高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质评课ppt课件

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点、直线、平面之间的位置关系
2.3　直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.3　直线与平面垂直的性质
1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)A．相交　　　B．平行C．异面　　　D．相交或平行[解析]　由直线与平面垂直的性质定理可知，这条垂线与圆柱的母线所在直线平行．
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1C1，则有(　　)A．B1B⊥l　　　B．B1B∥lC．B1B与l异面　　　D．B1B与l相交[解析]　因为B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，则l∥B1B．
3．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是(　　)A．相交　　　B．平行C．异面　　　D．不确定[解析]　∵AD∥BC，∴梯形ABCD确定一个平面α．∵l⊥AB，l⊥CD，AB和CD相交．∴l⊥α.由于AD∥BC，m⊥AD，m⊥BC，则m⊥α或m∥α或m⊂α或m与α相交，则l∥m或l与m异面或l与m相交．
4．在三棱锥V－ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件______________________________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)[解析]　∵VC⊥VA，VC⊥VB，VA∩VB＝V，∴VC⊥平面VAB，∴VC⊥AB．
VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一)　
命题方向1　⇨利用线面垂直的性质证明平行问题
　　　　　如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1．[思路分析]　要证明EF∥BD1，转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C．
[解析]　如图所示，连接AB1，B1C，BD.因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC．又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1．又BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1．同理可证BD1⊥B1C．又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C．因为EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C．又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C．所以EF∥BD1．
『规律方法』　当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．
〔跟踪练习1〕如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l．
[解析]　∵EB⊥β，a⊂β，∴EB⊥a．又∵a⊥AB，AB∩EB＝B，∴a⊥平面ABE．∵α∩β＝l，∴l⊂α，l⊂β．∵EA⊥α，EB⊥β，∴EA⊥l，EB⊥l．又∵EA∩EB＝E，∴l⊥平面ABE．∴a∥l．
命题方向2　⇨利用线面垂直的性质证明垂直问题
　　　　　已知α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R．求证：QR⊥AB．[思路分析]　证AB与QR所在的平面垂直，再根据线面垂直的定义，即可证明QR⊥AB．
[解析]　如图所示，因为α∩β＝AB，PO⊥β于O，所以PO⊥AB．因为PQ⊥α于Q，所以PQ⊥AB．因为PO∩PQ＝P，所以AB⊥平面PQO．因为OR⊥α于R，所以PQ∥OR．因为PQ与OR确定平面PQRO．又因为QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，所以AB⊥QR．
〔跟踪练习2〕如图，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于E，EF⊥SC于F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若SD交平面AEF于G，求证：AG⊥SD．
[解析]　(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC．因为ABCD是矩形，所以AB⊥BC．又SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE．又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC．因为SC⊂平面SBC，所以AE⊥SC．又EF⊥SC，EF∩AE＝E，所以SC⊥平面AEF．所以AF⊥SC．
(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．又AD⊥DC，SA∩AD＝A，所以DC⊥平面SAD.因为AG⊂平面SAD，所以DC⊥AG．又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF．所以SC⊥AG.又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC．因为SD⊂平面SCD，所以AG⊥SD．
　　　　　在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．(1)已知AB＝BC，AE＝EC．求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC．
转化思想在线线、线面垂直中的应用
[解析]　(1)连接ED，因为AB＝BC，AE＝EC，D为AC的中点，所以AC⊥DE，AC⊥DB，DE∩DB＝D，又EF∥DB，所以E，F，B，D四点共面，所以AC⊥平面EFBD，所以AC⊥FB．(2)取FC中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC，又EF∥DB，所以GI∥BD，又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，所以，平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GN∥平面ABC．
〔跟踪练习3〕如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．求证：(1)DF∥平面ABC；(2)AF⊥BD．
　　　　　已知a⊄α，a⊥b，b⊥α，求证a∥α．[错解]　∵b⊥α，a⊥b，∴a⊂α或a∥α．又∵a⊄α，∴a∥α．[错因分析]　推理过程逻辑不严密，理由与结论衔接不恰当．[思路分析]　本题垂直关系比较分散，不能按平面几何的方法进行论证，应将其集中到一个平面内，然后用平面几何知识解决．
推理过程不严密，张冠李戴，理由与结论衔接不恰当
[正解]　如图，在a上任取一点A，过点A作直线b′∥b.设b′∩α＝B，过直线a，b′作平面β，β∩α＝l．∵b⊥α，∴b⊥l．又∵b⊥a，b∥b′，∴b′⊥a，b′⊥l．又∵a，l同在β内，∴a∥l．又∵a⊄α，l⊂α，∴a∥α．
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l、m的位置关系是(　　)A．相交　　　B．平行　　　C．异面　　　D．不确定[解析]　∵AB ⊂α，AC⊂α，l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥α．又∵BC⊂α，m⊥BC，m⊥AC，BC∩BC＝C，∴m⊥α，∴l∥m．
2．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝_____．[解析]　因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6．
3．如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a⊂α，a⊥AB．求证：a∥l．[证明]　∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l，同理PB⊥l．∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB．∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a．∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB．∴a∥l．
课 时 作 业 学 案