人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质教学设计

基本初等函数Ⅱ（三角函数）

【专题要点】任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的定义（重点是任意角的正弦、余弦和正切的定义）、周期函数的概念、三角函数（正弦函数、余弦函数和正切函数）的图象与性质、函数的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式

【考纲要求】

（1）任意角的概念、弧度制

①了解任意角的概念，②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的转化

（2）三角函数

①理解任意角的三角函数的定义；

②能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出正、余弦函数、正切函数的图象，了解三角函数的周期性；

③理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在（-，）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点；

④理解同角三角函数的基本关系式；

⑤了解的物理意义，能画出的图象，了解参数、、对函数图象变化的影响；

⑥了解三角函数是描述周期性变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的问题。

【知识纵横】

【教法指引】

高考对三角函数的考查内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，注重创新。因此，我们在复习中应首先立足课本，打好基础，从数形两方面理解三角函数的定义，在牢固图象的基础上，把握三角函数的性质，通过认识整个体系的推导和形成过程，掌握公式的本质和规律，领会其中的数学思想，形成清晰的知识结构，明确各部分的基本知识，基本题型，基本方法和规律，强化易混、易漏、易错点的反思和感悟和针对性训练；其次，在学习过程中不断总结、反思提炼解题规律，学会观察差异，寻找联系，分析综合，合理转化，会从三角函数的名称、角和运算三个方面寻求解题思路；另外，注意重点问题的变式、拓展和延伸，突出复习的针对性和有效性，在解题时，注意在条件和结论中建立联系，讲求算理，就能立足基础、发展能力、决胜高考

【典例精析】

例1.若角的终边落在直线上，求的值

解析：【解法一】分类讨论

①角的终边在第二象限        则；

②角的终边在第二象限       则.

【解法二】也可以按照课本上三角函数的定义，求出终边与单位圆的交点。

例2.求下列函数的定义域。

（1）   （2）（3）

解析：（1）要使函数有意义 ，那么的终边在第一或第二象限，或终边在轴上.

（2）要使函数有意义，那么解得：

（3）要使函数有意义，那么

或

例3. 已知，且，函数的最大值为16，

求值。

解析：令   则 

当时有最小值－4

又  在时有最小值，有最大值.       或

例4.是第四象限角， ，则（    ）

A．  B．  C．  D．

解：由，所以，有，是第四象限角，

解得：

例5. 已知，

（1）化简；

（2）若是第三象限角，且，求的值；

（3），求的值。

解析：（1）

  （2）由    又为第三象限角   

（3）   

例6.已知　求

　⑴；

⑵

解析：【解法一】由得

⑴＝

⑵＝＝

【解法二】也可以对进行分类讨论，得到的关系，再利用，解出.

例7. 已知，且是方程的两根，求

的值。

解析：由题意

例8. 使函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的，然后再将其图象沿轴向左平移个单位，得到的曲线与相同.

（1）求的表达式；

（2）求的单调递减区间.

解析：（1）的图象沿轴向右平移个单位得：即

，再将每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍得

.

（2）由  

解得

函数的单调递减区间是

例9. 已知函数（其中）的最小正周期为2，且当时，取得最大值2.

（1）求函数的表达式；

（2）在闭区间上是否存在的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，说明理由.

解析：（1）

  由题意 ：    又

  又

  解得： 

 （2）由＝ 得：

 由得  又

在闭区间上存在的对称轴.

例10. 若则=(     )

（A）       （B）2         （C）          （D）

解析：由可得：由，

又由，可得：＋（）2＝1

可得＝－，＝－，

所以，＝＝2。

例11. 函数的图象是（    ）

解析：是偶函数，可排除B、D，由的值域可以确定.因此本题应选A.

点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。

例12. 把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（    ）

A．  B．

C．  D．

解析：

y=，故选（C）。

点评：三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一，牢固变换的方法，按照变换的步骤来求解即可

例13.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是(   　  )

（A）0        （B）1         （C）2          （D）4

解析：原函数可化为：=作出原函数图像，

截取部分，其与直线的交点个数是2个.

点评：本小题主要考查三角函数图像的性质问题，学会五点法画图，取特殊角的三角函数值画图