数学必修41.4 三角函数的图象与性质复习练习题

第一章　三角函数

1.4　三角函数的图象与性质

1.4.1　正弦函数、余弦函数的图象

基础过关练

题组一　用“五点法”作简图

1.(2019山东平邑曾子学校高一下期末)函数y=cos x的图象经过点(　　)　　　　　　　　　　　

A. B. C.(π,0) D.(π,1)

2.对余弦函数y=cos x的图象,有以下描述:

①向左向右无限延伸;②与函数y=sin x的图象形状完全一样,只是位置不同;③与x轴有无数多个交点;④关于y轴对称.其中正确的描述有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.用“五点法”画函数y=2sin x在[0,2π]内的图象时,应取的五个点为　                                                      . 

4.用“五点法”画出函数y=+sin x,x∈[0,2π]的图象.

题组二　利用正、余弦函数的图象解不等式

5.在(0,2π)上使cos x>sin x成立的x的取值范围是(　　)

A.∪ B.∪

C. D.

6.画出函数y=cos x的图象,并结合图象解不等式-≤cos x≤,x∈[0,2π].

题组三　正、余弦(型)函数的图象与其他曲线相交问题

7.函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2的交点个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

8.方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内 (　　)

A.没有实数根 B.有且只有一个实数根

C.有且仅有两个实数根 D.有无穷多个实数根

9.已知函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,且当x>0时,f(x)=lg x,函数g(x)=|sin x|,则函数f(x)与g(x)图象的交点个数为(　　)

A.6 B.8 C.10 D.12

10.函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是　　　　. 

11.若方程sin x=4m+1在x∈[0,2π]上有解,则实数m的取值范围是　　　　. 

12.判断方程sin x=的根的个数.

13. (2020吉林长春田家炳实验中学高一上期末)方程2sin+a-1=0在[0,π]上有两个不等的实数根,求实数a的取值范围.

能力提升练

一、选择题

1.(★★☆)用“五点法”作函数y=sin 2x,x∈R的图象时,首先描出的五个点的横坐标是(　　)

A.0,,π,,2π B.0,,,,π

C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,,

2.(★★☆)使不等式-2sin x≥0成立的x的取值集合是　(　　)

A.

B.

C.

D.

3.(2019江西赣州高一上期末,★★☆)设方程cos x=m在区间上恰有三个解x1,x2,x3(x1<x2<x3),且=x1·x3,则实数m的值为(　　)

A.- B.- C. D.

4.(2019湖南高一期末,★★☆)函数f(x)=的定义域是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

二、填空题

5.(★★☆)函数y=的定义域是　　　　　　　　. 

6.(2020上海南模中学高三上月考,★★☆)关于x的方程=在[-2 016,2 016]上的解的个数是　　　　. 

7.(★★☆)关于三角函数的图象,有下列说法:

①y=sin x+1.1的图象与x轴有无限多个公共点;

②y=cos(-x)与y=cos|x|的图象相同;

③y=|sin x|与y=sin(-x)的图象关于x轴对称;

④y=cos x与y=cos(-x)的图象关于y轴对称.

其中正确的序号是　　　　. 

三、解答题

8.(★★☆)求函数f(x)=lg cos x+的定义域.

9.(2020上海向明中学高一月考,★★☆)当x∈[0,3π]时,设关于x的方程sin x+2|sin x|=m(m∈R)的根的个数为n,求n的取值集合.

答案全解全析

第一章　三角函数

1.4　三角函数的图象与性质

1.4.1　正弦函数、余弦

函数的图象

基础过关练

1.B　由cos =0,知函数y=cos x的图象经过点,0,故选B.

2.D　由余弦函数的图象知①②③④均正确.

3.答案　(0,0),,(π,0),,-2,(2π,0)

解析　画函数y=sin x在[0,2π]内的图象时,应取的五个关键点为(0,0),,1,(π,0),,-1,(2π,0),因此画y=2sin x在[0,2π]内的图象时,应取的五个点为(0,0),,2,(π,0),,-2,(2π,0).

4.解析　取值列表如下:

描点,并将它们用光滑的曲线连接起来.

5.A　在同一直角坐标系中作出函数y=sin x与y=cos x在(0,2π)内的图象,由图象可得,当cos x>sin x时,x∈0,∪,2π.

6.解析　函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示.

根据图象可得不等式的解集为.

7.B　在同一直角坐标系中作出函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2(如图所示),由图可知有1个交点.故选B.

8.C　在同一直角坐标系内画出函数y=|x|与y=cos x,x∈R的图象,易得两个图象在第一、二象限各有一个交点,故原方程有且仅有两个实数根,故选C.

9.C　∵f(x)为偶函数,且x>0时,f(x)=lg x,

∴x<0时,f(x)=lg(-x).令y=lg x=1,

得x=10,令y=lg(-x)=1,得x=-10.

作出函数y=|sin x|与y=lg x(x>0)及y=lg(-x)(x<0)的图象(图略).

由图象可知,两个图象的交点个数为10.故选C.

10.答案　4π

解析　作出函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象及直线y=2,如图所示,则阴影部分的面积即为所求.由图易知S1=S1',S2=S2',故阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,为2π×2=4π.

11.答案　

解析　画出函数y=sin x在[0,2π]内的图象及直线y=4m+1,如图所示.

∵方程sin x=4m+1在x∈[0,2π]上有解,

∴结合图象可知-1≤4m+1≤1,解得-≤m≤0.

12.解析　因为当x=3π时,y==<1,

当x=4π时,y==>1,

所以直线y=在y轴右侧与曲线y=sin x有且只有3个交点,在y轴左侧也有3个交点(如图所示),加上原点(0,0),一共有7个交点.

所以方程sin x=有7个实数根.

13.解析　由题意可知, y=2sin的图象与直线y=1-a在[0,π]上有两个不同的交点.

令t=x+,∵x∈[0,π],∴t∈,即函数y=2sin t的图象和直线y=1-a在上有两个不同的交点.如图所示,

则有≤1-a<2,即-1<a≤1-.

能力提升练

一、选择题

1.B　分别令2x=0,,π,,2π,可得x=0,,,,π.

2.C　不等式可化为sin x≤.

解法一:在同一平面直角坐标系中作出正弦曲线及直线y=,如图(1)所示.

由图(1)知,不等式的解集为.故选C.

解法二:如图(2)所示,根据三角函数线知不等式的解集为.故选C.

3.B　在同一平面直角坐标系中作出函数y=cos x,x∈,3π的图象及直线y=m,如图所示.

由图象可知x2=2π-x1,x3=2π+x1,又=x1·x3,所以4π2-4πx1+=2πx1+,解得x1=,从而m=cos x1=cos =-,故选B.

4.D　因为f(x)=,

所以2sin 2x-1≥0,所以sin 2x≥,

所以2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),

故kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),即函数f(x)的定义域是kπ+,kπ+(k∈Z).

二、填空题

5.答案　-+2kπ,+2kπ,k∈Z

解析　要使函数有意义,需2cos x-≥0,

即cos x≥.在同一平面直角坐标系中作出函数y=cos x的图象及直线y=,由图象可知,所求定义域为-+2kπ,+2kπ,k∈Z.

6.答案　4 031

解析　y=的图象在[-2 016,0)和(0,2 016]上均可分成形状相同的1 008段.

y==画出函数图象,如图所示.

当x≥2时,每段内有2个交点,共有2 014个交点;

当0<x<2时,有1个交点;

当x≤0时,每段内有2个交点,共有2 016个交点.

故共有4 031个交点,即原方程有4 031个解.

故答案为4 031.

7.答案　②④

解析　对于②,y=cos(-x)=cos x,y=cos|x|=cos x,故其图象相同;

对于④,y=cos(-x)=cos x,故其图象关于y轴对称;作图(略)可知①③均不正确.

三、解答题

8.解析　由题意得x满足不等式组即如图所示.

结合图象可得x∈∪∪.

9.解析　方程的根的个数等价于直线y=m与函数y=sin x+2|sin x|,x∈[0,3π]的图象的交点个数,

y=sin x+2|sin x|

=

函数的图象如图所示,

结合图象可得直线y=m(m∈R)与函数y=sin x+2|sin x|x∈[0,3π]图象的交点的个数可能为0,2,4,5,6.

故n的取值集合为{0,2,4,5,6}.