高中数学讲义微专题96 平面几何 学案

www.ks5u.com微专题96 平面几何

一、基础知识：

1、相似三角形的判定与性质

（1）相似三角形的判定

① 三个角：若两个三角形对应角都相等，则这两个三角形相似

注：由三角形内角和为可知，三角形只需两个内角对应相等即可

② 两边及一夹角：若两个三角形的两条边对应成比例，且所夹的角相等，则这两个三角形相似

③ 三边：若两个三角形三边对应成比例，则这两个三角形相似

④（直角三角形）若两个直角三角形有两组对应边成比例，则这两个直角三角形相似

（2）相似三角形性质：若两个三角形相似，这它们的对应角相等，对应边成比例即相似比（主要体现出“对应”两字），例如：若，则有：

2、平行线分线段成比例：如图：已知，且直线与平行线交于，则以下线段成比例：

（1） （上比下）

（2）（上比全）

（3）（下比全）

3、常见线段比例模型：

（1）“A”字形：在中，平行的直线交三角形另两边于，即形成一个“A”字，在“A”字形中，可得，进而有以下线段成比例：

①

②

③

（2）“8”字形：已知，连结相交于，即形成一个“8”字，在“8”字形中，有：

，从而

4、圆的几何性质：

（1）与角相关的性质

① 直径所对的圆周角是直角

② 弦切角与其夹的弧所对的圆周角相等

③ 同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半

④ 圆内接四边形，其外角等于内对角

（2）与线段相关的性质：

① 等弧所对的弦长相等

② 过圆心作圆上一条弦的垂线，则直线垂直平分该弦

③ 若一条直线与圆相切，则圆心与切点的连线与该直线垂直

5、与圆相关的定理

（1）切割线定理：设是的切线，为割线，则有：

（2）相交弦定理：设是圆内的两条弦，且相交于，则有

（3）切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，且这两条切线的长度相等

6、射影定理：已知在直角三角形中，，为斜边上的高（双垂直特点），则以下等式成立：

注：射影定理结合勾股定理，以及等面积法。在直角三角形中的边这五条线段中，可做到已知两条边的长度，即可求出所有边的长度

7、平面几何中线段长度的求法：

（1）观察所求线段是否是某个定理的一部分，从而凑齐该定理的其他条件即可求出该线段

（2）考虑所求线段是否与其它线段存在比例关系

（3）可将此线段放入三角形中，考虑是否能通过正余弦定理解决

（4）若不易找到题目中各线段与所求线段的联系，可考虑将所求线段设为，通过方程进行求解。

二、典型例题：

例1：如图，已知切于点，割线与弦相交于点，且，若，则的长为___________

思路：由是切线，是割线联想到切割线定理，所以有：，解得，从而，求可联想到相交弦定理：，即，其中，，代入可得：

答案：

例2：如图，四边形内接于圆，与圆相切于点，，为的中点，，，，则             ．

思路：由与圆相切可想到切割线定理：即，因为是直径，且为的中点，所以垂直平分，且和为对称的直角三角形。所以，，所以。在中，由切线可知，且，所以由射影定理可知，则，进而

答案：

例3：如图，与圆相切于，为圆的割线，并且不过圆心，已知，，，则圆的半径等于__________．

思路：由与圆相切于可知，可得，从而，在中，可由，，可得：，从而，观察圆内的弦，延长交圆于，从而有，与半径进行联系可得：，代入数值可得

答案：

例4：如图，是半圆的直径延长线上一点，切半圆于点，于，若，则（     ）

A.          B.         C.           D.   

思路：因为切半圆于点，所以考虑连结圆心与切点，可得：，在中具有双垂直的特点，所以只需已知两条边即可求出，由切割线定理可得：，，所以

，即，从而，由射影定理可得：

答案：B

例5：如图，为外接圆的切线，平分，交圆于，共线．若，则圆的半径是        ．

思路：由可知为圆的直径，由弦切角性质可得，且在圆中（对同弧），由平分可得，进而，在中，可知：，所以由可得：，在中，，可得，从而

答案：

例6：如图，内接于⊙，过中点作平行于的直线，交于点，交⊙于、，交⊙在点切线于点，若，则的长为            ．

思路：由为切线可想到切割线定理，所以，，只需求出即可。因为为切线，所以弦切角，因为，所以，从而，进而可证，由相交弦定理可知：，所以，所以，代入可得：

答案：

例7：如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与的延长线相交于，过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为_________

思路：由是切线且是割线可想到切割线定理，所以①，分别计算各线段长度。由,,可使用相交弦定理得：，再由可得：，所以，同时，代入①可得：

答案：

例8：如图，已知与相切，为切点，过点的割线交于两点，弦，相交于点，点为上一点，且，若，，，则          .

思路：由与相切可想到切割线定理，即，只需求出即可。从题目条件中很难直接求出这两个量，考虑寻找题目中的相似三角形。由可得：，所以①。由切割线定理可知②。因为，所以，进而，所以，则，代入，可得，所以，由①可算得，所以，。则

答案：

例9：如图，切圆于点，割线经过圆心，若，平分交圆于点，连结交圆于点，则的长等于__________

思路：由图可知若要求得，可想到切割线定理模型，只需求得即可。由割线与切线可想到切割线定理，从而可计算出，考虑计算，可将其放入中计算，已知的边有，需要求解，在中，通过边的关系可判定，进而，由角平分线可知，所以。从而可用余弦定理计算出，即可算出

解：切圆于点

 由可得：

在中，

平分   

在中，由余弦定理可得：

由切割线定理可得：　　　

答案：

例10：如图，是圆的两条平行弦，∥交于点，交圆于点，过点的切线交延长线于点，若，则的长为__________

思路：由切割线定理可得

从而，由两组平行关系可得四边形为平行四边形，从而，由可得：，若设为，则，可想到相交弦定理，①，所以只需用表示出即可得到关于的方程。因为与圆相切，所以，结合可得：，所以有，即，结合比例可知：，由相交弦定理可得： ，代入①可得：，解得：

答案：

三、历年好题精选

1、（2015，天津）如图，在圆中，是弦的三等分点，弦分别经过点，若，则线段的长为（     ）

A.           B.        C.              D. 

2、（2015，广东）如图，已知是圆的直径，，是圆的切线，切点为，过圆心作的平行线，分别交于点和点，则______

3、（2014，重庆）过圆外一点作圆的切线（为切点），再作割线依次交圆于，若，则________

4、（2015，新课标II）如图，为等腰三角形内一点，与的底边交于两点，与底边上的高交于点，且与分别相切于两点

（1）证明：

（2）若等于的半径，且，求四边形的面积

5、（2014，湖北）如图，为外一点，过点作的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交于两点，若，则_______

6、（2014，新课标全国卷I）如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且

（1）证明：

（2）设不是的直径，的中点为，且，

7、（2014，新课标II）如图，是外一点，是切线，为切点，割线与相交于点，是的中点，的延长线交于点，证明：

（1）

（2）

8、（2014，天津）如图所示：是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点，在上述条件下，给出以下四个结论：

① 平分；②；③；

④，则所有正确结论的序号是（     ）

A. ①②       B. ③④       C. ①②③      D. ①②④

9、如图，在中，，点是的中点，于，的延长线交的外接圆于点 ，则的长为__________

10、如图，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于.若，，则             .

习题答案：

1、答案：A

解析：由三等分，不妨设，则由切割线定理可得：，解得，再由切割线定理可得：，所以

2、答案：8

解析：连结，由可得，因为且圆于，所以；另一方面，由是直径可得，所以的平行线，且由是中点可得为的一条中位线，所以，则在中，由双垂直（）可用射影定理，从而

3、答案：4

解析：设，则由切割线定理可得：，解得：，，因为是切线，所以，再利用公共角可得：，所以，即

4、解析：（1）证明：是等腰三角形，且

是的平分线

为的切线   ，

（2）由（1）可知是的垂直平分线，又因为是的弦

在上

连结，则由是切线可得

设的半径为，则

可得：

均为等边三角形

，从而   

5、答案：4

解析：由切割线定理可知：，从而，由是中点可得，再由切线长相等可得

6、解析：（1）证明：四点共圆

（2）证明：设中点为，连结

在直线上

为中点，且不是的直径

即

，由（1）得

为等边三角形

7、证明：（1）连结

是中点，且

，且

（2）由切割线定理可得：

 由相交弦定理可得：

8、答案：D

解析：①因为为切线，所以，由平分可得，又因为，所以，即平分，①正确

② 由切割线定理即可得到，②正确

③ 涉及的相似三角形为：，则有，则有，结论③与之不符，③错误

④ 涉及的相似三角形为：，由即可判定，所以，即，④正确

综上所述，正确的为①②④

9、答案：                                                 

解析：连结，可得：

，由可知

所以由射影定理可知：

10、答案：

解：连结  为圆的切线

为的中位线  

是直径 

在中，根据射影定理可得：

因为   为等腰三角形