数学选修2-21.3导数在研究函数中的应用教学设计
展开§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）
【学情分析】：
高一学过了函数的单调性，在引入导数概念与几何意义后，发现导数是描述函数在某一点的瞬时变化率。在此基础上，我们发现导数与函数的增减性以及增减的快慢都有很紧密的联系。本节内容就是通过对函数导数计算，来判定可导函数增减性。
【教学目标】：
（1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
（2）掌握利用导数判断函数单调性的方法
（3）能够利用导数解释实际问题中的函数单调性
【教学重点】：
利用导数判断函数单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
【教学过程设计】：
教学环节 | 教学活动 | 设计意图 |
情景引入过程 |
从高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数： 分析运动动员的运动过程： 上升→最高点→下降 运动员瞬时速度变换过程： 减速→0→加速 | 从实际问题中物理量入手 学生容易接受 |
实际意义向函数意义过渡 | 从函数的角度分析上述过程： 先增后减 由正数减小到0，再由0减小到负数 | 将实际的量与函数及其导数意义联系起来，过渡自然，突破理解障碍 |
引出函数单调性与导数正负的关系 | 通过上述实际例子的分析，联想观察其他函数的单调性与其导数正负的关系 解：各函数的图象大概如下： （1） （2） （3） （4） 如图，导数表示函数在点处的 切线的斜率． 在处，，切线是“左下右上”式的， 这时，函数在附近单调递增； 在处，，切线是“左上右下”式的， 这时，函数在附近单调递减． | 进一步的函数单调性与导数正负验证，加深两者之间的关系 |
| 我们能否得出以下结论： 在某个区间（a,b）内，如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减 答案是肯定的 |
|
从导数的概念给出解释 | 表明函数在此点处的切线斜率是由左下向右上，因此在附近单调递增 表明函数在此点处的切线斜率是由左上向右下，因此在附近单调递减 所以，若，则，f(x)为增函数 同理可说明时，f(x)为减函数 | 用导数的几何意义理解导数正负与单调性的内在关系，帮助理解与记忆 |
导数正负与函数单调性总结 | 函数的单调性与导数的关系： 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数． 注意：求解函数单调区间的步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间． | 抽象概括我们的心法手册（用以指导我们拆解题目） |
例题精讲 | 1、 根据导数正负判断函数单调性 例1．已知导函数的下列信息： 当时，； 当，或时，； 当，或时， 试画出函数图像的大致形状． 解：当时，，可知在此区间内单调递增； 当，或时，；可知在此区间内单调递减； 当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示． 教材例1在教学环节中的处理方式： 以学生的自学为主，可以更改部分数据，让学生动手模仿。 小结：导数的正负→函数的增减→构建函数大致形状 提醒学生观察的点的图像特点（为下节埋下伏笔） 丢出思考题：“”的点是否一定对应函数的最值（由于学生尚未解除“极值”的概念，暂时还是以最值代替） | 例题处理的目标就是为达到将“死结论”变成“活套路” |
2、利用导数判断函数单调性以及计算求函数单调区间 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）； （2） （3）； （4） 解：（1）因为，所以，
因此，在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示． （2）因为，所以， 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减； 函数的图像如图3.3-5（2）所示． （3）因为，所以， 因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为，所以 ． 当，即 时，函数 ； 当，即 时，函数 ； 函数的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练
教材例2在教学环节中的处理方式： 可以先以为例回顾我们高一判断函数单调性的定义法；再与我们导数方法形成对比，体会导数方法的优越性。 引导学生逐步贯彻落实我们之前准备的“心法手册” 判断单调性→计算导数大小→能否判断导数正负 →Y，得出函数单调性； →N，求“导数大于（小于）0”的不等式的解集→得出单调区间
补充例题： 已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间. 解：y′=(x+)′=1－1·x－2= 令＞0. 解得x＞1或x＜－1. ∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1. ∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)
要求根据函数单调性画此函数的草图 | ||
3、实际问题中利用导数意义判断函数图像 例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．
分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解： 思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图6所示，函数在或内的图像“陡峭”， 在或内的图像“平缓”．
教材例3的处理方式： 可以根据课程进度作为课堂练习处理 同时还可以引入类似的练习补充（如学生上学路上，距离学校的路程与时间的函数图像） | ||
堂上练习 | 教材练习2——由函数图像写函数导数的正负性 教材练习1——判断函数单调性，计算单调区间 | 针对教材的三个例题作知识强化练习 |
提升 | 例1、已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围． 解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得： 所以实数的取值范围为． 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 例2、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）
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内容总结 | 体会导数在判断函数单调性方面的极大优越性 | 体会学习导数的重要性 |
课后练习：
1、函数的递增区间是（ ）
A B C D
答案C 对于任何实数都恒成立
2、已知函数在上是单调函数,则实数的
取值范围是（ ）
A B
C D
答案B在恒成立，
3、函数单调递增区间是（ ）
A B C D
答案C 令
4、对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A B
C D
答案C 当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有
得
5、函数的单调增区间为 ，单调减区间为___________________
答案
6、函数的单调递增区间是___________________________
答案
7、已知的图象经过点，且在处的切线方程是
（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间
解：（1）的图象经过点，则，
切点为，则的图象经过点
得
（2）
单调递增区间为
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