人教版新课标A必修41.5 函数y=Asin（ωx+ψ）课时训练

1.5　函数y=Asin(ωx+φ)的图象

第1课时　画函数y=Asin(ωx+φ)的图象

课时过关·能力提升

基础巩固

1.将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,所得图象的解析式为(　　)

A.y=sin 2x+ B.y=sin

C.y=sin D.y=sin 2x+

解析:将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数是y=sin 2=sin,故选B.

答案:B

2.把函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数是(　　)

A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数

C.奇函数 D.偶函数

解析:y=sin的图象向右平移个单位长度得到y=sin=sin=-cos 2x的图象,y=-cos 2x是偶函数.

答案:D

3.为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=sin 2x的图象(　　)

A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

解析:y=sin=sin 2,则将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得函数y=sin 2,即y=sin的图象.

答案:A

4.设g(x)的图象是将函数f(x)=cos 2x的图象向左平移个单位长度得到的,则g等于(　　)

A. B.- C. D.-1

解析:因为f(x)=cos 2x的图象向左平移个单位长度得到y=cos 2的图象,所以g(x)=cos,因此g=cos=-1,故选D.

答案:D

5.用“五点法”画函数y=2sin(ω>0)在一个周期内的简图时,五个关键点是                     ,则ω=　　　　　. 

解析:周期T==π,∴=π,∴ω=2.

答案:2

6.把函数y=2sin的图象上的所有点向右平移个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象对应的一个解析式为　　　　　. 

解析:把函数y=2sin的图象上的所有点向右平移个单位长度,

得函数y=2sin=2sin的图象,

再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=2sin的图象,

即y=2sin.

答案:y=2sin

7.用“五点法”画y=4sin在一个周期内的简图时,所描的五个点分别是                             ,(π,0),,　　　　　. 

解析:令x+=2π,则x=,即最后一个关键点是.

答案:

8.把函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,则得到的图象对应函数的解析式是　　　　　. 

解析:函数y=3sin的图象向右平移个单位长度得函数y=3sin=3sin 2x的图象,再向下平移1个单位长度得y=3sin 2x-1的图象.

答案:y=3sin 2x-1

9.已知函数f(x)=3sin,x∈R.

(1)列表并画出函数f(x)在一个周期内的简图;

(2)将函数y=sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?

解:(1)函数f(x)的周期T==4π.由x-=0,,π,,2π,解得x=.

列表如下:

描出五个关键点并光滑连线,得到一个周期内的简图.图象如下:

(2)先把y=sin x的图象向右平移个单位长度,再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),最后把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),得到f(x)的图象.(答案不唯一)

10.函数y=5sin+1的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到?

解:(答案不唯一)将函数y=sin x的图象依次进行如下变换:

①把函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象;

②把函数y=sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin的图象;

③把函数y=sin的图象上各点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变),

得到函数y=5sin的图象;

④把函数y=5sin的图象向上平移1个单位长度,得到函数y=5sin+1的图象.

经过上述变换,就得到函数y=5sin+1的图象.

能力提升

1.用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,x5,且x1+x5=,则x2+x4等于(　　)

A. B.π C. D.2π

答案:C

2.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:

则(　　)

A.A=0,ω=,φ=0 B.A=2,ω=3,φ=

C.A=2,ω=3,φ=- D.A=1,ω=2,φ=-

解析:由表格得A=2,,

∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ.

当x=时,3x+φ=+φ=0,∴φ=-.

答案:C

3.为得到函数y=cos的图象,只需将函数y=sin 2x的图象(　　)

A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度

解析:y=cos=cos=-sin2x-.

∵-sin=sin=sin,

∴y=cos=sin=sin 2.

由图象平移的规则可知,只需将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度就可以得到函数y=cos的图象,故选B.

答案:B

4.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是(　　)

解析:当a=0时,f(x)=1,此时函数f(x)的图象是C项;当a≠0时,周期T=,若|a|>1,则T<2π,此时函数f(x)的最大值1+|a|>1+1=2,此时函数f(x)的图象可能是B项;若|a|<1,则T>2π,此时函数f(x)的最大值1+|a|<1+1=2,此时函数f(x)的图象可能是A项;若|a|=1,则周期T=2π;所以函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是D项.

答案:D

5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且其图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为奇函数,则函数f(x)的图象(　　)

A.关于点对称 B.关于直线x=对称

C.关于点对称 D.关于直线x=对称

解析:∵T=π,∴ω=2.∴f(x)=sin(2x+φ).

由图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为奇函数知,

y=sin是奇函数,

∴φ+=kπ,k∈Z.

∴φ=kπ-,k∈Z.

∵|φ|<,∴φ=-.

∴f(x)=sin.

令2x-=kπ+,k∈Z,

∴x=,k∈Z.故选B.

答案:B

6.★将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再向上平移1个单位长度得函数y=2sin的图象,则f(x)=　　　　　　　　　　. 

解析:将y=2sin的图象向左平移个单位长度,得函数y=2sin=2sin的图象,再向下平移1个单位长度,得函数y=2sin-1的图象,即f(x)=2sin-1.

答案:2sin-1

7.用“五点法”画出函数y=sin在一个周期内的图象.

解:列表:

描点,连线,其图象如图.

8.★已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0.

(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围;

(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R,且a<b)满足y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.

解:(1)因为ω>0,根据题意有

解得0<ω≤.所以ω的取值范围为.

(2)由题意知f(x)=2sin 2x,

g(x)=2sin+1=2sin+1.

由g(x)=0,得sin=-,

解得x=kπ-或x=kπ-,k∈Z,

即g(x)的零点相离间隔依次为.

故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为14×+15×.