高中数学3.1 椭圆学案

第三章圆锥曲线的方程

3.1　椭圆

3.1.2　椭圆的简单几何性质

课后篇巩固提升

基础达标练

1.若椭圆=1(a>)的长轴长为6,则它的焦距为 (　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

解析椭圆=1(a>)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,

则它的焦距为2c=4,故选A.

答案A

2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则椭圆的离心率为(　　)

A. B. C. D.

解析因为2x2+3y2=m(m>0),所以=1.

所以c2=.故e2=,解得e=.

答案B

3.焦点在x轴上,长、短半轴之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

解析由题意得c=2,a+b=10,

所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,

解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为=1.

答案A

4.阿基米德(公元前287年~公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上,且椭圆C的离心率为,面积为12π,则椭圆C的方程为(　　)

A.=1 

B.=1

C.=1 

D.=1

解析由题意可得,解得a=4,b=3,因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆方程为=1.

答案D

5.(多选题)已知椭圆=1的离心率e=,则k的值可能是(　　)

A.-4 B.4 C.- D.

解析(1)当焦点在x轴上,即当k+8>9,即k>1时,由椭圆的标准方程得a=,b=3,则c=,

所以椭圆的离心率e=,解得k=4.

(2)当焦点在y轴上,即当0<k+8<9,即-8<k<1时,由椭圆的标准方程得b=,a=3,

则c=,

所以椭圆的离心率e=,解得k=-.

答案BC

6.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m km,远地点B距离地面n km,地球半径为k km,则飞船运行轨道的短轴长为(　　)

A.2 B.

C.mn D.2mn

解析由题意可得a-c=m+k,a+c=n+k,

故(a-c)(a+c)=(m+k)(n+k),

即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),

所以b=.

所以椭圆的短轴长为2.

答案A

7.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(　　)

A. B. C. D.

解析不妨设椭圆方程为=1,

则可设直线l=1,依题意,有

,即4=b2,

∴=3,=3,∴e=.

答案B

8.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e≤,则长轴长的取值范围为　　　　　　　　. 

解析因为b=1,所以c2=a2-1.

又=1-,

所以,即a2≤4.又a2-1>0,所以a2>1,

故1<a≤2,长轴长2<2a≤4.

答案(2,4]

9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个顶点恰组成一个正三角形的三顶点,且椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,则椭圆C的方程为　　　　　. 

解析因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰组成一个正三角形的三顶点,

所以有tan 60°=⇒b=c.又因为椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,

所以有a-c=,而a2=b2+c2,三个等式联立得,

所以椭圆的标准方程为=1.

答案=1

10.已知椭圆=1,在该椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).

假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等,

设M(x,y)(-2≤x≤2),

则=|x-4|,

两边平方得y2=-6x+15.

又由=1,得y2=3,

代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,解得x=4.

因为-2≤x≤2,

所以符合条件的点M不存在.

能力提升练

1.(多选题)设椭圆=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=120°,则椭圆的离心率e可以是(　　)

A. B. C. D.

解析当P是椭圆的上下顶点时,∠F1PF2最大,

∴120°≤∠F1PF2<180°,∴60°≤∠F1PO<90°,

∴sin 60°≤sin∠F1PO<sin 90°,

∵|F1P|=a,|F1O|=c,∴<1,

则椭圆的离心率e的取值范围为,

在这一范围内的有BD.

答案BD

2.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是(　　)

A.[6,10] B.[6,8]

C.[8,10] D.[16,20]

解析不妨设椭圆的焦点在x轴上,

由题意知a=10,b=8,设椭圆上的点M(x0,y0),

由椭圆的范围知,|x0|≤a=10,|y0|≤b=8,

点M到椭圆中心的距离d=.

又因为=1,所以=64=64-,

则d=.

因为0≤≤100,

所以64≤+64≤100,所以8≤d≤10.

答案C

3.已知椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为 (　　)

A. B.2 C. D.3

解析由题意可得:e2=,据此可得:a2=5,

椭圆方程为+x2=1,设椭圆上点的坐标为P(x0,y0),则=5(1-),

故|PB|=,

当x0=时,|PB|max=.

答案C

4.已知点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为(　　)

A. B. 

C. D.

解析点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,可得=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,

则|OM|==3,

当且仅当a2=2b2时,等号成立,此时由解得a2=6,b2=3.

所以e=.故选C.

答案C

5.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为　　　　　. 

解析由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积有最大值,即bc=2.

∴a2=b2+c2≥2bc=4,

∴a≥2,当且仅当b=c=时等号成立.

∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4,

故答案为4.

答案4

6.如图,把椭圆=4的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=　　　　　. 

解析根据题意,把椭圆=4的长轴AB分成8等份,设另一焦点为F2,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P1F|+|P7F|=|P7F2|+|P7F|=2a,同理,其余两对的和也是2a.又|P4F|=a,

∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=28.

答案28

7.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且=c2,求椭圆离心率的取值范围.

解设P(x0,y0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),

所以=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=-c2+.

因为P(x0,y0)在椭圆上,所以=1.

所以=b2,

所以-c2+b2=c2,

解得.

因为x0∈[-a,a],所以∈[0,a2],

即0≤≤a2,所以2c2≤a2≤3c2.

即,所以,

即椭圆离心率的取值范围是.

素养培优练

　椭圆=1(a>b>0)上有一点P,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆内一点Q在线段PF2的延长线上,且QF1⊥QP,sin ∠F1PQ=,则该椭圆离心率的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

解析∵QF1⊥QP,∴点Q在以F1F2为直径,原点为圆心的圆上,∵点Q在椭圆的内部,

∴以F1F2为直径的圆在椭圆内,∴c<b.

∴c2<a2-c2,∴e2<,故0<e<.

∵sin ∠F1PQ=,∴cos ∠F1PQ=.

设|PF1|=m,|PF2|=n,

则|PF1|+|PF2|=m+n=2a,在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=m2+n2-2mn·.

∴4c2=(m+n)2-2mn-2mn·,

即4c2=4a2-mn,∴mn=(a2-c2).

由基本不等式得mn≤=a2,

当且仅当m=n时取等号,

由题意知QF1⊥QP,∴m≠n,∴mn<=a2,∴(a2-c2)<a2,∴a2<26c2.

故e2>,∴e>,综上可得<e<.

答案D