人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念优质学案

§2.1　平面向量的实际背景及基本概念

学习目标　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．

知识点一　向量的概念

思考1　在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？

答案　面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．

思考2　两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？

答案　数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．

梳理　向量与数量

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．

(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．

知识点二　向量的表示方法

思考1　向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？

答案　可以用一条有向线段表示．

思考2　0的模是多少？0有方向吗？

答案　0的模为0，方向任意．

思考3　单位向量的模是多少？

答案　单位向量的模为1个单位．

梳理　(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．

以A为起点、B为终点的有向线段记作.

(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)．

(3)向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，即有向线段的长度，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

知识点三　相等向量与共线向量

思考1　已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？

答案　因为向量和向量方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．

思考2　向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？

答案　不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．

思考3　若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？

答案　不一定．因为当b＝0时，a，c可以是任意向量．

梳理　(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．

①记法：向量a平行于b，记作a∥b.

②规定：零向量与任一向量平行．

(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．

1．向量就是有向线段．(　×　)

提示　向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段．

2．如果||＞||，那么＞.(　×　)

提示　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．

3．若a，b都是单位向量，则a＝b.(　×　)

提示　a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不同．

4．若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同．(　√　)

提示　若a＝b，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同．

5．零向量的大小为0，没有方向．(　×　)

提示　任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．

类型一　向量的概念

例1　下列说法正确的是(　　)

A．向量与向量的长度相等

B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C．零向量都是相等的

D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

考点　向量的概念

题点　向量的性质

答案　A

解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确．故选A.

反思与感悟　解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．

跟踪训练1　下列说法中正确的是(　　)

A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

C．向量的大小与方向有关

D．向量的模可以比较大小

考点　向量的概念

题点　向量的性质

答案　D

解析　不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确．

类型二　相等向量与共线向量

例2　(1)下列说法正确的是________．(填序号)

①若a≠b，则a一定不与b共线；

②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

③在平行四边形ABCD中，一定有＝；

④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；

⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.

考点　相等向量与共线向量

题点　相等向量与共线向量的性质与判定

答案　③④⑤

解析　①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；②＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，③正确；④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确；⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确；若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立，故⑥不正确．

(2)如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．

①写出与共线的向量；

②写出与的模相等的向量；

③写出与相等的向量．

考点　相等向量与共线向量

题点　几何图形中的相等向量与共线向量

解　①因为E，F分别是AC，AB的中点，

所以EF∥BC，EF＝BC.

又因为D是BC的中点，

所以与共线的向量有，，，，，，.

②与模相等的向量有，，，，.

③与相等的向量有与.

反思与感悟　相等向量与共线向量的探求方法

(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．

(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

跟踪训练2　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．

(1)与的模相等的向量有多少个？

(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？

(3)与共线的向量有哪些？

考点　相等向量与共线向量

题点　几何图形中的相等向量与共线向量

解　(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．

(2)存在．由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个．

(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个．

类型三　向量的表示及应用

例3　一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．

(1)作出向量，，；

(2)求||.

考点　向量的表示方法

题点　向量的几何表示

解　(1)向量，，如图所示．

(2)由题意，可知与方向相反，故与共线，

∵||＝||，

∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴＝，∴||＝||＝200km.

反思与感悟　准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．

跟踪训练3　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；

(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

考点　向量的表示方法

题点　向量的几何表示

解　(1)根据相等向量的定义，所作向量b与向量a平行，且长度相等(作图略)．

(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略).

1．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(　　)

A．单位圆 B．一段弧

C．线段 D．直线

考点　向量的表示方法

题点　向量的几何表示

答案　A

2．下列结论正确的个数是(　　)

①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；

②向量的模是一个正实数；

③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；

④若|a|>|b|，则a>b.

A．0B．1C．2D．3

考点　向量的概念

题点　向量的性质

答案　B

解析　①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对．

3．设b是a的相反向量，则下列说法中一定错误的是______(填序号)．

①a∥b；②a与b的长度相等；③a是b的相反向量；④a与b一定相等．

考点　相等向量与共线向量

题点　相等向量与共线向量的性质与判定

答案　④

4．如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有________．(填序号)

①＝；

②∥；

③与共线；

④＝.

考点　相等向量与共线向量

题点　几何图形中的相等向量与共线向量

答案　①②③

解析　与方向相同，长度相等，∴①正确；

∵A，O，C三点在一条直线上，∴∥，②正确；

∵AB∥DC，∴与共线，③正确；

与方向不同，∴二者不相等，④错误．

1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．

2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．

3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.

一、选择题

1．(2017·北师大附中一模)给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有(　　)

A．4个B．5个C．6个D．7个

考点　向量的概念

题点　向量的判定

答案　A

解析　速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有大小和方向．

2．下列说法正确的是(　　)

A．向量与是相等向量

B．共线的单位向量是相等向量

C．零向量与任一向量共线

D．两平行向量所在直线平行

考点　相等向量与共线向量

题点　相等向量与共线向量的性质与判定

答案　C

解析　向量与是相反向量，不是相等向量，故A错；共线的单位向量可能是相等向量，也可能是相反向量，故B错；零向量与任一向量共线，故C正确；两平行向量所在直线可能平行，也可能重合，故D错．

3．设O是△ABC的外心，则，，是(　　)

A．相等向量 B．模相等的向量

C．平行向量 D．起点相同的向量

考点　向量的表示方法

题点　向量的模

答案　B

解析　因为O是△ABC的外心，所以||＝||＝||，故选B.

4．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　)

A.与共线 B.与共线

C.与相等 D.与相等

考点　相等向量与共线向量

题点　几何图形中的相等向量与共线向量

答案　B

解析　如图所示，因为D，E分别是AB，AC的中点，由三角形的中位线定理可得DE∥BC.所以与共线．

5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是(　　)

A．与相等的向量只有1个(不含)

B．与的模相等的向量有9个(不含)

C.的模恰为的模的倍

D.与不共线

考点　向量的表示方法

题点　向量的模

答案　D

解析　由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确．而Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，

∴||＝||，故||＝||，因此选项C正确．由于＝，因此与是共线的，故选D.

6.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(　　)

A．||＝||

B.与共线

C.与共线

D.＝

考点　相等向量与共线向量

题点　几何图形中的相等向量与共线向量

答案　C

二、填空题

7．若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是________．

考点　向量的表示方法

题点　向量的几何意义及其应用

答案　西北方向5km

8．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.

考点　向量的表示方法

题点　向量的模

答案　2

解析　由题意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，

∴在Rt△ABO中，||＝||·cos30°＝2×＝，

∴||＝2||＝2.

9．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________．

考点　相等向量与共线向量

题点　相等向量与共线向量的应用

答案　菱形

解析　∵＝，∴AB＝DC，AB∥DC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．

10．某人向正东方向行进100m后，再向正南方向行进100m，则此人位移的方向是________．

考点　向量的表示方法

题点　向量的几何意义及其应用

答案　南偏东30°

解析　如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，

则tan∠BAC＝＝＝，

∵∠BAC是三角形的内角，

∴∠BAC＝60°，即位移的方向是南偏东30°.

11.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：

(1)图中与共线的向量有________；

(2)图中与相等的向量有________；

(3)图中与的模相等的向量有________；

(4)图中与相等的向量有________．

考点　相等向量与共线向量

题点　几何图形中的相等向量与共线向量

答案　(1)，，，，，，

(2)，

(3)，，，，，，，，

(4)

三、解答题

12.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．

(1)画出，，，；

(2)求B地相对于A地的位置向量．

考点　向量的表示方法

题点　向量的几何意义及其应用

解　(1)向量，，，，如图所示．

(2)由题意知＝，

∴AD∥BC，AD＝BC，

则四边形ABCD为平行四边形，

∴＝，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，长度为6千米”．

13.如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，求证：＝.

考点　相等向量与共线向量

题点　相等向量与共线向量的性质和判定

证明　∵＝，∴AB＝DC且AB∥DC，

∴四边形ABCD是平行四边形，∴＝，

又＝，∴CN＝MA，CN∥MA，

∴四边形CNAM是平行四边形，

∴＝，∴CM＝NA，CM∥NA.

∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN.

又DN∥MB，∴与的模相等且方向相同，

∴＝.

四、探究与拓展

14．给出以下5个条件：

①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号)

考点　相等向量与共线向量

题点　相等向量与共线向量的性质与判定

答案　①③④

解析　相等向量一定是共线向量，故①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a∥b；零向量与任一向量平行，故④成立．

15．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.

(1)画出所有的向量；

(2)求||的最大值与最小值．

考点　向量的表示方法

题点　向量的几何表示，向量的模

解　(1)画出所有的向量，如图所示．

(2)由(1)所画的图知，

①当点C位于点C1或C2时，

||取得最小值＝；

②当点C位于点C5或C6时，

||取得最大值＝.

所以||的最大值为，最小值为.