第五章数列专练11—综合练习（一）-2021届高三数学一轮复习
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一、单选题
1．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知等比数列中，公比，若，则有
A．最小值 B．最大值 C．最小值12 D．最大值12
3．数列的首项为1，数列为等比数列且，若，则
A．4 B．8 C．16 D．32
4．设是等差数列，下列结论中正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．已知等差数列前项和为．且，，则此数列中绝对值最小的项为
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
6．设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项分别为，，，则下列等式中恒成立的是
A． B．
C． D．
7．定义在，，上的函数，如果对于任意给定的等比数列，若仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”现有定义在，，上的如下函数：
①②③④．
则其中是“保等比数列函数的序号为
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
8．已知数列的前项的和为，且，，．又已知当时，恒成立．则使得成立的正整数的取值集合为
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
9．已知等比数列中，满足，公比，则
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．数列是等比数列 D．数列是递减数列
10．已知数列前项和为，且，为非零常数），则下列结论中正确的是
A．数列为等比数列
B．时，
C．当时，
D．
11．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是
A．数列是等比数列
B．若，，则
C．若，则数列是递增数列
D．若数列的前和，则
12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．记为等差数列的前项和．若，，则 ．
14．已知数列满足，则前48项之和为 ．
15．由数列和的公共项组成的数列记为，已知，，若为递增数列，且，则 ．
16．已知，点，在函数的图象上，，则数列的前项和 ．
四、解答题
17．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
18．已知公比大于1的等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间，中的项的个数，求数列的前100项和．
19．已知正项等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前项和为．．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和的取值范围．
20．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：，设的前项的和为，求证：．
21．已知数列，，满足，，，．
（Ⅰ）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）若为等差数列，公差，证明：，．
22．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，，1，，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，2，，，其中，，．假设，．
证明：，1，2，，为等比数列；
求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
数列专练11—综合练习（一）答案
1．解：等比数列，，，，满足公比，但不是递增数列，充分性不成立．
若为递增数列，但不成立，即必要性不成立，
故“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：．
2．解：等比数列中
公比，，，，
当且仅当，即时取等号（因为故舍去）
所以有最小值12．故选：．
3．解：由，所以，
因为，所以，
因为数列为等比数列，且，所以．故选：．
4．解：若，则，，时，结论成立，即不正确；
若，则，，时，结论成立，即不正确；
是等差数列，，，，即正确；
若，则，即不正确．
故选：．
5．解：，
，，
，
数列中绝对值最小的项是
故选：．
6．解：因为是任意等比数列，
所以，，也成等比数列，
即，，成等比数列，
所以，即，
化简得，即，
故选：．
7．解：根据题意，由等比数列性质知，
（1）、，，故（1）是“保等比数列函数”；
（2）、，，故（2）不是“保等比数列函数”；
（3）、，，故（3）是“保等比数列函数”
（4）、，则，故（4）不是“保等比数列函数”；
故选：．
8．解：当时，恒成立，
当时，恒成立，
相减可得：，
化为：，
数列是等差数列，
，，．，
，，，
公差．
．
．
．
．
成立，
成立，
化为：，
解得．
使得成立的正整数的取值集合为，．
故选：．
9．解：等比数列中，满足，公比，
．
由此可得 ，故错误；
，故数列是等比数列，故正确；
，故数列是等比数列，故正确；
，故数列是递增数列，故错误，
故选：．
10．解：数列前项和为，且，为非零常数），
得，
当时，，
两式相减得：，
由于，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
故正确．
所以由的，，故错误．
由可知，解得，故正确．
由于，，故错误．
故选：．
11．解：由数列是等比数列，知：
在中，，
是常数，
数列是等比数列，故正确；
在中，若，，则，故错误；
在中，若，则，数列是递增数列，故正确；
在中，若数列的前和，
则，
，
，
，，成等比数列，
，
，
解得，故错误．
故选：．
12．解：．由，，，可得成立；
．由，，，可得，，成立；
．由，，，，，可得：．
故是斐波那契数列中的第2020项．即答案不成立；
．斐波那契数列总有，则
，
，
，
，
即答案 成立
13．解：设等差数列的公差为，则
由，可得，，
，
故答案为：4．
14．解：由，
时，，，
时，，
，．
则数列的前48项和，
故答案为：1176．
15．解：由已知，设，
即，，所以不是公共项，
，
故，
故当时，，
此时，
解得，
所以，
故答案为：352．
16．解：由已知可得：，，
，，
两边去对数得：，即，
数列是首项为，公比为2的等比数列，
，，又，
，，又，
，，
，，，，
故答案为：．
17．解：（1）设是公比不为1的等比数列，
为，的等差中项，可得，
即，
即为，
解得舍去），
所以的公比为；
（2）若，则，
，
则数列的前项和为，
，
两式相减可得
，
化简可得，
所以数列的前项和为．
18．解：（1），，
，
解得或（舍去），
，
，
（2）记为在区间，中的项的个数，
，
，
故，，，，，，，
，，，，，，，，，，
可知0在数列中有1项，1在数列中有2项，2在数列中有4项，，
由，
可知，．
数列的前100项和．
19．解：（1）设等差数列的公差为，由，且，，成等比数列，
，即，由已知，解得，
，
由，可得，
数列是首项为为，公比为的等比数列，
则．
（2），
，
又数列单调递增，，
则的取值范围是，．
20．解：（Ⅰ）由是，的等差中项得，
所以，解得，
由，得，解得或，
因为，所以．
所以．
（Ⅱ）证明：，
，
又有，
．
21．（Ⅰ）解：由题意，，，
，，
整理，得，
解得（舍去），或，
，
数列是以1为首项，4为公比的等比数列，
，．
，
则，
，
，
，
各项相加，可得
．
（Ⅱ）证明：依题意，由，可得
，
两边同时乘以，可得
，
，
数列是一个常数列，且此常数为，
，
，
又，，
，
，
，故得证．
22．（1）解：的所有可能取值为，0，1．
，，，
的分布列为：
| 0 | 1 | |
|
|
|
|
（2）证明：，，
由（1）得，，，．
因此，2，，，
故，即，
又，，1，2，，为公比为4，首项为的等比数列；
解：由可得，
，
，，
．
表示最终认为甲药更有效的概率．
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
