2021学年1.4 三角函数的图象与性质课后作业题

第13课时　正切函数的图象与性质

1.掌握正切函数的性质，并会应用其解题．

2．了解正切函数的图象，会利用其解决有关问题．

1．正切函数y＝tanx的最小正周期为π；y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.

2．正切函数y＝tanx的定义域为，值域为R.

3．正切函数y＝tanx在每一个开区间，k∈Z内均为增函数．

4．正切函数y＝tanx为奇函数．

5．对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是(k∈Z)．正切函数无对称轴．

一、选择题

1．函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为(　　)

A.　　B.

C．π  D．2π

答案：B

2．函数f(x)＝的奇偶性是(　　)

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数，又是偶函数

D．既不是奇函数，也不是偶函数

答案：A

解析：要使函数f(x)＝ 有意义，

必须使，

即x≠kπ＋且x≠(2k＋1)π，k∈Z.

所以函数f(x)＝的定义域关于原点对称．

又因为f(－x)＝＝＝－f(x)，

所以函数f(x)＝为奇函数．故选A.

3．下列函数中，周期为π，且在上单调递增的是(　　)

A．y＝tan|x|  B．y＝|tanx|

C．y＝sin|x|  D．y＝|cosx|

答案：B

解析：画函数图象，通过观察图象，即可解决本题．

4．函数y＝tan(＋)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，＋∞)

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

答案：C

解析：由y＝tanx的单调递增区间为，

∴kπ－＜＋＜kπ＋，k∈Z

⇒2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.故选C.

5．函数y＝tan的一个对称中心是(　　)

A．(0,0)   B.

C.  D．(π，0)

答案：C

解析：令x＋＝，得x＝－，k∈Z，∴函数y＝tan的对称中心是.令k＝2，可得函数的一个对称中心为.

6．已知函数y＝tanωx在内是减函数，则(　　)

A．0<ω≤1  B．－1≤ω<0

C．ω≥1    D．ω≤－1

答案：B

解析：∵y＝tanωx在内是减函数，∴ω<0且T＝≥π，∴－1≤ω<0.

二、填空题

7．函数y＝的定义域是________．

答案：

解析：要使函数y＝有意义，只需，k∈Z，解得x≠kπ＋且x≠kπ－，k∈Z.∴函数y＝的定义域为.

8．方程x－tanx＝0的实根有________个．

答案：无数

解析：方程x－tanx＝0的实根个数就是直线y＝x与y＝tanx的图象的交点的个数，由于y＝tanx的值域为R，所以直线y＝x与函数y＝tanx图象的交点有无数个．

9．直线y＝a(a为常数)与曲线y＝tanωx(ω为常数，且ω>0)相交的两相邻交点间的距离为________．

答案：

解析：∵ω>0，∴函数y＝tanωx的周期为，∴两交点间的距离为.

三、解答题

10．求函数y＝tan的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心．

解：①由－≠kπ＋，k∈Z，

得x≠2kπ＋，k∈Z.

∴函数的定义域为.

②T＝＝2π，∴函数的最小正周期为2π.

③由kπ－<－<kπ＋，k∈Z，

解得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z.

∴函数的单调递增区间为，k∈Z.

④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z.

∴函数的对称中心是，k∈Z.

11．求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域．

解：由题意，得，即－1≤tanx<1.

在内，满足上述不等式的x的取值范围是.

又y＝tanx的周期为π，

所以所求x的取值范围是(k∈Z)．

即函数的定义域为(k∈Z)．

12．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的部分图像如图所示，则f＝________.

答案：

解析：由图像知＝π－＝，T＝，ω＝2，

2×＋φ＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z.

又|φ|＜，∴φ＝.

∵函数f(x)的图像过点(0,1)，∴f(0)＝Atan＝A＝1.

∴f(x)＝tan.

∴f＝tan＝tan＝.

13．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.

(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；

(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．

解：(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝2－.

∵x∈[－1，]，

∴当x＝时，f(x)取得最小值－，

当x＝－1时，f(x)取得最大值.

(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为x＝－tanθ.

∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，

∴－tanθ≤－1或－tanθ≥，即tanθ≥1或tanθ≤－.

又θ∈，

∴θ的取值范围是∪.