高中数学1.6 三角函数模型的简单应用一课一练

1.6　三角函数模型的简单应用

课时过关·能力提升

基础巩固

1.已知正弦函数在一个周期内的图象如图,则它的解析式应为(　　)

A.y=sin

B.y=sin

C.y=sin

D.y=sin

答案:A

2.一种波的波形为函数y=-sin x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

解析:函数y=-sin x的周期T=4,当x=3时,y=1取得最大值,因此t≥7.故选C.

答案:C

3.设y=f(t)是某港口水的深度y(单位:m)关于时间t(单位:h)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t与水深y的关系:

经长期观测,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=Asin(ωt+φ)+k的图象.下面的函数中,最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(　　)

A.y=12+3sint,t∈[0,24]

B.y=12+3sin,t∈[0,24]

C.y=12+3sint,t∈[0,24]

D.y=12+3sin,t∈[0,24]

解析:由已知数据,易得y=f(t)的周期T=12.

∴ω=.

由已知易得振幅A=3,k=12,又t=0时,y=12,

∴令×0+φ=0得φ=0,

故y=12+3sint,t∈[0,24].故选A.

答案:A

4.已知电流强度I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系式是I=5sin,则当t= s时,电流强度I为(　　)

A.5 A B.2.5 A C.2 A D.-5 A

解析:当t=时,I=5sin=5sin=5cos =2.5(A).

答案:B

5.如图为某简谐运动的图象,这个简谐运动需要　　　s往复一次. 

解析:由图象知周期T=0.8-0=0.8,则这个简谐运动需要0.8 s往复一次.

答案:0.8

6.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数解析式为s=6sin,则单摆来回摆动一次所需的时间为　　　　　s. 

解析:单摆来回摆动一次所用的时间为一个周期,

即T==1(s).

答案:1

7.如图,某地夏天从8~14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.

(1)这一天的最大用电量为　　　　　万千瓦时,最小用电量为　　　　　万千瓦时; 

(2)这段曲线的函数解析式为　                                     . 

解析:(1)由图象得最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.

(2)观察图象可知,从8~14时的图象是y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,

∴A=×(50-30)=10,b=×(50+30)=40,

∵=14-8,∴ω=,

∴y=10sin+40.

将x=8,y=30代入上式,解得φ=,∴所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].

答案:(1)50　30　(2)y=10sin+40,x∈[8,14]

8.据市场调查,某种商品一年内每月的价格满足函数关系式:f(x)=Asin(ωx+φ)+B,x为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高,为9万元,7月份该商品的价格首次达到最低,为5万元.

(1)求f(x)的解析式;

(2)求此商品的价格超过8万元的月份.

解:(1)由题意可知=7-3=4,

∴T=8,∴ω=.

又

即f(x)=2sin+7.(*)

又f(x)的图象过点(3,9),代入(*)式,

得2sin+7=9,∴sin=1,

∴+φ=+2kπ,k∈Z.

又|φ|<,∴φ=-,

∴f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*).

(2)令f(x)=2sin+7>8,

∴sin,

∴+2kπ<x-+2kπ,k∈Z,

可得+8k<x<+8k,k∈Z.

又1≤x≤12,x∈N*,∴x=2,3,4,10,11,12.

即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.

能力提升

1.如图是一半径为3 m的水轮,水轮中心O距离水面为2 m,已知水轮自点M开始1 min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(单位:m)与时间x(单位:s)满足函数解析式y=Asin(ωx+φ)+2,则有(　　)

A.ω=,A=3 B.ω=,A=3

C.ω=,A=5 D.ω=,A=5

解析:由于每分钟转4圈,故T= min=15 s,

∴ω=.

又半径为3,故A=3.

答案:A

2.如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置P(x,y),若初始位置为P0,当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,则点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为 (　　)

A.y=sin  B.y=sin

C.y=sin D.y=sin

答案:C

3.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(单位:cm)表示成t(单位:s)的函数,则d=　　　　　,其中t∈[0,60]. 

答案:10sin

4.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(单位:rad),并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角,左侧时α为负角.α作为时间t(单位:s)的函数,近似满足关系式α=Asin,其中ω>0.已知小球在初始位置(即t=0)时,α=,且每经过π s小球回到初始位置,那么A=　　　　　;α关于t的函数解析式是　　　　　　　　　　. 

解析:∵当t=0时,α=,∴=Asin ,∴A=.

又周期T=π,∴=π,解得ω=2.

故所求的函数解析式是α=sin,t∈[0,+∞).

答案:　α=sin,t∈[0,+∞)

5.★如图,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧,修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2),赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.求A,ω的值和M,P两点间的距离.

解:依题意,有A=2=3,

又T=,∴ω=.

∴y=2sinx.

当x=4时,y=2sin=3,∴M(4,3).

又P(8,0),∴|MP|==5(km).