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    高中人教版新课标A2.1.1指数与指数幂的运算精品教学设计及反思

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    这是一份高中人教版新课标A2.1.1指数与指数幂的运算精品教学设计及反思,共8页。

    2.1.1  指数与指数幂的运算

    教学目标:1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念;

    2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质;

    3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

    教学重点:根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质

    教学难点:根式概念和分数指数幂概念的理解

    教学方法:学导式

    教学过程:

    第一课时    

    引例:填空

    (1)      a0=1a         

     (2) (m,nZ)   (m,nZ)    (nZ)

    (3)           - 

    (4)       

    (II)讲授新课

    1.引入:

    (1)填空(1),(2)复习了整数指数幂的概念和运算性质(其中:因为可看作,所以可以归入性质;又因为可看作,所以可以归入性质(nZ)),这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂,先要学习n次根式()的概念。

    (2)填空(3),(4)复习了平方根、立方根这两个概念。如:

    22=4 ,(-2)2=4                    2,-2叫4的平方根

    23=8 2叫8的立方根;          (-2)3=-8-2叫-8的立方根

    25=32 2325次方根         2n=a  2an次方根

    分析:若22=4,则2叫4的平方根;若23=8,2叫做8的立方根;若25=32,则2叫做32的5次方根,类似地,若2n=a,则2叫an次方根。由此,可有:

    2.n次方根的定义:(板书)

    一般地,如果,那么x叫做an次方根( th root,其中,且

    问题1n次方根的定义给出了,x如何用a表示呢是否正确?

    分析过程

    例1.根据n次方根的概念,分别求出27的3次方根,-32的5次方根,a6的3次方根。(要求完整地叙述求解过程)

    解:因为33=27,所以3是27的3次方根;因为=-32,所以-2是-32的5次方根;

    因为,所以a2a6的3次方根。

    结论1:n为奇数时(跟立方根一样),有下列性质:正数的n次方根是正数,负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时,an次方根可表示为

    从而有:

    例2.根据n次方根的概念,分别求出16的4次方根,-81的4次方根。

    解:因为,所以2和-2是16的4次方根;

    因为任何实数的4次方都是非负数,不会等于-81,所以-81没有4次方根。

    结论2:n为偶数时(跟平方根一样),有下列性质:正数的n次方根有两个且互为相反数,负数没有n次方根。此时正数an次方根可表示为:

    其中表示a的正的n次方根,表示a的负的n次方根。

    例3.根据n次方根的概念,分别求出0的3次方根,0的4次方根。

    解:因为不论n为奇数,还是偶数,都有0n=0,所以0的3次方根,0的4次方根均为0。

    结论3:0的n次方根是0,记作a=0时也有意义。

    这样,可在实数范围内,得到n次方根的性质:

    3.n次方根的性质:(板书)

            其中    叫根式,n叫根指数,a叫被开方数。

    注意:根式是n次方根的一种表示形式,并且,由n次方根的定义,可得到根式的运算性质。

    4.根式运算性质:(板书)

    ,即一个数先开方,再乘方(同次),结果仍为被开方数。

    问题2:若对一个数先乘方,再开方(同次),结果又是什么?

    例4:     

    由所得结果,可有:(板书)

    性质的推导如下:

    性质推导过程:

    n为奇数时,

    n为偶数时,

    综上所述,可知:

    性质推导过程:

    n为奇数时,由n次方根定义得:

    n为偶数时,由n次方根定义得:

    综上所述:

    注意:性质有一定变化,大家应重点掌握。

    (III)例题讲解

    例1.求下列各式的值:

                         (4)a>b)

    注意:根指数n为奇数的题目较易处理,要侧重于根指数n为偶数的运算。

    (III)课堂练习:求下列各式的值

    (1)        (2)       (3)    (4)

    (IV)课时小结

    通过本节学习,大家要能在理解根式概念的基础上,正确运用根式的运算性质解题。

    (V)课后作业

    1、书面作业:

    a.求下列各式的值

                          

    b.书P69习题2.1 A组题第1题。

    2、预习作业

    a.预习内容:课本P59P62

    b.预习提纲:

    (1)根式与分数指数幂有何关系?

    (2)整数指数幂运算性质推广后有何变化?

     

     

     

    第二课时

    1.填空

    (1) (2)

    (3)  (4)

    (5); (6)

    (II)讲授新课

    分析:对于填空中的第四题,既可根据n次方根的概念来解:

    也可根据n次方根的性质来解:

    问题1:观察,结果的指数与被开方数的指数,根指数有什么关系?

    ,即:当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式。

    问题2:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否可以写成分数指数幂的形式?如:是否可行?

    分析:假设幂的运算性质对于分数指数幂也适用,那么,这说明也是的3次方根,而也是a2的3次方根(由于这里n=3a2的3次方根唯一),于是。这说明可行。

    由此可有:

    1.正数的正分数指数幂的意义<板书>

    )

    注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。

    问题3:在上述定义中,若没有a>0这个限制,行不行?

    分析:正例:等等;

    反例:;又如:

    。这样就产生了混乱,因此a>0这个限制不可少。至于,这是正确的,但此时不能理解为分数指数幂,不能代表有理数(因为不能改写为,这只表示一种上标。而,那是因为,负号内部消化了。

    问题4:如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂?

    分析:正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿;0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。

    2.负分数指数幂:<板书>

    3.0的分数指数幂:(板书)

    0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义(为什么?)。

    说明:(1)分数指数幂的意义只是一种规定,前面所举的例子只表示这种规定的合理性;

    (2)规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数;

    (3)可以验证整数指数幂的运算性质,对于有理数幂也同样适用,即(板书)

     (4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算,也可利用来计算;反过来,根式也可化成分数指数幂来计算。

    (5)同样可规定

         ap表示一个确定的实数;

         上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用,有关念和证明从略;

         指数概念可以扩充到实数指数(为下一小节学习指数函数作铺垫)。

    (III)例题讲解(投影2)

    例2求值:

    分析:此题主要运用有理指数幂的运算性质。

    解:

    例3.用分数指数幂的形式表示下列各式:

    分析:此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。

    (IV)课堂练习

    课本P63练习:1、2、3、4

    (V)课时小结

    通过本节学习,要求大家理解分数指数幂的意义,掌握分数指数幂与根式的互化,熟练运用有理指数幂的运算性质。

    (V)课后作业

    1、书面作业:课本P69习题2.1A组题第2,3,4.

    2、预习作业

    (1)预习内容:课本P61例题5。

    (2)预习提纲:

    a.根式的运算如何进行?

    b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值,有哪些常用技巧?

     

    教学后记                  

     

     

     

     

     

     

    第三课时

    教学目标                 

    1.掌握根式与分数指数幂的互化;

    2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值;

    3.培养学生的数学应用意识。

    教学重点:有理指数幂运算性质运用。

    教学难点:化简、求值的技巧

    教学方法:启发引导式

    教学过程              

    (I)复习回顾

    1.分数指数幂的概念,以及有理指数幂的运算性质

    分数指数幂概念                        有理指数幂运算性质

                

              

             

    2.用分数指数幂表示下列各式(a>0,x>0)

                                         

    (II)讲授新课

    例1.计算下列各式(式中字母都是正数)

              

    分析:(1)题可以仿照单项式乘除法进行,首先是系数相乘除,然后是同底数幂相乘除,并且要注意符号。(2)题先按积的乘方计算,后按幂的乘方计算,等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求,可根据要求给出结果,但:

         结果不能同时含有根式和分数指数;不能同时含有分母和负指数;

    根式需化成最简根式。

    解:           

     例2.计算下列各式:

                        

    分析:(1)题把根式化成分数指数幂的形式,再计算。

    (2)题先把根式化成分数指数幂的最简形式,然后计算。

    解:

     

     

     

     

    例3.求值:

    分析:(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质;

    解:

    要求:例3学生先练习,后讲评,讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。

    (III)课堂练习

    计算下列各式:

    要求:学生板演练习,做完后老师讲评。

    (IV)课时小结

    通过本节学习,要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值,并掌握一定的解题技巧,如凑完全平方、寻求同底幂等方法。

    (V)课后作业

    第二教材有关题目

     

     

     

     

     

     

     

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