数学必修12.1.1指数与指数幂的运算当堂达标检测题

2.1．1　指数与指数幂的运算

1．n次方根

谈重点  对“n次方根”的理解　“n次方根”的定义及性质是平方根、立方根定义及性质的推广，根式记号是平方根、立方根记号的推广，可以通过类比进行理解．

【例1】已知m10＝2，则m等于(　　)

A．      B．      C．      D．

解析：∵m10＝2，∴m是2的10次方根．

又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝．

答案：D

2．根式

点技巧  根式的记忆口诀

正数开方要分清，根指奇偶大不同，

根指为奇根一个，根指为偶双胞生．

负数只有奇次根，算术方根零或正，

正数若求偶次根，符号相反值相同．

负数开方要慎重，根指为奇才可行，

根指为偶无意义，零取方根仍为零．

【例2－1】求下列各式的值：

(1)；(2)；(3)；(4)．

解：(1)＝5．(2)＝－2．(3)＝＝2．(4)＝π－3．

【例2－2】化简：(1)；

(2)(x＜π，nN*)．

解：(1)

(2)∵x＜π，∴x－π＜0，

当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；

当n为奇数时，＝x－π．

辨误区  的错误应用　(1)表示an的n次方根，对任意aR都有意义，但等式＝a不一定成立．当n的值不确定时，应注意分n为奇数和偶数两种情况对n进行讨论．

(2)与()n的区别：①当n为奇数，且aR时，有＝()n＝a；②当n为偶数，且a≥0时，有＝()n＝a．

3．分数指数幂

(1)分数指数幂的意义

谈重点  对分数指数幂的理解　(1)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；

(2)指数幂不可以理解为个a相乘，它是根式的一种新写法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；

(3)通常规定分数指数幂的底数a＞0，但要注意在像中的a，则需要a≤0．

【例3－1】用根式的形式表示下列各式(a＞0)：

，，，．

解：，，，．

谈重点  分数指数幂与根式互化的易错点　(1)分不清分子、分母的位置，如写成；

(2)负分数指数幂化简时不注意负号的位置，如或者．

(2)有理数指数幂的运算性质

点技巧  巧记有理数指数幂的运算性质　有理数指数幂在运算中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．

【例3－2】求值：(1)；(2)；

(3)；(4)．

解：(1)．

(2)＝33＝27．

(3)．

(4)

＝．

【例3－3】用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)：

(1)·；(2)；

(3)；(4)．

分析：解决本题的关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性质进行化简．

解：(1)原式＝．

(2)原式＝．

(3)原式＝．

(4)原式＝．

根式化为分数指数幂的方法　将根式化为分数指数幂的依据是(a＞0，m，nN*，且n＞1)．当要变化的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质进行合并．

4．无理数指数幂

(1)一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数；

(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂，即：①aα·aβ＝aα＋β(a＞0，α，β是无理数)；

②(aα)β＝aα·β(a＞0，α，β是无理数)；

③(ab)α＝aαbα(a＞0，b＞0，α是无理数)．

【例4】求值：(1)；

(2)．

解：(1)原式＝

＝＝23＝8．

(2)原式＝＝52＋21＝27．

5．指数幂(根式)的化简与计算

化简、计算指数幂(根式)时，应注意以下几点：

(1)运算顺序：先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，有括号的先算括号内的．

(2)如果指数是小数，那么通常化为分数指数，这样可以随时检验运算的正确性，是常用的化简技巧．比如，(－3)2.1＝＝，由于(－3) 21是一个负数，所以(－3)2.1无意义，这说明化简中出现了错误．

(3)将其中的根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质进行计算．比如，化简a，如果不将根式化为指数幂，就很难完成化简：a＝a·＝＝．

(4)计算或化简的结果尽量最简，对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示．如果有特殊要求，则按要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．

综上所述：进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．

【例5－1】计算下列各式：

(1)＋2－2×－(0.01)0.5；

(2)＋(0.1)－2＋－3π0＋；

(3)－＋＋16－0.75＋．

解：(1)原式＝1＋．

(2)原式＝＝100．

(3)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝．

【例5－2】化简：

(1)(a＞0，b＞0)；(2)(ab≠0)；

(3)(a·b≠0，且a≠8b)．

解：(1)原式＝．

(2)原式＝＝a＋b．

(3)原式＝＝a．

6．条件求值问题

利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题，一般有三种思路：

(1)将条件用结论表示，直接解出结论；

(2)有些时候，直接代入求值不方便，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，常用整体代入法来求值．要求同学们熟练掌握平方差、立方和(差)以及完全平方公式，如a＋b＝，a－b＝等等，运用这些公式的变形，可快速巧妙求解．

(3)有时适当地选用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁．所以在解题时要先审题，比较各种思路的优劣，然后再动手做题，养成良好的思维习惯．

例如：已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值．

解：(方法一)8x＋8－x＝23x＋2－3x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)[(2x＋2－x)2－3·2x·2－x]＝(2x＋2－x)[(2x＋2－x)2－3]＝a(a2－3)＝a3－3a．

(方法二)令2x＝t，则2－x＝t－1，所以t＋t－1＝a，两边平方整理得t2＋t－2＝a2－2，则8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)＝a3－3a．

【例6】(1)已知，，求的值；

(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求的值．

解：(1)，

将，代入，

得原式＝

＝．

(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的根，

∴由根与系数关系得

又∵a＞b＞0，∴．

∵，

∴．

析规律  条件求值问题的处理方法　对于条件求值问题，常采用“整体代换”或“求值后代换”的方法求解．要注意运用恰当的变形，如分解因式等．用乘法公式时，还要注意开方时正负号的选取，如本题第(2)小题．

7．二次根式与完全平方公式的综合问题

由于乘方和开方互为逆运算，则完全平方公式(m±n)2＝m2±2mn＋n2与二次根式的关系也是互逆运算．在化简时，可设解得x，y，则＝＝＝|x±y|．

因此，只要把a±k凑成完全平方公式的形式，利用＝|c|即可完成化简．

【例7】化简＝__________．

解析：原式＝

＝

＝

＝．

答案：

点技巧  a±k的处理有技巧　将a±k化为a±2·的形式，然后观察求出满足()2＋()2＝a的c，d的值，则a±k＝(±)2．例如本题中的5＋2＝5＋2·，则5＋2＝(＋)2．