误； 对于B，，当时，，故B错误； 对于C，由分式指数幂可得，则，故C正确； 对于D，，故D错误. ∴不正确的是A、B、D. 故选：ABD. 【点睛】 本题为基础题，考查负指数分数指数幂与根式的转化运算. 15．（多选题）（2021·江苏高一课时练习）已知，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 由，可得：；；；，即可判断出正误． 【详解】 解：， ，因此A正确； ，因此B不正确； ，，解得，因此C不正确； ，因此D正确． 故选：AD． 16．（2021·上海高一单元测试）__________． 【答案】2 【分析】 先把根式化为分数指数幂，再用幂的运算性质求解即可 【详解】 ， 故答案为：2 17．（2020·上海闵行·古美高中高一期中）当时，=___________. 【答案】 【分析】 根据开根号的性质，直接计算即可得解. 【详解】 由， 则， 故答案为： 18．（2021·全国高一课时练习）代数式（其中x＞0）可化简为________． 【答案】 【分析】 利用分数指数幂与根式的运算性质求解 【详解】 解：因为， 所以， 故答案为： 19．（2021·全国高一专题练习）_________． 【答案】 【分析】 利用指数幂的运算性质即可得解. 【详解】 原式 故答案为： 20．（2021·全国高一课时练习）的分数指数幂表示为____________ 【答案】 【分析】 本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果. 【详解】 ， 故答案为：. 21．（2020·江苏省通州高级中学）_______．（用分数指数幂表示） 【答案】 【分析】 利用分数指数幂的运算法则求解即可. 【详解】 故答案为： 22．（2020·上海市杨思高级中学高一期中）=_____________（用分数指数幂表示） 【答案】. 【分析】 根据根式和分数指数幂的关系相互转化规则化简即可得出答案. 【详解】 故答案为：. 23．（2021·内蒙古赤峰·高一期末）用符号“”或“”填空：________. 【答案】 【分析】 首先利用完全平方公式化简根式，利用集合与元素的关系判断. 【详解】 ， 此时时，，时集合中的元素. 故答案为： 24．（2021·上海）对于正数a，可以用有理数指数幂的形式表示为__________. 【答案】 【分析】 将根式转化为有理数指数幂，应用指数幂的运算性质，即可得有理指数幂的形式. 【详解】 . 故答案为： 25．（2021·全国高一课时练习）已知，其中，求的值． 【答案】1 【分析】 将化为，利用平方差公式分解因式后，代入可得结果. 【详解】 由可知， 所以 ==1. 26．（2021·全国高一课时练习）化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）利用根式与分数指数幂互化及分数指数幂的四则运算可得答案； （2）利用分数指数幂的四则运算可得答案；. 【详解】 （1）原式 ； （2）原式．  B组 能力提升 27．（2022·全国高三专题练习）已知，则的值是（ ） A．15 B．12 C．16 D．25 【答案】A 【分析】 推导出，再由立方差公式得，从而求出结果． 【详解】 解：∵， ， 由立方差公式得， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查根式的化简、求值，考查有理数指数幂、根式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 28．（2020·宾县第一中学高一月考）已知下列不等式①；②；③；④；⑤中恒成立的是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 利用特殊值法和对应函数的单调性一一验证即可. 【详解】 取，则不成立； 由指数函数的单调性可知成立； 取，则不成立； 对于任意的，都有成立； 由于底数成立，故五个命题中有三个是正确的， 故选C. 【点晴】 对于此类题，可以直接取符合已知条件的特殊值计算得出. 29．（2020·江苏高一课时练习）计算的值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】 利用指数幂和根式进行化简得出答案． 【详解】 原式==e， 故选：B 【点睛】 本题考查指数的运算，考查学生计算能力，属于基础题． 30．（2021·全国高一单元测试）计算：（1）； （2）已知：，求 【答案】（1）4，（2） 【分析】 （1）把根式化为分数指数幂，然后利用分数指数幂运算性质求解即可； （2）对两边平方化简求出，再平方可求出的值，从而可求出结果 【详解】 解：（1）原式 （2）由，得，得， 所以，所以， 所以 41．（2019·福建厦门双十中学）集合是由适合以下性质的函数组成：对于任意，，且在上是增函数. （1）试判断及是否在集合中，若不在中，试说明理由； （2）对于（1）中你认为集合中的函数，不等式是否对任意恒成立，试证明你的结论. 【答案】（1），.见解析（2）恒成立，见解析 【分析】 （1）通过特例，判断，求出的值域，即可判断是否在集合中． （2）利用 （1）在集合中，化简不等式通过指数的性质，推出结论即可． 【详解】 （1）当时，，所以，又当时为增函数，∴值域为，所以；所以. （2）∵ ∴对任意不等式总成立. 【点睛】 本题考查了利用单调性求解函数值域问题，考查了指数幂的运算，利用所学知识解决新问题的能力． 42．（2021·全国高一专题练习）计算下列各式： （1）； （2）. 【答案】（1）112；（2）. 【分析】 由分数指数幂的运算法则和根式与指数幂的互化可得答案 。 【详解】 （1）原式=； （2）原式.