人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数巩固练习

28.1　锐角三角函数

第3课时　特殊角的三角函数值

一、选择题

1.sin 60°的值等于(      )

A. B.  C.  D.

2.若α为锐角,且满足2sin (α－10°)＝,则α等于(      )

A.50° B.60° C.70° D.80°

3.在△ABC中,若cos A＝,tan B＝,则这个三角形一定是(      )

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

4.如图,在△ABC中,∠C＝90°,cos A＝,则sin B＝(      )

A.  B.  C.  D.

5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是(　　)

A．tanA＝         B．sin2A＋cos2A＝1

C．sin2A＋sin2B＝1      D．tanA·tanB＝1

6.如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，则sin ∠AEB的值为(    )

A．    B．    C．    D．

7.在△ABC中，sin B＝cos(90°－C)＝，那么△ABC是(    )

A．等腰三角形    B．等边三角形   C．直角三角形    D．等腰直角三角形

8.已知在△ABC中，AB＝，BC＝tan 45°，AC＝2sin 60°，则cos A的值为(　　)

A.     B.     C.     D.

9.【2021·泸州】在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R(其中R为△ABC的外接圆半径)成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为(　　)

A.      B.     C．16π     D．64π

10.点(－sin 60°,cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是(      )

A.  B. C. D.

11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,BC=1,延长CA到点D,使AD=AB,连接BD,利用此图解释的三角函数值中错误的是(　　)

A.tan30°=　　  B.tan60°=　  C.tan15°=1+　　 D.tan75°=2+

【变式训练】类比上题的方法，计算tan22.5°的值为(　　)

A.＋1  B.－1  C.  D.

12.已知在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝,则方程tan Ax2－2x+tan B＝0的根为(      )

A.x1＝,x2＝3  B.x1＝,x2＝  C.x1＝x2＝  D.x1＝,x2＝1

二、填空题

13.特殊角的三角函数值：

sin30°＝______，sin45°＝______，sin60°＝______；cos30°＝______，cos45°＝______，cos60°＝______；tan30°＝______，tan45°＝______，tan60°＝______．

14.若锐角x满足tan2 x－(+1)tan x+＝0,则x＝　       　. 

15.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若cosA＝，sinB＝，则∠C＝________．

16.已知α，β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝_________．

17.【中考·贵港】计算：＋(＋π)0－－2cos60°＝________．

18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AD⊥BC,垂足为D.给出下列四个结论:①sin α＝sin B;②sin β＝sin C;③sin B＝cos C;④sin α＝cos β.其中正确的结论有　     　.(填写序号即可) 

三、解答题

19.计算:3tan 30°－2tan 45°·cos 30°+4cos 60°.

20.在△ABC中,如果∠A,∠B满足|tan A－1|+＝0,求∠C的度数.

21.已知α,β为锐角,且sin(90°－α)＝,sin β＝,求的值.

22.在△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且有c2+4b2－4bc＝0,求sin A+cos A的值.

23.观察下列等式:

①sin 30°＝,cos 60°＝;

②sin 45°＝,cos 45°＝;

③sin 60°＝,cos 30°＝.

(1)根据上述规律,计算sin2α+sin2(90°－α)＝　  　; 

(2)计算:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°.

24.对于钝角α,定义它的三角函数值如下:

sin α＝sin(180°－α),cos α＝－cos(180°－α).

(1)求sin 120°,cos 120°,sin 150°的值;

(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4,A,B是这个三角形的两个顶点,sin A,cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A,∠B的大小.

参考答案

一、选择题

1.sin 60°的值等于(   D   )

A. B.  C.  D.

2.若α为锐角,且满足2sin (α－10°)＝,则α等于(   C   )

A.50° B.60° C.70° D.80°

3.在△ABC中,若cos A＝,tan B＝,则这个三角形一定是(   C   )

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

4.如图,在△ABC中,∠C＝90°,cos A＝,则sin B＝(   A   )

A.  B.  C.  D.

5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是(　A　)

A．tanA＝         B．sin2A＋cos2A＝1

C．sin2A＋sin2B＝1      D．tanA·tanB＝1

6.如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，则sin ∠AEB的值为(  D  )

A．    B．    C．    D．

7.在△ABC中，sin B＝cos(90°－C)＝，那么△ABC是(  A  )

A．等腰三角形    B．等边三角形   C．直角三角形    D．等腰直角三角形

8.已知在△ABC中，AB＝，BC＝tan 45°，AC＝2sin 60°，则cos A的值为(　B　)

A.     B.     C.     D.

9.【2021·泸州】在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R(其中R为△ABC的外接圆半径)成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为(　　)

A.      B.     C．16π     D．64π

【点拨】∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－75°－45°＝60°.

∵＝2R，∴2R＝＝＝.

∴R＝. ∴S＝πR2＝π·＝π.

【答案】A

10.点(－sin 60°,cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是(   A   )

A.  B. C. D.

11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,BC=1,延长CA到点D,使AD=AB,连接BD,利用此图解释的三角函数值中错误的是(　　)

A.tan30°=　　  B.tan60°=　  C.tan15°=1+　　 D.tan75°=2+

【答案】C　

【解析】在Rt△ABC中,由∠BAC=30°,BC=1,得AB=2,由勾股定理得AC=,所以tan∠BAC=tan 30°==, tan∠ABC=tan 60°==,所以选项A,B中的式子都正确.因为AD=AB=2,所以∠DBA=∠D=∠BAC=15°.在Rt△BCD中,tan∠BDC=tan 15°===2-,tan∠DBC=tan75°===2+,所以选项C中的式子错误,选项D中的式子正确.

【变式训练】类比上题的方法，计算tan22.5°的值为(　B　)

A.＋1  B.－1  C.  D.

【点拨】如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.

设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，

∴tan22.5°＝＝＝－1.

12.已知在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝,则方程tan Ax2－2x+tan B＝0的根为(   C   )

A.x1＝,x2＝3  B.x1＝,x2＝  C.x1＝x2＝  D.x1＝,x2＝1

二、填空题

13.特殊角的三角函数值：

sin 30°＝______，sin 45°＝______，sin 60°＝______；

【答案】   

cos 30°＝______，cos 45°＝______，cos 60°＝______；

【答案】   

tan 30°＝______，tan 45°＝______，tan 60°＝______．

【答案】  1 

14.若锐角x满足tan2 x－(+1)tan x+＝0,则x＝　45°或60°　. 

15.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若cosA＝，sinB＝，则∠C＝________．

【答案】120°

16.已知α，β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝_________．

【答案】75°

17.【中考·贵港】计算：＋(＋π)0－－2cos60°＝________．

【答案】－1

18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AD⊥BC,垂足为D.给出下列四个结论:①sin α＝sin B;②sin β＝sin C;③sin B＝cos C;④sin α＝cos β.其中正确的结论有　①②③④　.(填写序号即可) 

三、解答题

19.计算:3tan 30°－2tan 45°·cos 30°+4cos 60°.

解:原式＝3×+2＝2.

20.在△ABC中,如果∠A,∠B满足|tan A－1|+＝0,求∠C的度数.

解:由题意,得tan A－1＝0,cos B－＝0,

∴tan A＝1,cos B＝,∴∠A＝45°,∠B＝60°,

∴∠C＝75°.

21.已知α,β为锐角,且sin(90°－α)＝,sin β＝,求的值.

解:由题意得cos (90°－β)＝sin β＝.

22.在△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且有c2+4b2－4bc＝0,求sin A+cos A的值.

解:∵c2+4b2－4bc＝0,

∴(c－2b)2＝0,∴c＝2b,即在直角三角形中,,

∴sin A+cos A＝.

23.观察下列等式:

①sin 30°＝,cos 60°＝;

②sin 45°＝,cos 45°＝;

③sin 60°＝,cos 30°＝.

(1)根据上述规律,计算sin2α+sin2(90°－α)＝　1　; 

(2)计算:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°.

解:(2)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°

＝(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+sin245°

＝1+1+…+1+

＝44+

＝.

24.对于钝角α,定义它的三角函数值如下:

sin α＝sin(180°－α),cos α＝－cos(180°－α).

(1)求sin 120°,cos 120°,sin 150°的值;

(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4,A,B是这个三角形的两个顶点,sin A,cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A,∠B的大小.

解:(1)由题意得sin 120°＝sin(180°－120°)＝sin 60°＝,

cos 120°＝－cos(180°－120°)＝－cos 60°＝－,

sin 150°＝sin(180°－150°)＝sin 30°＝.

(2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4,

∴三个内角分别为30°,30°,120°.

①当∠A＝30°,∠B＝120°时,方程的两根为,

将x＝－1＝0,解得m＝0,

经检验,－是方程4x2－1＝0的根,

∴m＝0符合题意;

②当∠A＝120°,∠B＝30°时,方程的两根为,不符合题意;

③当∠A＝30°,∠B＝30°时,方程的两根为,

将x＝－1＝0,

解得m＝0,

经检验,不是方程4x2－1＝0的根,不符合题意.

综上可知m＝0,∠A＝30°,∠B＝120°.