高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课堂检测

单元疑难突破练(四)

(60分钟　100分)

一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为(　　)

A．圆    B．椭圆    C．双曲线    D．抛物线

【解析】选A.延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A，如图所示，

则△APF1是等腰三角形，所以|PF1|＝|AP|，从而|AF2|＝|AP|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.由题意知O是F1F2的中点，Q是AF1的中点，连接OQ，则|OQ|＝|AF2|＝a.所以Q点的轨迹是以原点O为圆心，半径为a的圆．

2．抛物线y＝x2的焦点坐标是(　　)

A．    B．(1，0)

C．   D．(0，1)

【解析】选D.方程y＝x2化为标准方程为x2＝4y，其焦点在y轴正半轴上，且＝1，所以焦点坐标为(0，1).

3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为(　　)

A．＋＝1　　　　　　   B．＋＝1

C．＋＝1或＋＝1    D．＋＝1

【解析】选C.2c＝6，所以c＝3，

所以2a＋2b＝18，a2＝b2＋c2，

所以

所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

4．已知椭圆＋＝1的右焦点是双曲线－＝1的右顶点，则双曲线的渐近线为(　　)

A．y＝±x    B．y＝±x

C．y＝±x    D．y＝±x

【解析】选C.由已知得双曲线的右顶点是(4，0)，

所以a2＝16.

所以双曲线的渐近线为y＝±x.

5．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　)

A．1　　　　B．0　　　　C．－2　　　　D．－

【解析】选C.设点P(x0，y0)，则x－＝1，

由题意得A1(－1，0)，F2(2，0)，

则·＝(－1－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x－x0－2＋y，由双曲线方程得y＝3(x－1)，

故PA1·PF2＝4x－x0－5(x0≥1)，可得当x0＝1时，·有最小值－2.

6．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c，0)，若F到直线2bx－ay＝0的距离为c，则E的离心率为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选A.由F到直线2bx－ay＝0的距离为c，得直线2bx－ay＝0的倾斜角为45°，

所以＝1，即4(a2－c2)＝a2，解得e＝.

二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

7．给定下列四条曲线中，与直线x＋y－＝0仅有一个公共点的曲线是(　　)

A．x2＋y2＝    B．＋＝1

C．－＝1   D．y2＝－4x

【解析】选ACD.A中，圆心到直线的距离d＝＝r.故直线与圆相切，仅有一个公共点，所以A满足题意；B中，由得13x2－18x＋9＝0，Δ＞0，所以直线与椭圆相交，有两个交点，所以B不满足题意；C中，由于直线平行于双曲线的渐近线，故只有一个交点，所以C满足题意；D中，由得x2＋2x＋5＝0，这里Δ＝0.故直线与抛物线相切．所以D满足题意．

8．已知F1，F2是双曲线C：－＝1的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1F2为直径的圆经过点M，则下列说法正确的是(　　)

A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x

B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2

C．点M的横坐标为±

D．△MF1F2的面积为2

【解析】选ACD.由双曲线方程－＝1，知a＝2，b＝，焦点在y轴，渐近线方程为y＝±x＝±x，A正确；c＝＝，以F1F2为直径的圆的方程是x2＋y2＝6，B错；

由，得或，由对称性知M点横坐标是±，C正确；S△MF1F2＝|F1F2||xM|＝×2×＝2，D正确．

三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把正确的答案填在题中的横线上

9．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则由消去y，

得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝，

不妨令A(0，－1)，B.

又F1(－1，0)，所以|F1A|＋|F1B|＝＋＝.

答案：

10．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．

【解析】由于x2＝2py(p＞0)的准线为y＝－，

由

解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为

，，

所以|AB|＝2.

由△ABF为等边三角形，得|AB|＝p，解得p＝6.

答案：6

11．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.

【解析】因为·＝0，

所以点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，其方程为x2＋y2＝c2.

由题意知，椭圆上的点在该圆的外部，

设椭圆上任意一点P(x，y)，则|OP|min＝b，

所以c<b，即c2<a2－c2，解得e2<.

因为0<e<1，所以0<e<.

答案：

12．已知A，B是抛物线x2＝4y上的两点，线段AB的中点为M(2，2)，则|AB|等于________．

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则两式相减，得x－x＝4(y1－y2)，

所以＝＝1，

所以直线AB方程是y－2＝x－2，即y＝x.

由得或

所以|AB|＝4.

答案：4

13．焦点为F的抛物线C：y2＝4x的准线与坐标轴交于点A，点P在抛物线C上，则的最大值为________．

【解析】根据题意，过P作PM与准线垂直，垂足为M，如图：

设∠MPA＝∠PAF＝θ，则＝＝，若取得最大值，必有cos θ取得最小值，

则θ取得最大值，此时AP与抛物线相切，设直线AP的方程为y＝k(x＋1)，联立，

消去y，得k2(x＋1)2＝4x，即x2＋x＋1＝0，由Δ＝－4＝0，解得k＝1或k＝－1(舍去)，由k＝tan θ＝1，0≤θ<π，知θ＝，所以的最大值为＝.

答案：

14．已知A，B，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是________．若点F为轨迹C的焦点，P是直线l：y＝－1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且＝3，则|QF|＝________．

【解析】设M(x，y)，因为A，B，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，所以kAM－kBM＝－＝，

整理，得点M的轨迹C的方程是x2＝4y(x≠±1).

因为点F为轨迹C的焦点，所以F(0，1)，

P是直线l：y＝－1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且＝3，

作QG⊥y轴于G点，作PN⊥y轴于N点，则＝，

所以MF＝，所以Q，

所以|QF|＝＝.

答案：x2＝4y(x≠±1)　

四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．

15．(10分)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．

(1)求椭圆C2的方程；

(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．

【解析】(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞2)，其离心率为，故＝，则a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.

(2)方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx，将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝.将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝.

又由＝2得x＝4x，

即＝，解得k＝±1，

故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.

方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝.由＝2得x＝，y＝，将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.

16．(10分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A(4，m)到焦点的距离为6.

(1)求此抛物线的方程；

(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．

【解析】(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，p≠0，其准线方程为x＝－，

因为A(4，m)到焦点的距离等于A到其准线的距离，

所以4＋＝6，所以p＝4，

所以此抛物线的方程为y2＝8x.

(2)由消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，

因为直线y＝kx－2与抛物线相交于不同两点A，B，

则有，解得k＞－1且k≠0，

由x1＋x2＝＝4，

解得k＝2或k＝－1(舍去)，

所以所求k的值为2.

17．(10分)已知椭圆E：＋＝1，过Q(－4，0)的直线l与椭圆E相交于A，B两点，且与y轴相交于P点．

(1)求＝，求直线l的方程；

(2)设A关于x轴的对称点为C，证明：直线BC过x轴上的定点．

【解析】(1)由条件可知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝k(x＋4)，A(xA，yA)

则P(0，4k)，由＝，有(xA，yA－4k)＝(－4－xA，－yA)，所以xA＝－，yA＝，

由A在椭圆E上，

则＋＝1，

解得k＝±，

此时P在椭圆E内部，

所以满足直线l与椭圆相交，故所求直线l方程为y＝x＋或y＝－x－.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，－y1)，直线BC的方程为(y1＋y2)x＋(x1－x2)y－(x2y1＋x1y2)＝0.

由，

得(1＋3k2)x2＋24k2x＋48k2－6＝0，

由Δ＝(24k2)2－4(1＋3k2)(48k2－6)>0，

解得k2<，x1＋x2＝－，x1x2＝，

当y＝0时，x＝＝＝＝＝＝－，故直线BC恒过定点.