人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用同步测试题

1.7.2　定积分在物理中的应用

明目标、知重点

1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．

2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．

探究点一　变速直线运动的路程

思考　变速直线运动的路程和位移相同吗？

答　不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念：(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用v(t)dt求解；

(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－v(t)dt.

例1　一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1 min行驶的路程．

解　由速度－时间曲线可知：

v(t)＝

因此汽车在这1 min行驶的路程是：

s＝ʃ3tdt＋ʃ30dt＋ʃ(－1.5t＋90)dt

＝t2|＋30t|＋(－t2＋90t)|

＝1 350 (m)．

答　汽车在这1 min行驶的路程是1 350 m.

反思与感悟　(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．

(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．

跟踪训练1　一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(m/s)运动．求：

(1)在时刻t＝4时，该点的位置；

(2)在时刻t＝4时，该点运动的路程．

解　(1)由ʃ(t2－4t＋3)dt＝(－2t2＋3t)|

＝知，

在时刻t＝4时，该质点离出发点m.

(2)由v(t)＝t2－4t＋3>0，

得t∈(0,1)∪(3,4)．

这说明t∈(1,3)时质点运动方向与t∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反．

故s＝ʃ|t2－4t＋3|dt

＝ʃ(t2－4t＋3)dt＋ʃ(4t－t2－3)dt＋ʃ(t2－4t＋3)dt＝4.

即在时刻t＝4时，该质点运动的路程为4 m.

探究点二　变力做功问题

思考　恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决呢？

答　与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x＝a到x＝b(a<b)，可以利用定积分得到W＝ʃF(x)dx.

例2　如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B、C运动到D，其中AB＝50 m，BC＝40 m，CD＝30 m，变力F＝(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，求物体由A运动到D所做的功．(≈1.732，≈1.414，精确到1 J)

解　在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos 30°，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos 45°.

由变力做功公式得：

W＝ʃcos 30°dx＋ʃcos 45°dx＋600

＝|＋|＋600

＝＋450＋600≈1 723 (J).

所以物体由A运动到D变力F所做的功为1 723 J.

反思与感悟　解决变力做功注意以下两个方面：

(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．

(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．

跟踪训练2　设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．

解　设x表示弹簧伸长的厘米，F(x)表示加在弹簧上的力，

设F(x)＝kx，依题意得x＝5时F(x)＝100，

∴k＝20，

∴F(x)＝20x.

∴弹簧由25 cm伸长到40 cm即x＝0到x＝15所做的功

W＝ʃ20xdx＝10x2|＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．

答　使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功为22.5 J.

1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为(　　)

A.g   B.g

C.g   D．2g

答案　C

解析　h＝ʃgtdt＝gt2|＝g.

2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车(　　)

A．405   B．540

C．810   D．945

答案　A

解析　停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，

得t＝30，

∴s＝ʃv(t)dt＝ʃ(27－0.9t)dt

＝(27t－0.45t2)|＝405.

3．一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm，求弹簧克服弹力所做的功．

解　设F(x)＝kx，因为弹簧压缩x cm可产生4x N的力，

∴k＝4.

∴弹簧克服弹力所做的功为

W＝4ʃxdx＝4×(x2)|＝50(N·cm)＝0.5(J)．

呈重点、现规律]

1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．

2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.

一、基础过关

1．一物体沿直线以v＝2t＋1 (t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s间行进的路程为(　　)

A．1 m   B．2 m

C．3 m   D．4 m

答案　D

解析　s＝ʃ(2t＋1)dt＝(t2＋t)|＝4(m)．

2．一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35 m/s，则AB间的距离为(　　)

A．120 m   B．437.5 m

C．360 m   D．480 m

答案　B

解析　从A处到B处所用时间为25 s.

所以|AB|＝ʃ1.4tdt＝0.7t2|＝437.5 (m)．

3．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)

A. m   B. m

C. m   D. m

答案　A

解析　v＝0时物体达到最高，

此时40－10t2＝0，则t＝2 s.

又∵v0＝40 m/s，∴t0＝0 s.

∴h＝ʃ(40－10t2)dt＝(40t－t3)|

＝(m)．

4．如果1 N的力使弹簧伸长1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为(　　)

A．0.5 J   B．1 J

C．50 J   D．100 J

答案　A

解析　由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)＝x，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为W＝ʃF(x)dx＝ʃxdx＝x2|＝50 (N·cm)＝0.5 (J)．

5．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与F(x)相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为(　　)

A．44 J   B．46 J

C．48 J   D．50 J

答案　B

解析　W＝ʃF(x)dx＝ʃ10dx＋ʃ(3x＋4)dx

＝10x|＋(x2＋4x)|＝46(J)．

6．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是(　　)

A．1＋e   B．e

C.   D．e－1

答案　B

解析　W＝ʃF(x)dx＝ʃ(1＋ex)dx＝(x＋ex)|

＝(1＋e)－1＝e.

二、能力提升

7．若1 N的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时克服弹力所做的功为________．

答案　0.36 J

解析　弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F＝kx，求得k＝50，∴F(x)＝50x.

∴W＝ʃ50xdx＝25x2|＝0.36 (J)．

8．汽车以每小时32 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－1.8 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________．(保留小数点后两位)

答案　21.95 m

解析　t＝0时，v0＝32 km/h＝m/s＝ m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝－1.8 t．停止时，v(t)＝0，则－1.8 t＝0，得t＝ s，

所以汽车所走的路程

s＝v(t)dt＝|≈21.95(m)．

9．把一个带＋q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式F＝k(其中k为常数)确定．在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从r＝a处移动到r＝b(a<b)处，则电场力对它所作的功为________．

答案　k－k

解析　W＝ʃkdr＝－k|

＝k－k.

10.如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，则克服弹簧力所做的功为________．

答案　kl2 J

解析　在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)＝kx，其中k为比例系数．由变力做功公式得W＝ʃkxdx＝kx2|＝kl2(J)．

11．一物体按规律x＝bt3作直线运动，其中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功．

解　物体的速度v＝x′(t)＝(bt3)′＝3bt2，媒质的阻力F阻＝kv2＝k·(3bt2)2＝9kb2t4(其中k为比例常数，k>0)．当x＝0时，t＝0；

当x＝a时，t＝().

所以阻力所做的功为

W阻＝ʃF阻dx＝kv2·vdt

＝9kb2t4·3bt2dt＝27kb3t6dt

＝kb3t7|＝k·.

故物体由x＝0运动到x＝a时，

阻力所做的功为k·.

12．物体A以速度vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度vB＝10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离各是多少？

解　依题意知物体A，B均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．

设a秒后物体A比B多运动5米，则

A从开始到a秒末所走的路程为

sA＝ʃvAdt＝ʃ(3t2＋1)dt＝a3＋a；

B从开始到a秒末所走的路程为

sB＝ʃvBdt＝ʃ10tdt＝5a2.

由题意得sA＝sB＋5，即a3＋a＝5a2＋5，得a＝5.

此时sA＝53＋5＝130(米)，sB＝5×52＝125(米)．

故5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离分别是130米和125米．

三、探究与拓展

13．有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求

(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；

(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．

解　(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，

即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，

当t>4时，P点向x轴负方向运动．

故t＝6时，点P离开原点的路程

s1＝ʃ(8t－2t2)dt－ʃ(8t－2t2)dt

＝(4t2－t3)|－(4t2－t3)|＝.

当t＝6时，点P的位移为ʃ(8t－2t2)dt

＝(4t2－t3)|＝0.

(2)依题意知ʃ(8t－2t2)dt＝0，

即4t2－t3＝0，

解得t＝0或t＝6，

t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．

所以，t＝6.