数学七年级下册7.1 探索直线平行的条件学案

第一讲：认识同位角、内错角、同旁内角

一、主要内容

1、同位角、内错角、同旁内角的概念         

2、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征         

二、基本概念

1、同位角、内错角、同旁内角的概念

1. “三线八角”模型

如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.

要点诠释：

⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．

⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．

2. 同位角、内错角、同旁内角的定义

在“三线八角”中，如上图1，

（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.

（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.

（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.

要点诠释：

 (1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.

(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．

1.

(1)图3中，∠1、∠2由直线         被直线        所截而成．

(2)图4中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？

【答案】(1) EF，CD； AB．     （2）不是 ．  

【解析】（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．

（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．

【总结升华】判断 “三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.

2.如图1，若直线a，b被直线c所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角

之间是属于哪种特殊位置关系的角?

(1)∠1与∠2是_______；(2)∠5与∠7是______；

(3)∠1与∠5是_______；(4)∠5与∠3是______；

(5)∠5与∠4是______；(6)∠8与∠4是______；

(7)∠4与∠6是_______；(8)∠6与∠3是______；

(9)∠3与∠7是______；(10)∠6与∠2是______．             图1

【答案】

(1)邻补角，(2)对顶角，(3)同位角，(4)内错角，

(5)同旁内角，(6)同位角，(7)内错角，(8)同旁内角，

(9)同位角，(10)同位角．

2、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征

要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：

(1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨.

(2)借助方位来识别

根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．

1.如图，(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?

(2)  ∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？

(3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?

【答案与解析】

解：（1）DE是截线,把EG和BC相截，∠E与∠3是同位角；

（2）截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；

（3）不是,因为∠B与∠E没有公共边

【总结升华】确定角的关系的方法：（1）找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析.（4）以此类推

举一反三： 【变式】下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

2. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.

【答案与解析】

解：同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；

 内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；

 同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．

【总结升华】在复杂图形中，要学会分离图形，找到“两条直线与同一条直线相交”的图形．

举一反三：【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．

【答案】

解：同位角：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；

内错角：∠2与∠8，∠3与∠5；

同旁内角：∠2与∠5，∠3与∠8

3.下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（　　）．

A．4       B．3      C．2         D．1

【答案】C （提示：②④正确）

举一反三：【变式1】若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是    (    ) ．

A．∠1＝∠2     B．∠1＞∠2或∠1＜∠2     C．无法比较     D.以上都是

【答案】D

三、课堂讲解              

一、选择题

1.如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（    ）

1. 同位角          B.内错角     

C.同旁内角         D.对顶角

2．如图中，∠1和∠2不是同旁内角的是（   ）           

A.  B.  C.   D. 

3．已知图①～④，

图①        图②            图③          图④

在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有(    )．

A.①②③④           B.①②③        C.①③       D.①

4．如图，下列说法中，错误的是（　　）

A. ∠4与∠B是同位角    

B. ∠B与∠C是同旁内角       

C. ∠2与∠C是同位角    

D. ∠1与∠3是内错角

5.如图所示，按各组角的位置判断，下列说法中，错误的是(    )

A.∠1与∠A是同旁内角     

B.∠3与∠4是内错角  

C.∠5与∠6是同旁内角      

D.∠2与∠5是同位角

6.∠1与∠2是内错角，∠1=40°，则（　　）           

A.∠2=40°   B.∠2=140°   C.∠2=40°或∠2=140°   D.∠2的大小不确定

7.如图，下列结论正确的是（   ）.

A．∠5与∠2是对顶角；   

B．∠1与∠3是同位角； 

C．∠2与∠3是同旁内角；  

D．∠1与∠2是同旁内角.

8.如图，下列6种说法：①∠1与∠4是内错角；②∠1与∠2是同位角；③∠2与∠4是内错角；④∠4与∠5是同旁内角；⑤∠2与∠4是同位角；⑥∠2与∠5是内错角．其中正确的有 (     ) 

A.1个    B.2个   C.3个     D. 4个

二、填空题

9.观察如图所示的图形，并填空：

(1)若ED，BC被AB所截，则∠1与______是同位角.

(2)若ED，BC被AF所截，则∠3与______是内错角.

(3)∠1与∠3是AB和AF被______所截构成的______角.

(4)∠2与∠4是______和______被BC所截构成的______角.

10.如图所示，图中用数字标出的角中，同位角有______；内错角有______；同旁内角有______．

11．如图所示，∠1的内错角是_______， ∠B的同旁内角有_______（只写一个）
 

12．如图，在图中的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5和∠B中，同位角是________，内错角是________，同旁内角是________．

13．如图，直线a、b、c分别与直线d、e相交，与∠1构成同位角的角共有________个，和∠l构成内错角的角共有________个，与∠1构成同旁内角的角共有________个．

14.如图，三条直线两两相交，其中同旁内角共有       对，同位角共有      对，内错角共有       对.

三、解答题

15．如图，三条直线两两相交，共有几对对顶角?几对邻补角?几对同位角?几对内错角?几对同旁内角?

16.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题.

(1)在图中的∠1∼∠9这9个角中，同位角共有多少对?请你全部写出来；

(2)∠4和∠5是什么位置关系的角?∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗?

【答案与解析】

一、选择题

1.B    2.B   3.C    4.A    5.C      6.D     7.D      8.C

二、填空题

9.(1)∠2    (2)∠4   (3)DE   内错角       (4)AB    AF  同位角

10.同位角有：∠3与∠7、∠4与∠6、∠2与∠8；

内错角有：∠1与∠4、∠3与∠5、∠2与∠6、∠4与∠8；

同旁内角有：∠2与∠4、∠2与∠5、∠4与∠5、∠3与∠6．

11．∠B    ∠C

12．∠l与∠B，∠4与∠B；    ∠2与∠5，∠3与∠4；

∠2与∠4，∠3与∠5，∠3与∠B，∠B与∠5．

13．3，2，2

14．6,  12,  6

15．6对对顶角;12对邻补角;12对同位角;6对内错角;6对同旁内角?

16.(1)5对   ∠1和∠5  ∠2和∠3  ∠3和∠7  ∠4和∠9  ∠4和∠6 

(2)∠4和∠5是同旁内角   同

【达标检测】

一．选择题

1．下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（　　）

A．    B．    C． D．

2．给出下列说法：

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；

（3）相等的两个角是对顶角；

（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．

其中正确的有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

3．如图1，与 组成同位角，与 组成内错角的角分别有（     ）

A．2对，4对   B．4对，2对   C．2对，2对   D．4对，4对

4．如图2，能与 构成同位角的角有                     （     ）

A．4个         B．3个        C．2个         D．1个

5．如图3，下列判断正确的是                               （     ）

A．4对同位角，4对内错角，2对同旁内角   

B．4对同位角，4对内错角，4对同旁内角

C．6对同位角，4对内错角，4对同旁内角  

D．以上判断都不对.

     图1               图2               图3

二．填空题

6.如图1，∠1和∠4是AB、           被           所截得的        角，∠3和∠5是         、          被             所截得的        角，∠2和∠5是    、           被       所截得的         角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是        和           

7.如图2，AB、DC被BD所截得的内错角是          ，AB、CD被AC所截是的内错角是            ，AD、BC被BD所截得的内错角是            ，AD、BC被AC所截得的内错角是            .

       图1                              图2

三．解答题

8.下列图中∠1与∠2，∠3与∠4分别是哪两条直线被哪一条直线所截而成的？是什么角？

参考答案

一．选择题

1．A

2．B

3．D

4．B

5．C

二．填空题

6.如图1，∠1和∠4是AB、  CD  被 BE   所截得的 同位  角，∠3和∠5是 AB  、 BE  被 AC  所截得的 同旁内角，∠2和∠5是 AB 、CD 所截得的 内错  角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是 ∠4  和  ∠5     

7.如图2，AB、DC被BD所截得的内错角是 ∠1和∠5  ，AB、CD被AC所截是的内错角是  ∠8和∠4  ，AD、BC被BD所截得的内错角是 ∠2和∠6  ，AD、BC被AC所截得的内错角是 ∠7和∠4   .

三．解答题

8.

图①，∠1与∠2是直线c、d被直线l所截而成的同位角；

图②，∠1与∠2是直线AB、CD被直线BC所截而成的同位角；∠3与∠4是直线AB、CD被直线AC所截而成的内错角；

图③，∠1与∠2是直线AB、CD被直线AG所截而成的同位角；∠3与∠4是直线AG、CE被直线DC所截而成的内错角；

图④，∠1与∠2是直线AD、CB被直线AC所截而成的内错角；∠3与∠4是直线AB、CD被直线AC所截而成的内错角．