高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词教学设计及反思

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）》

专题05全称量词与存在量词（讲）

1．全称量词与全称命题

(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．

(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)．

(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．

3．存在量词与特称命题

(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．

(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)．

(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．

4．命题的否定

(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称命题的否定是特称命题．

(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，特称命题的否定是全称命题．

5．常见的命题的否定形式有：

1．命题“对任意，都有”的否定是（    ）

A．对任意，都有 B．对任意，都有

C．存在，使得 D．存在，使得

【答案】D

【解析】

解：命题“对任意，都有”的否定是存在，使得.

故选：D.
2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是    （   ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】

命题“有些实数的绝对值是正数”的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”，所以正确选项为C.
3．下列命题含有全称量词的是        （   )

A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数

C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数

【答案】B

【解析】

 “某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程有实数解”即“存在实数，使”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.
4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（    ）

A．斜三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数，使

C．任一无理数的平方必是无理数

D．存在一个负数，使

【答案】B

【解析】

选项A，C中的命题是全称命题,选项D中的命题是特称命题，但是假命题．只有B既是特称命题又是真命题,选B.
5．若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

由题得，原命题的否命题是“，使”，

即，解得．选B.

重要考点一：全称命题与特称命题的判定

【典型例题】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．

(1)对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解．

(2)存在实数x，使得 .

【答案】（1）假命题； （2）假命题.

【解析】

 (1)该命题是全称命题．

当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题．

(2)该命题是特称命题．

∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴.

故该命题是假命题．

【题型强化】把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:

(1)勾股定理;

(2)三角形内角和定理.

【答案】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和;

(2)所有三角形的内角和都是180°.

【解析】

(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；

(2)所有三角形的内角和都是180°.

【收官验收】用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：

(1)任意实数的平方大于或等于0；

(2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称；

(3)存在整数x，y，使得；

(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.

【答案】(1).真命题；

(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题；

(3)假命题；

(4)，真命题.

【解析】

 (1)，是真命题；

(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题，；

(3)假命题,因为必为偶数；

(4).真命题,例如.

【名师点睛】

1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：

(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．

(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．

2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．

3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．

重要考点二：全称命题与特称命题的真假判断

【典型例题】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：

（1）任意实数都存在倒数；

（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等；

（3）是三角形的内角和是.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）存在一个实数不存在倒数，例如:实数,故此命题为真命题；

（2）所有平行四边形的对角线相等，例如：边长为1,一个内角为的菱形,其对角线分别为,故此命题为假命题；

（3）是三角形的内角和不是，由三角形的内角和定理知,任意三角形内角和均为,故此命题为假命题.

【题型强化】判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；

（2）至少有一个整数n，使得为奇数；（3）是无理数}，是无理数.

【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题

【解析】

（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；

（2）假命题，因为若为整数，则必为偶数；

（3）真命题，因为是无理数，是无理数.

【收官验收】判断下列全称量词命题的真假：

（1）每个四边形的内角和都是360°；

（2）任何实数都有算术平方根；

（3）是无理数}，是无理数.

【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题

【解析】

（1）真命题.

连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，

而一个三角形的内角和180°，

所以四边形的内角和都是360°是真命题；

（2）假命题.

因为负数没有算术平方根，

所以任何实数都有算术平方根是假命题；

（3）假命题，

因为是无理数，是有理数，

所以是无理数}，是无理数是假命题.

【名师点睛】

1.全称命题的真假判断

要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．

2．特称命题的真假判断

要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．

重要考点三：利用全称命题和特称命题的真假求参数范围

【典型例题】若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（    ）.

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解析】

命题“”是真命题，则需满足，解得或.

故选：B.

【题型强化】若“R，”是真命题，则实数的取值范围是____．

【答案】

【解析】

若“∃x∈R，x2+2x﹣a＜0”是真命题，

则△＞0，即4+4a＞0，

解得a＞﹣1．

故答案为

【收官验收】已知命题，，，.若p与q均为假命题，求实数a的取值范围.

【答案】

【解析】

，，

，，

，，

，.

因为p与q均为假命题，

所以与都是真命题.

由为真命题得或，故.

由为真命题得或，故

.解得.

故实数a的取值范围是.

重要考点四：全称命题、特称命题的否定

【典型例题】命题“，”的否定是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

命题“，”的否定是: ,

故选B

【题型强化】命题：，的否定是______．

【答案】

【解析】

根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“，”的否定是“”.

【收官验收】写出下列命题的否定：（1）分数是有理数；（2）三角形的内角和是180°.

【答案】（1）存在一个分数不是有理数；（2）有些三角形的内角和不是180°.

【解析】

（1）原命题省略了全称量词“所有"，

所以该命题的否定：存在一个分数不是有理数.

（2）原命题省略了全称量词“任何一个”，

所以该命题的否定：有些三角形的内角和不是180°.

【名师点睛】

1.一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．

2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．

重要考点五：利用全称命题与特称命题求参数的取值范围

【典型例题】已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”的否定为假命题，试求实数a的取值范围．

【答案】

【解析】

由题意知，命题p为真命题，即在上有解，

令，所以，又因为最大值在或时取到，

∴只需或时，即可，

∴或，解得或，

即．

故实数a的取值范围为．

【题型强化】若命题“，一次函数的图象在轴上方”为真命题，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】

当时，．

因为一次函数的图象在轴上方，所以，即，

所以实数的取值范围是．

故得解.

【收官验收】已知命题存在实数，使成立.

（1）若命题P为真命题，求实数a的取值范围；

（2）命题任意实数，使恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

解：（1）存在实数，使成立或，

实数a的取值范围为；

（2）任意实数，使恒成立，，，，

由题p，q都是假命题，那它们的补集取交集，实数a的取值范围.

【名师点睛】

(1)利用全称命题、特称命题求参数的取值范围或值是一类综合性较强、难度较大的问题．主要考查两种命题的定义及其否定.

(2)全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想)．