北师大版第五章 分式与分式方程综合与测试一课一练

第五章 分式与分式方程章节考点梳理卷

【考点1  分式及最简分式的概念】

【方法点拨】掌握分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．

最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．

【例1】（2020春•砀山县期末）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中分式有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【变式1-1】（2020春•遂宁期末）下列各式中，分式的个数为（　　）

，，，，，x+y，

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【变式1-2】（2020春•唐河县期中）下列分式，，，，中，最简分式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-3】（2020秋•平潭县期末）若m为实数，分式不是最简分式，则m＝        ．

【考点2  分式有意义的条件】

【方法点拨】掌握分式有意义的条件：分母不等于0.

【例2】（2020秋•沙河市期末）已知x＝﹣2时，分式无意义，则□可以是（　　）

A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4

【变式2-1】讨论探索：当x取什么数时，分式．

（1）有意义？

（2）无意义？

【变式2-2】下列分式有意义，求x的取值范围．

（1）．

（2）

（3）．

（4）．

（5）．

【变式2-3】x为何值时，分式有意义？

【考点3  分式值为0的条件】

【方法点拨】掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．

【例3】（2020春•锦江区校级月考）已知分式的值为0，那么x的值是（　　）

A．﹣1 B．3 C．1 D．3或﹣1

【变式3-1】（2020春•开江县期末）若分式的值为零，则a的值为（　　）

A．﹣1 B．±1 C．1 D．不确定

【变式3-2】（2019秋•资阳区校级期中）若a，b为实数，且0，求3a﹣b的值．

【变式3-3】已知a、b、c是△ABC的三边，且a、b、c的取值使分式的值为零，试判断这个三角形的形状，并说明理由．

【考点4  分式的基本性质】

【方法点拨】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．

【例4】（2019秋•南昌县期末）下列运算中，错误的是（　　）

A． 

B．1 

C． 

D．

【变式4-1】（2020春•马鞍山期末）若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）

A．变为原来的3倍 B．不变 

C．变为原来的 D．变为原来的

【变式4-2】（2020春•绍兴期中）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数都化为整数，结果是（　　）

A． B． C． D．

【变式4-3】（2020春•慈溪市期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中各项的系数化为整数，其结果正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【考点5  利用分式的基本性质求值】

【例5】（2020秋•南昌县期末）下列运算中，错误的是（　　）

A． 

B．1 

C． 

D．

【变式5-1】（2020春•马鞍山期末）若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）

A．变为原来的3倍 B．不变 

C．变为原来的 D．变为原来的

【变式5-2】（2020春•绍兴期中）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数都化为整数，结果是（　　）

A． B． C． D．

【变式5-3】（2020春•慈溪市期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中各项的系数化为整数，其结果正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【考点6  分式的化简求值】

【方法点拨】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．

【例6】（2020春•织金县期末）先化简，在求值：，再从﹣1、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．

【变式6-1】（2020春•渝中区校级期末）先化简，再求值：（1），其中a是不等式aa的最大整数解．

【变式6-2】（2020春•太湖县期末）先化简，再求值：其中a的值在﹣1≤a≤3的整数中选出一个合适的值．

【变式6-3】（2020春•卫辉市期末）先化简，然后从x的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为x的值代入求值．

【考点7  解分式方程】

【方法点拨】分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).

【例7】（2020春•东阳市期末）小明在解一道分式方程，过程如下：

第一步：方程整理

第二步：去分母…

（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是　          　、　             　；

（2）请把以上解分式方程过程补充完整．

【变式7-1】（2020春•梁平区期末）解下列分式方程：

（1）0；

（2）1．

【变式7-2】（2020春•织金县期末）解方程

（1）；

（2）．

【变式7-3】（2019秋•崇川区校级期末）解下列方程：

（1）3

（2）0

【考点8  换元法解分式方程】

【方法点拨】解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．

【例8】（2019秋•台州期中）在解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0时，设x2﹣2x＝y，则原方程可转化为y2﹣2y﹣3＝0，解得y1＝﹣1，y2＝3，所以x2﹣2x＝﹣1或x2﹣2x＝3，可得x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．我们把这种解方程的方法叫做换元法．对于方程：x23x12，我们也可以类似用换元法设xy，将原方程转化为一元二次方程，再进一步解得结果，那么换元得到的一元二次方程式是（　　）

A．y2﹣3y﹣12＝0 B．y2+y﹣8＝0 C．y2﹣3y﹣14＝0 D．y2﹣3y﹣10＝0

【变式8-1】（2020春•遂宁期末）已知方程2，如果设，那么原方程可以变形成关于y的方程为　           　．

【变式8-2】（2020•安徽模拟）已知方程x2+x2，则2x2+2x＝　   　．

【变式8-3】（2020春•青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题

解方程：．

解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，

解得：y＝±2，

经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，

当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，

∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法．

问题：

（1）若在方程中，设，则原方程可化为：          　；

（2）若在方程中，设，则原方程可化为：              　；

（3）模仿上述换元法解方程：．

【考点9  分式方程的解】

【方法点拨】求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

【例9】（2020春•北碚区校级期末）若整数a使得关于x的方程2的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（　　）

A．6 B．9 C．13 D．16

【变式9-1】（2020春•沙坪坝区校级期末）若实数a使关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和是（　　）

A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．1

【变式9-2】（2020春•九龙坡区校级期末）如果关于x的不等式组的解集是x＜1，且关于x的分式方程3有正整数解，则所有符合条件的m的值之和为（　　）

A．9 B．8 C．4 D．3

【变式9-3】（2019秋•九龙坡区校级期末）若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）

A．7 B．8 C．14 D．15

【考点10  分式方程的增根】

【方法点拨】增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．

【例10】（2020春•定远县期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【变式10-1】（2019秋•梁子湖区期末）若关于x的方程2有增根x＝﹣1，则2a﹣3的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

【变式10-2】（2020秋•江华县期末）关于x的方程有增根，则a＝（　　）

A．﹣10或6 B．﹣2或﹣10 C．﹣2或6 D．﹣2或﹣10或6

【变式10-3】（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：．

（1）若该分式方程有增根，则增根为　       　．

（2）在（1）的条件下，求出m的值，

【考点11  分式方程的应用（行程问题）】

【例11】（2020春•岳西县期末）2020年6月8日，岳西县黄沙岭隧道建成通车，来榜至岳西里程由原来的23千米缩短为现在的16千米．从来榜开车到岳西，若隧道开通后的平均速度比隧道开通前的平均速度提高，则隧道开通后比隧道开通前少用22分钟，在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需多少分钟？

【变式11-1】（2020春•文山州期末）广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月30日24时正式通车运营，全长49km的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．它将有力助推全县全面打赢脱贫攻坚战，从广南到那洒还有条全长58km的普通公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快30km/h，由高速公路从广南到那洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路从广南到那洒需要几小时．

【变式11-2】（2020春•岑溪市期末）随着科技的迅猛发展，高铁已成为我国建造业、制造业的一张名片，享誉全球，近年来，我国高铁科研团队继续深入研究、革新技术，实现了高速列车的速度再提高60%，这样，使高速列车从A地到B地的运行时间缩短了3小时，已知A、B两地之间的距离是1600km，问高速列车在这次提速前和提速后的速度分别是多少？

【变式11-3】（2020秋•荔湾区期末）列方程解应用题：

初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：

（1）大巴与小车的平均速度各是多少？

（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？

【考点12  分式方程的应用（工程问题）】

【例12】（2020春•皇姑区期末）某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前3个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少个月？

【变式12-1】（2019秋•广丰区期末）某建筑公司中标了从县城到某乡镇的一段公路的路基工程，此公司有两个工程队，做进度计划时计算得出，如由甲工程队单独施工可按时完工，由乙工程队单独施工要延迟20天完工．最后公司安排甲乙两个工程队一起先共同施工15天，剩下的工程由乙工程队单独施工，刚好按时完工，求此工程的工期．

【变式12-2】（2019秋•香坊区期末）为改善交通拥堵状况，我市进行了大规模的道路桥梁建设．已知某路段乙工程队单独完成所需的天数是甲工程队单独完成所需天数的1.5倍，如果按甲工程队单独工作20天，再由乙工程队单独工作30天的方案施工，这样就完成了此路段的．

（1）求甲，乙工程队单独完成这项工程各需多少天？

（2）已知甲工程队每天的施工费用是2万元，乙工程队每天的施工费用为1.2万元，要使该项目的工程费不超过114万元，则需要改变施工方案，但甲乙两个工程队不能同时施工，乙工程队最少施工多少天才能完成此项工程？

【变式12-3】（2020春•龙岗区期末）深圳市某中学为了更好地改善教学和生活环境，该学校计划在2020年暑假对两栋主教学楼重新进行装修．

（1）由于时间紧迫，需要雇佣建筑工程队完成这次装修任务．现在有甲，乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成，如果乙工程队单独施工则要超过期限6天才能完成，若两队合做4天，剩下的由乙队单独施工，则刚好也能如期完工，那么，甲工程队单独完成此工程需要多少天？

（2）装修后，需要对教学楼进行清洁打扫，学校准备选购A、B两种清洁剂共100瓶，其中A种清洁剂6元/瓶，B种清洁剂9元/瓶．要使购买总费用不多于780元，则A种清洁剂最少应购买多少瓶？

【考点13  分式方程的应用（销售问题）】

【例13】（2020春•揭西县期末）受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．

（1）求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价；

（2）商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？

【变式13-1】（2020春•龙岗区校级期末）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．

（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？

（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？

【变式13-2】（2020春•上蔡县期末）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．

（1）求甲、乙两种商品的每件进价；

（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为80元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变，要使两种商品全部售完后共获利不少于3520元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？

【变式13-3】（2020春•拱墅区期末）某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元．

（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？

（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍．这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？

【考点14  分式方程的应用（方案问题）】

【例14】（2020春•织金县期末）小明准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少6元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．

（1）求这种笔和本子的单价各是多少？

（2）小明准备用自己的180元压岁钱购买这种笔和本子，计划180元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．

【变式14-1】（2019秋•勃利县期末）某公司有960件新产品需经加工后才能投放市场，现有甲、乙两家工厂都想加工加工这批产品．已知甲工厂单独完成这批产品比乙工厂单独完成这批产品多用20天，而甲工厂每天加工数量是乙工厂每天加工的数量的，公司需付甲工厂加工费每天80元，需付乙工厂加工费每天120元．

（1）甲、乙两工厂每天能加工多少件新产品？

（2）公司制定的方案如下，可以由每个厂家单独完成，也可以有两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到工厂进行技术指导，并担负每天5元的午餐补助，请帮公司需出一种既省时又省钱的加工方案．

【变式14-2】（2020春•北镇市期末）为迎接中国传统节日“端午节”的到来，某超市准备购进甲、乙两种品牌的粽子，两种品牌粽子的进价和售价如下表：

已知用300元购进甲品牌粽子的数量与用240元购进乙品牌粽子的数量相同．

（1）求m的值；

（2）要使购进的甲、乙两种品牌的粽子共200盒的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于2170元且不超过2200元，问该超市有几种进货方案？

【变式14-3】（2020春•沙坪坝区校级期末）某建筑公司为了完成一项工程，设计了两种施工方案．

方案一：甲工程队单独做需40天完成；

方案二：乙工程队先做30天后，甲、乙两工程队一起再合做20天恰好完成任务．

请问：

（1）乙工程队单独做需要多少天才能完成任务？

（2）现将该工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了x天，乙工程队做另一部分工程用了y天，若x，y都是正整数，且甲工程队做的时间不到15天，乙工程队做的时间不到70天，那么两工程队实际各做了多少天？