高中数学人教版新课标A选修2-21.6微积分基本定理同步训练题

【创新设计】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用章末复习课 新人教版选修2-2

题型一　导数与曲线的切线

利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．

例1　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值．

解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.

(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，

因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，

所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为

y－1＝－(x－1)，

即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：

①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.

又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为

f(a)＝a－aln a，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．

跟踪训练1　已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．

解　依题意有：f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，

∴l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0，

∵l与圆相切，∴＝⇒a＝，

∴a的值为.

题型二　导数与函数的单调性

求解函数y＝f(x)单调区间的步骤：

(1)确定函数y＝f(x)的定义域；

(2)求导数y′＝f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．

特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．

例2　求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；

(2)f(x)＝x(x－a)2.

解　(1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，

令f′(x)>0，解得x>2，又x∈(0，＋∞)，

∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)．

(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，

由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝a.

①当a>0时，x1<x2.

∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，)，(a，＋∞)，

单调递减区间为(，a)．

②当a<0时，x1>x2，

∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(，＋∞)，

单调递减区间为(a，)．

③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是单调递增的．

综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，)，(a，＋∞)，单调递减区间为(，a)；

a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(，＋∞)，单调递减区间为(a，)；

a＝0时，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)．

跟踪训练2　求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝sin x，x∈0,2π]；

(2)y＝xlnx.

解　(1)函数的定义域是0,2π]，

f′(x)＝cos x，令cos x>0，

解得2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)，

当x∈0,2π]时，0<x<，或<x<2π，

令cos x<0，解得<x<，

因此，f(x)的单调递增区间是(0，)和(，2π)，单调递减区间是(，)．

(2)函数的定义域是(0，＋∞)，

f′(x)＝ln x＋1，令ln x＋1>0得x>e－1，

因此，f(x)的单调递增区间是(e－1，＋∞)，单调递减区间是(0，e－1)．

题型三　数形结合思想在导数中的应用

1．应用导数求函数极值的一般步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)解方程f′(x)＝0的根；

(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．

若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；

若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；

否则，此根不是f(x)的极值点．

2．求函数f(x)在闭区间a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：

(1)求f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将(1)求得的极植与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；

特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一个点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．

例3　设<a<1，函数f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，求常数a，b.

解　令f′(x)＝3x2－3ax＝0，

得x1＝0，x2＝a.

f(0)＝b，f(a)＝－b，f(－1)＝－1－a＋b，

f(1)＝1－a＋b.

因为<a<1，所以1－a<0，

故最大值为f(0)＝b＝1，

所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，

所以－a＝－，所以a＝.

故a＝，b＝1.

跟踪训练3　已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1|>|x2|，则有(　　)

A．a>0，b>0　　　　 B．a<0，b<0

C．a<0，b>0   D．a>0，b<0

答案　B

解析　由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1、x2，且x＝x1时有极小值，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋1的图象如图所示，

∴a<0.

又|x1|>|x2|，∴－x1>x2，

∴x1＋x2<0，即x1＋x2＝－<0，

∴b<0.

题型四　定积分及其应用

定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限．

例4　如图，是由直线y＝x－2，曲线y2＝x所围成的图形，试求其面积S.

解　由得x＝1或x＝4，故A(1，－1)，B(4,2)，如图所示，

S＝2ʃdx＋ʃ(－x＋2)dx

＝2×x|＋(x－x2＋2x)|

＝2×＋(×4－×42＋2×4)－(－＋2)]＝.

跟踪训练4　在区间0,1]上给定曲线y＝x2，如图所示，试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小．

解　面积S1等于边长为t与t2的矩形的面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t围成的面积，

即S1＝t·t2－ʃx2dx＝t3.

面积S2等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1－t)，

即S2＝ʃx2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.

所以阴影部分面积S为：

S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)，

由S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－)＝0，

得t＝0，或t＝.

由于当0<t<时，S′(t)<0；

当<t<1时，S′(t)>0，

所以S(t)在0<t<上单调递减，

在<t<1上单调递增．

所以当t＝时，S最小，即图中阴影部分的面积S1与S2之和最小．

呈重点、现规律]

1．函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．

2．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关的问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．