人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质课文内容ppt课件

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点、直线、平面之间的位置关系
2.3　直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.4　平面与平面垂直的性质
教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？怎样画一条直线方能与地面垂直？
平面与平面垂直的性质定理
1．已知平面α⊥平面β，则下列结论正确的个数是(　　)①α内垂直于α与β交线的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α．A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1
2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　　)A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直[解析]　∵平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1．
3．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　)A．平行　　　B．共面　　　C．垂直　　　D．不垂直
[解析]　如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC．∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C．又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C．
4．已知三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC．(1)求证：AB⊥BC；(2)若AB＝BC，过点A作AF⊥PB于点F，连接CF，求证：平面PBD⊥平面AFC．[解析]　如图所示：
(1)取AC的中点D，连接PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴PD⊥平面ABC，D为垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC，∴AC为△ABC的外接圆的直径，故AB⊥BC．(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP．∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC．
命题方向1　⇨面面垂直性质的应用
　　　　　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD．
[思路分析]　解答本题可先由面面垂直依据面面垂直的性质定理得线面垂直．[解析]　连接PG，BD，∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD．
『规律方法』　1.若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的定理将其转化为线面垂直、线线垂直．在应用面面垂直的性质定理时，注意三点：①两个平面垂直，是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．2．先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．
〔跟踪练习1〕已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．[解析]　如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC．
命题方向2　⇨与面面垂直有关的计算
　　　　　如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC、BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长．
[思路分析]　要求CD的长，由BD⊥l，α⊥β易知△BCD为直角三角形，已知BD的长，只要知道BC的长即可．由AC⊥l知△ABC为直角三角形，从而可解．
『规律方法』　1.与面面垂直有关的计算问题的类型：(1)求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等．(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等．(3)求几何体的体积或平面图形的面积．2．计算问题的解决方法：(1)上述计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法．
〔跟踪练习2〕如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α、β所成的角分别为45°和30°，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，且AB＝12，求A′B′的长．
线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想，其转化关系如下：
转化思想在线线、线面、面面垂直关系中的应用
　　　　　已知：α，β，γ是三个不同的平面，l为直线，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：l⊥γ．
[解析]　证法一：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，∵α⊥γ，β⊥γ，则PA⊥α，PB⊥β，∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB，∵PA与PB相交，又PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ．
『规律方法』　(1)证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是解法三的关键．通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．
又在原题条件下，添加条件b∥α，b∥β，求证b⊥γ.在l上任取一点B，过b和B的平面交α于过B的直线a′，交β于过B的直线a″，∵b∥α，∴a′∥b，同理b∥a″，∵a′和a″同时过B且平行于b．∴a′和a″重合于直线l，由l⊥γ可得b⊥γ．(2)在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等．这些条件一方面有很强的约束性；另一方面又为证明指出了方向．在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性．
　　　　　如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由．
考虑问题不全面，导致证明过程不严谨
[错解]　平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：假设平面EBD垂直于平面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO、CO．∵EO⊂平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，∴EO⊥平面ABCD．又∵PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA．又∵E是PC的中点，∴O是AC的中点．又∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO．又∵AO＝OC，∴AB＝CD，这与CD＝2AB矛盾，∴假设不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD．
[错因分析]　错误的原因是默认了A、O、C三点共线，而A、O、C三点若不共线，则△ABO∽△CDO不成立．事实上，很容易证A、O、C三点共线，由于A、O、C是PC上三点P、E、C在平面ABCD上的投影，故P、E、C三点的投影均在直线AC上，故A、O、C三点共线，补上这一点证明就完整了．[正解]　平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：假设平面EBD垂直于平面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO、CO．∵EO⊂平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，∴EO⊥平面ABCD．
又∵PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA．∵A、O、C是PC上三点P、E、C在平面ABCD上的投影，∴P、E、C三点的投影均在直线AC上，∴A、O、C三点共线．又∵E是PC的中点，∴O是AC的中点．又∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO．又∵AO＝OC，∴AB＝CD，这与CD＝2AB矛盾，∴假设不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD．
1．设两个平面互相垂直，则(　　)A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上C．在一个平面内过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直[解析]　由面面垂直的性质可知，选C．
2．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC[解析]　∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB．又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，∴PD⊥平面ABC．
3．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．求证：(1)EF⊥CD；(2)平面SCD⊥平面SCE．
(2)在Rt△SAE和Rt△CBE中，∵SA＝CB，AE＝BE，∴Rt△SAE≌△Rt△CBE，∴SE＝EC，即△SEC为等腰三角形．∵F为SC的中点，∴EF⊥SC．又∵EF⊥CD，且SC∩CD＝C，∴EF⊥平面SCD．又∵EF⊂平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE．
课 时 作 业 学 案