高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案设计

§2.3.3  直线与平面垂直的性质

一、教材分析

    空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与平面垂直的性质定理的应用.

二、教学目标

1．知识与技能

（1）使学生掌握直线与平面垂直的性质定理；

（2）能运用性质定理解决一些简单问题；

（3）了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互关系.

2．过程与方法

（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；

3．情感、态度与价值观

通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.

三、教学重点与难点

直线与平面垂直的性质定理及其应用.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）复习

    直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：

图1

如图1，表示方法为：a⊥α.

由直线与平面垂直的定义不难得出：b⊥a.

（二）导入新课

思路1.(情境导入)

    大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？

思路2.(事例导入)

如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？

图2

（三）推进新课、新知探究、提出问题

①回忆空间两直线平行的定义.

②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？

③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系.

④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.

⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？

讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.

②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.

图3

③如图4，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？

图4                 图5

棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间互相平行.

④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：

垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.

直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：b∥a.

直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.

⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系.

（四）应用示例

思路1

例1  证明垂直于同一个平面的两条直线平行.

解:已知a⊥α,b⊥α.

求证：a∥b.

图6

证明：（反证法）如图6，假定a与b不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O∈b′,a∥b′.

直线b′与直线b确定平面β，设α∩β=c,则O∈c.

∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.

∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β,

a∥b′显然不可能，因此b∥a.

例2  如图7，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,aα,a⊥AB.

求证:a∥l.

图7

证明：l⊥平面EAB.

又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA.

又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.

∴a∥l.

思路2

例1  如图8,已知直线a⊥b，b⊥α，aα.

求证：a∥α.

图8

证明：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′作平面β，设α∩β=a′,

∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b,

∴b′⊥α.

又∵a′α,∴b′⊥a′.

由a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.

例2  如图9，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

（1）求证：MN⊥CD；

（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.

图9

证明：(1)取PD中点E,又N为PC中点,连接NE,则NE∥CD,NE=CD.

又∵AM∥CD,AM=CD,

∴AMNE.

∴四边形AMNE为平行四边形.

∴MN∥AE.

∵CD⊥AE.

(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD为等腰直角三角形,

则AE⊥PD.又MN∥AE,

∴MN⊥PD,PD∩CD=D.

∴MN⊥平面PCD.

变式训练

    已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面α相交，并且和a、b、c三条直线成等角.求证：l⊥α.

证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO.设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，

∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，

∴△POA≌△POB≌△POC.

∴PA=PB=PC.取AB的中点D,

连接OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB.

∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.

∵PO平面POD,∴PO⊥AB.

同理,可证PO⊥BC.

∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.

若l不经过点O时，可经过点O作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α，

∴l⊥α.

（五）知能训练

如图10，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,

（1）求证：BD1⊥平面B1AC;

（2）求B到平面B1AC的距离.

图10

（1）证明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C,∴B1C⊥面ABC1D1.

又BD1面ABC1D1,∴B1C⊥BD1.

∵B1B⊥AC，BD⊥AC,

∴AC⊥面BB1D1D.又BD1面BB1D1D,∴AC⊥BD1.

∴BD1⊥平面B1AC.

（2）解:∵O∈BD,∴连接OB1交BD1于E.

又O∈AC，∴OB1面B1AC.

∴BE⊥OE，且BE即为所求距离.

∵,∴BE=·OB=.

（六）拓展提升

    已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α内，AB∶CD=4∶6，AB到α的距离为10 cm，求梯形对角线的交点O到α的距离.

图11

解：如图所示，过B作BE⊥α交α于点E，连接DE,

过O作OF⊥DE交DE于点F,

∵AB∥CD，ABα，CDα，∴AB∥α.又BE⊥α,

∴BE即为AB到α的距离，BE=10 cm且∠BED=90°.

∵OF⊥DE,∴OF∥BE,得.

∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.

∴，得.

又，BE=10 cm,

∴OF=×10=6（cm）.

∵OF∥BE，BE⊥α.

∴OF⊥α，即OF即为所求距离为6 cm.

（七）课堂小结

知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.

思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.

（八）作业

课本习题2.3   B 组1、2.