人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试随堂练习题

这是一份人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试随堂练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教版数学九年级下册第27章 相似测试卷
(考试时间：90分钟，赋分：100分)
姓名：________　　班级：________　　分数：________
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案










1.[淮北五校联考]如果a－ba＝35,那么ba的值是
A.13 B.23 C.25 D.35
2.如图,AB∥CD∥MN,点M,N分别在线段AD,BC上,AC与MN相交于点E.下列说法正确的是
A.DMAE＝CEAM B.AMCN＝BNDM C.DCME＝ABEN D.AEAM＝CEDM

第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
3.若一个多边形的各边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边长为24,则另一个多边形的最短边长为
A.6 B.8 C.10 D.12
4.如图,已知∠DAB＝∠CAE,那么添加下列一个条件后,仍然无法判定△ABC∽△ADE的是
A.ABAD＝ACDE B.ABAD＝ACAE C.∠B＝∠D D.∠C＝∠AED
5.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线BF分别与AC,AD交于点E,F.若AB＝4,AC＝5,BC＝6,则AE的长为
A.2 B.22 C.3 D.5－22
6.如图,在△ABC中,AB＝AC＝13,BC＝10,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E,则线段DE的长是
A.5 B.6013 C.5013 D.3013
7.如图,P是菱形ABCD对角线BD上的点,连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线于点F.若PC＝3,PE＝2,则EF的长为
A.2 B.2+1 C.52 D.22

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴上方,点C的坐标是(－1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,得到△A'B'C.若设点B的对应点B'的横坐标为2,则点B的横坐标为
A.－1 B.－32 C.－2 D.－52
9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,∠BED＝∠ABC.若∠BAC＝70°,则∠BEC的度数是
A.100° B.110° C.120° D.130°
10.在矩形ABCD中,AB＝6,AD＝9,E为线段AD上一点,且DE＝2AE,G是线段AB上的动点,EF⊥EG交BC所在直线于点F,连接GF,则GF的最小值是
A.3 B.6 C.62 D.35
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC＝3AD,AB＝3AE,F为BC边上一点.添加一个条件:　 　,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个) 

第11题图 第12题图 第13题图
12.已知三个边长分别为2 cm,3 cm,5 cm的正方形如图排列,则图中阴影部分的面积为　 　. 
13.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E是AB的中点,点P在射线DC上从D点出发以每秒1个单位长度的速度运动,过点P作PF⊥DE于点F,当运动时间为　 　秒时,以P,F,E为顶点的三角形与△AED相似. 
14.如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是________cm.

第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，A，B，C，D依次为一直线上四个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°，设AB＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为________．
16.[合肥瑶海区期末]如图,Q是△ABC内一点,且满足∠QAB＝∠QBC＝∠QCA＝∠α.
(1)如图1,当△ABC是等边三角形时,∠α＝　 　; 
(2)如图2,当△ABC是等腰直角三角形(其中∠ACB＝90°)时,△QAC,△QBA,△QCB的面积之比是　 　. 
三、解答题(第21题12分，其余每题10分，共52分)
17.如图,在△ABC中,∠A＝90°,正方形DEFG的边长是6 cm,且四个顶点都在△ABC的各边上,CE＝3 cm.
(1)求证:△BDG∽△FEC;
(2)求BC的长.





18.在△ABC中,E,F分别为线段AB,AC上的点(不与点A,B,C重合).
(1)如图1,若EF∥BC,求证:S△AEFS△ABC＝AEAB·AFAC.
(2)如图2,若EF不与BC平行,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.





19.如图,AC,AD是☉O的两条割线,AC与☉O相交于B,C两点,AD过圆心O且与☉O相交于E,D两点,OB平分∠AOC.
(1)求证:△ACD∽△ABO;
(2)过点E的切线交AC于点F,若EF∥OC,OC＝3,求EF的值.






20.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,BC＝2AD,E是BC的中点,连接AE,AC.
(1)F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图1),求证:△AOE∽△COF;
(2)若F是DC的中点,连接BD,交AE于点G(如图2),求证:四边形EFDG是菱形.









21.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC＝∠EDF＝90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图1,当点Q在线段AC上,且AP＝AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图2,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ,并求当BP＝2,CQ＝9时BC的长.




参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
C
D
B
A
A
B
C
D
B
D
1.[淮北五校联考]如果a－ba＝35,那么ba的值是
A.13 B.23 C.25 D.35
2.如图,AB∥CD∥MN,点M,N分别在线段AD,BC上,AC与MN相交于点E.下列说法正确的是
A.DMAE＝CEAM B.AMCN＝BNDM C.DCME＝ABEN D.AEAM＝CEDM

第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
3.若一个多边形的各边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边长为24,则另一个多边形的最短边长为
A.6 B.8 C.10 D.12
4.如图,已知∠DAB＝∠CAE,那么添加下列一个条件后,仍然无法判定△ABC∽△ADE的是
A.ABAD＝ACDE B.ABAD＝ACAE C.∠B＝∠D D.∠C＝∠AED
5.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线BF分别与AC,AD交于点E,F.若AB＝4,AC＝5,BC＝6,则AE的长为
A.2 B.22 C.3 D.5－22
6.如图,在△ABC中,AB＝AC＝13,BC＝10,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E,则线段DE的长是
A.5 B.6013 C.5013 D.3013
7.如图,P是菱形ABCD对角线BD上的点,连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线于点F.若PC＝3,PE＝2,则EF的长为
A.2 B.2+1 C.52 D.22

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴上方,点C的坐标是(－1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,得到△A'B'C.若设点B的对应点B'的横坐标为2,则点B的横坐标为
A.－1 B.－32 C.－2 D.－52
9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,∠BED＝∠ABC.若∠BAC＝70°,则∠BEC的度数是
A.100° B.110° C.120° D.130°
10.在矩形ABCD中,AB＝6,AD＝9,E为线段AD上一点,且DE＝2AE,G是线段AB上的动点,EF⊥EG交BC所在直线于点F,连接GF,则GF的最小值是
A.3 B.6 C.62 D.35
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC＝3AD,AB＝3AE,F为BC边上一点.添加一个条件:　DF∥AC(答案不唯一)　,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个) 

第11题图 第12题图 第13题图
12.已知三个边长分别为2 cm,3 cm,5 cm的正方形如图排列,则图中阴影部分的面积为　3.75 cm2　. 
13.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E是AB的中点,点P在射线DC上从D点出发以每秒1个单位长度的速度运动,过点P作PF⊥DE于点F,当运动时间为　1或52　秒时,以P,F,E为顶点的三角形与△AED相似. 
14.如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是________cm.
【答案】12　
【解析】由折叠的性质，得DF＝EF，设EF＝x cm，则AF＝(6－x) cm.∵点E是AB的中点，∴AE＝BE＝×6＝3(cm)．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE2＋AF2＝EF2，即32＋(6－x)2＝x2，解得x＝，
∴AF＝6－＝(cm)．∵∠FEG＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠BEG＝90°.又∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠BEG.又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BGE，∴＝＝，即＝＝，解得BG＝4 cm，EG＝5 cm，∴△EBG的周长是3＋4＋5＝12(cm)．

第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，A，B，C，D依次为一直线上四个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°，设AB＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为________．
【答案】y＝(x＞0)
16.[合肥瑶海区期末]如图,Q是△ABC内一点,且满足∠QAB＝∠QBC＝∠QCA＝∠α.
(1)如图1,当△ABC是等边三角形时,∠α＝　30°　; 
(2)如图2,当△ABC是等腰直角三角形(其中∠ACB＝90°)时,△QAC,△QBA,△QCB的面积之比是　1∶2∶2　. 
提示:(1)先证明△ACQ≌△BAQ≌△CBQ,从而得到∠QAB＝∠QBC＝∠QCA＝∠QAC＝∠QBA＝∠QCB,进而即可求解.(2)∵∠QAB+∠QAC＝45°,∠QAB＝∠QCA,∴∠QAC+∠QCA＝45°,∴∠AQC＝135°,
同理可得∠BQA＝135°,∴△QAC∽△QBA,∠BQC＝90°,
∴AQBQ＝CQAQ＝ACAB＝22,∴S△QAC∶S△QBA＝12.设AQ＝m,则BQ＝2m,CQ＝22m.
在Rt△QCB中,BQ2+CQ2＝BC2,即(2m)2+22m2＝BC2,∴BC＝102m,
∴S△QCB＝12·22m·2m＝12m2,S△QAC+S△QBA＝S△ABC-S△QCB＝12·102m2－12m2＝34m2,
∴S△QAC＝13×34m2＝14m2,S△QBA＝23×34m2＝12m2,∴S△QAC∶S△QBA∶S△QCB＝14m2∶12m2∶12m2＝1∶2∶2.
三、解答题(第21题12分，其余每题10分，共52分)
17.如图,在△ABC中,∠A＝90°,正方形DEFG的边长是6 cm,且四个顶点都在△ABC的各边上,CE＝3 cm.
(1)求证:△BDG∽△FEC;
(2)求BC的长.

解:(1)∵四边形EFGD是正方形,
∴DE＝EF＝DG＝6 cm,∠GDE＝∠DEF＝90°,
∴∠BDG＝∠CEF＝90°.
∵∠B+∠C＝90°,∠C+∠CFE＝90°,
∴∠B＝∠CFE,∴△BDG∽△FEC.
(2)由(1)知△BDG∽△FEC,∴BDEF＝DGCE.
∵EF＝DG＝6,CE＝3,
∴BD6＝63,解得BD＝12,
∴BC＝BD+DE+CE＝12+6+3＝21(cm).
18.在△ABC中,E,F分别为线段AB,AC上的点(不与点A,B,C重合).
(1)如图1,若EF∥BC,求证:S△AEFS△ABC＝AEAB·AFAC.
(2)如图2,若EF不与BC平行,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

解:(1)∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,
∴AEAB＝AFAC,∴S△AEFS△ABC＝AEAB2＝AEAB·AFAC.
(2)当EF不与BC平行时,(1)中的结论仍然成立.
理由:作CM⊥AB于点M,FN⊥AB于点N,则CM∥FN,
∴△ANF∽△AMC,∴FNCM＝AFAC,
∴S△AEFS△ABC＝12AE·FN12AB·CM＝AEAB·AFAC.
19.如图,AC,AD是☉O的两条割线,AC与☉O相交于B,C两点,AD过圆心O且与☉O相交于E,D两点,OB平分∠AOC.
(1)求证:△ACD∽△ABO;
(2)过点E的切线交AC于点F,若EF∥OC,OC＝3,求EF的值.

解:(1)∵OB平分∠AOC,∴∠BOA＝12∠AOC.
∵∠D＝12∠AOC,∴∠D＝∠BOA.
又∵∠A＝∠A,∴△ACD∽△ABO.
(2)∵EF切☉O于点E,∴∠OEF＝90°.
∵EF∥OC,∴∠DOC＝∠OEF＝90°.
∵OC＝OD＝3,∴CD＝OC2+OD2＝32.
∵△ACD∽△ABO,
∴ADAO＝CDBO,∴AE+6AE+3＝323,∴AE＝32.
∵EF∥OC,∴AEAO＝EFOC,∴3232+3＝EF3,
∴EF＝6－32.
20.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,BC＝2AD,E是BC的中点,连接AE,AC.
(1)F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图1),求证:△AOE∽△COF;
(2)若F是DC的中点,连接BD,交AE于点G(如图2),求证:四边形EFDG是菱形.

证明:(1)∵E是BC的中点,BC＝2AD,
∴EC＝BE＝12BC＝AD.
又∵AD∥BC,∴四边形AECD为平行四边形,
∴AE∥FC,∴△AOE∽△COF.
(2)连接DE.易得四边形ABED是矩形,
∴GE＝GA＝GB＝GD＝12BD＝12AE.
∵E,F分别是BC,CD的中点,∴EF,GE是△CBD的两条中位线,
∴EF＝12BD＝GD,GE＝12CD＝DF.
又∵GE＝GD,∴EF＝GD＝GE＝DF,∴四边形EFDG是菱形.
21.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC＝∠EDF＝90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图1,当点Q在线段AC上,且AP＝AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图2,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ,并求当BP＝2,CQ＝9时BC的长.

解:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B＝∠C＝45°,AB＝AC.
∵AP＝AQ,∴BP＝CQ.
∵E是BC的中点,∴BE＝CE,∴△BPE≌△CQE.
(2)∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°.
∵∠BEQ＝∠EQC+∠C,即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C,
∴∠BEP＝∠EQC,∴△BPE∽△CEQ,∴BPCE＝BECQ.
∵BP＝2,CQ＝9,BE＝CE,∴BE2＝18,∴BE＝CE＝32,
∴BC＝2BE＝62.