数学人教版新课标A2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教学设计

§3.2  直线的方程

§3.2.1  直线的点斜式方程

一、教材分析

    直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kx＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.

    在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.

二、教学目标

1．知识与技能

（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；

（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.

2．过程与方法

在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.

3．情态与价值观

通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.

三、教学重点与难点

教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.

教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1.方程y=kx＋b与直线l之间存在着什么样的关系？

让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即

（1）直线l上任意一点P(x1,y1)的坐标是方程y=kx＋b的解.

（2）(x1,y1)是方程y=kx+b的解点P(x1,y1)在直线l上.

这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).

思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：

    一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？

②已知直线l的斜率k且l经过点P1(x1,y1)，如何求直线l的方程?

③方程导出的条件是什么？

④若直线的斜率k不存在，则直线方程怎样表示？

⑤k=与y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗？

⑥已知直线l的斜率k且l经过点（０，ｂ），如何求直线l的方程？

讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:

a.确定一条直线只需知道k、b即可；

b.确定一条直线只需知道直线l上两个不同的已知点.

②设P(x，y)为l上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=,化简,得y－y1=k(x－x1).

③方程导出的条件是直线l的斜率k存在.

④a.x=0；b.x=x1.

⑤启发学生回答:方程k=表示的直线l缺少一个点P1(x1,y1),而方程y－y1=k(x－x1)表示的直线l才是整条直线.

⑥y=kx+b.

（三）应用示例

思路1

例1  一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.

图1

解:这条直线经过点P1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,

这就是所求的直线方程,图形如图1所示.

点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力.

变式训练

    求直线y=-(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.

解：设直线y=-(x-2)的倾斜角为α，则tanα=-，

又∵α∈［0°,180°)，

∴α=120°.

∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.

例2  如果设两条直线l1和l2的方程分别是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2，试讨论:

（1）当l1∥l2时，两条直线在y轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？

（2）l1⊥l2的条件是什么？

活动:学生思考：如果α1=α2，则tanα1=tanα2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l1∥l2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b1≠b2且k1=k2，则l1与l2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据.

解:（1）当直线l1与l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，直线l1∥l2k1=k2且b1≠b2.

(2)l1⊥l2k1k2=-1.

变式训练

    判断下列直线的位置关系:

(1)l1:y=x+3,l2:y=x-2;

(2)l1:y=x,l2:y=-x.

答案：(1)平行；(2)垂直.

思路2

例1  已知直线l1：y=4x和点P(6，4)，过点P引一直线l与l1交于点Q，与x轴正半轴交于点R，当△OQR的面积最小时，求直线l的方程.

活动:因为直线l过定点P(6，4)，所以只要求出点Q的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l的方程.

解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y－4=k(x－6),

当l的方程为x=6时，△OQR的面积为S=72；

当l的方程为y－4=k(x－6)时，有R(,0)， Q（,)，

此时△OQR的面积为S=××=.

变形为(S－72)k2＋(96－4S)k－32=0(S≠72).

因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得S≥40.

当且仅当k=－1时，S有最小值40.

因此，直线l的方程为y－4=－(x－6)，即x＋y－10=0.

点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.

变式训练

    如图2，要在土地ABCDE上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m2）（单位：m）.

图2

解：建立如图直角坐标系，在线段AB上任取一点P分别向CD、DE作垂线，划得一矩形土地.

∵AB方程为=1,则设P(x,20-)(0≤x≤30),

则S矩形=(100-x)［80-(20-)］

=-(x-5)2+6 000+(0≤x≤30),

当x=5时，y=，即P（5，）时，(S矩形)max=6 017(m2).

例2  设△ABC的顶点A(1，3)，边AB、AC上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1=0，y=1，求△ABC中AB、AC各边所在直线的方程.

活动:为了搞清△ABC中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.

解:如图3,设AC的中点为F，AC边上的中线BF：y=1.

图3

AB边的中点为E，AB边上中线

CE：x－2y＋1=0.

设C点坐标为(m，n),则F().

又F在AC中线上,则=1,

∴n=-1.

又C点在中线CE上，应当满足CE的方程，则m－2n＋1=0.

∴m=－3.∴C点为(－3，－1).

设B点为(a,1),则AB中点E(),即E(,2).

又E在AB中线上,则-4+1=0.∴a=5.

∴B点为(5，1).

由两点式,得到AB，AC所在直线的方程AC：x－y＋2=0,AB：x＋2y－7=0.

点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：

(1)中点分式要灵活应用；

(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.

变式训练

    已知点M（1，0），N（－1，0）,点P为直线2x-y-1=0上的动点，则|PM|2+|PN|2的最小值为何？

解：∵P点在直线2x-y-1=0上,∴设P（x0,2x0-1）.

∴|PM|2+|PN|2=10(x0-)2+≥.

∴最小值为.

（四）知能训练

课本本节练习1、２、３、４.

（五）拓展提升

已知直线y=kx＋k＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k的取值范围.

图4

活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kx＋k＋2，我们发现它可以变为y－2=k(x＋1)，这就可以看出，这是过(－1，2)点的一组直线.设这个定点为P(－1，2).

解：我们设PA的倾斜角为α1，PC的倾斜角为α，PB的倾斜角为α2，且α1＜α＜α2.

则k1=tanα1＜k＜k2=tanα2.

又k1==-5，k2==-，

则实数k的取值范围是-5＜k＜-.

（六）课堂小结

通过本节学习，要求大家：

1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.

2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.

（七）作业

习题3.2  A组2、3、5.