第五章数列专练12—综合练习（二）-2021届高三数学一轮复习

数列专练12—综合练习（二）

一、单选题

1．已知数列{an}且满足：，且，则Sn为数列{an}的前n项和，则S2020＝（　　）

A．2019 B．2021 C．2022 D．2023

2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，且，则等比数列公比q（　　）

A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值 

C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值

3．已知等差数列{an}的首项为a1，公差d≠0，记Sn为数列{（﹣1）n•an}的前n项和，且存在k∈N*，使得成立，则（　　）

A． B． C． D．

4．已知数列的前n项的和为Sn，且Sn＝2an﹣3n（n∈N*），则（　　）

A．{an}为等比数列 B．{an}为摆动数列 

C． D．

5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若m为大于1的正整数，且，，则m＝（　　）

A．1000 B．1010 C．1020 D．1030

6．已知前n项和为Sn，的数列{an}满足，，则（　　）

A．62 B．63 C．64 D．65

7．已知数列{an}的各项均为正数，且满足，，设Sn为数列{an}的前n项和，则S2019＝（　　）

A．2019×22020+2 B．2019×22020﹣2 

C．2018×22020+2 D．2018×22020﹣2

8．已知数列{an}满足：（a∈R，n∈N*），且a1＝，则下列说法错误的是（　　）

A．存在a∈R，使得{}为等差数列 

B．当a＝﹣1时，

C．当a＝2时，a1＜a2＜a3＜…＜an＜ 

D．当a＝4时，{}是等比数列

二、多选题

9．已知等差数列的首项是正数，记为数列的前项和，若，则下列结论中正确的有　　

A． 

B． 

C．是先增后减数列 

D．且为的最大值

10.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是　　

A． B． 

C．的最大值为 D．的最大值为

11．定义在，，上的函数，如果对于任意给定的等比数列，数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在，，上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为　　

A． B． C． D．

12．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数，下列说法正确的是　　

A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 

B．已知，则是间隔递增数列 

C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2 

D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则

三、填空题

13．已知数列各项均为正数，为其前项和．若，，则　　．

14．无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”．若为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则　　．

15．数列中，，，若，则　　．

16．在数列中，，且，则数列的前2021项和为　　．

四、解答题

17．数列中，，．

（1）求的通项公式；

（2）求满足的的最大值．

18．记为等差数列的前项和．已知．

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求使得的的取值范围．

19．已知数列和满足，，，．

（1）证明：是等比数列，是等差数列；

（2）求和的通项公式．

20．等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）数列的前项和为，求证：．

21．已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

22．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，设数列的前项和为，求的最大值与最小值．

数列专练12—综合练习（二）答案

1．解：由，a1＝4，

可得，，，

所以数列{an}是以3为周期的数列，

S3＝a1+a2+a3＝3，

所以S2020＝673S3+a1＝673×3+4＝2023．

故选：D．

2．解：根据题意，等比数列{an}中，若an＞0，则q＞0，

当q＝1时，S2n＝2Sn，≤2成立，

当q≠1时，＝＝＝1+qn≤2，解可得0＜q＜1，

综合可得：0＜q≤1，即公比q有最大值，无最小值，

故选：A．

3．解：若k＝2n﹣1（n∈N*）为奇数，则﹣a1+a2﹣a3+a4﹣……﹣a2n﹣1+a2n＝0，则nd＝0，可得d＝0，与已知d≠0矛盾，舍去．

若k＝2n（n∈N*）为偶数，则﹣a1+a2﹣a3+a4﹣……﹣a2n﹣1+a2n﹣a2n+1＝0，则nd﹣a1﹣2nd＝0，可得a1+nd＝0，∵d≠0，n∈N*，∴a1d＜0．

故选：B．

4．解：∵Sn＝2an﹣3n（n∈N*）①，

∴当n＝1时，有S1＝2a1﹣3，解得：a1＝3；

当n≥2时，有Sn﹣1＝2an﹣1﹣3（n﹣1）②，

由①﹣②可得：an＝2an﹣2an﹣1﹣3，

即an＝2an﹣1+3，

∴an+3＝2（an﹣1+3），

又∵a1+3＝6≠0，

∴数列{an+3}是首项为6，公比为2的等比数列，

∴an+3＝6×2n﹣1＝3×2n，

∴an＝3（2n﹣1），Sn＝6（2n﹣1）﹣3n＝6×2n﹣6﹣3n，

故选：D．

5．解：Sn是等差数列{an}的前n项和，若m为大于1的正整数，

且3am﹣1﹣2am2+3am+1＝4，

则：am2﹣3am+2＝0

解得：am＝1，am＝2

S2m﹣1＝＝（2m﹣1）am＝4038，

当am＝1时，（2m﹣1）＝4038，此时解不合题意，

当am＝2时，（2m﹣1）×2＝4038，解得：m＝1010

故选：B．

6．解：∵＝＝＝4，∴数列{an}的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以2为首项，4为公比的等比数列．

∴an＝，即an＝2n﹣1，

∴＝＝1＝26＝65．

故选：D．

7．解：因为，

所以[nan+1+2（n+1）an][nan﹣2（n+1）an]+[nan+1﹣2（n+1）an]＝0，

所以[nan+1+2（n+1）an+1][nan+1﹣2（n+1）an]＝0，

因为数列{an}的各项均为正数，所以nan+1﹣2（n+1）an＝0，即＝2•，

又因为a1＝2，

所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，

所以，即，

故①，

②，

①﹣②得：，

所以，

所以．

故选：C．

8．解：对于A，当a＝0时，＝＝1+，

∴存在a∈R，使得{}为等差数列，故A正确；

对于B，当a＝﹣1时，，，a3＝﹣2，a4＝3，，

∴an+4＝an，∴数列{an}是周期为4的周期数列，

∴当a＝﹣1时，a2020＝a4＝3，故B正确；

对于C，当a＝2时，，

若an＞0，则an+1＞0，又＞0，可知对任意n∈N*，有an＞0，

∵﹣＝，

＝＜0，

∴不可能有成立，故C错误；

对于D，当a＝4时，，

若an＞0，则an+1＞0，

∵，可知对任意n∈N*，有an＞0，

∴﹣1＝，

∵＝•

＝＝﹣3，

∴当a＝4时，{}是等比数列，故D正确．

故选：C．

9．解：，

，

，

，，

数列是递减数列，且公差，故选项、正确，选项错误；

又，选项正确，

故选：．

10.解：，，，，

由，得，，若不然，，则，又，，不成立，

又时，有，显然与已知矛盾，

综上，有，故选项正确；

，，数列是正项的递减数列，没最大值，故选项错误；

又，，，最大，故选项错误；选项正确．

故选：．

11．解：设等比数列的公比为．

对于，，故是“保等比数列函数”；

对于，则常数，故不是“保等比数列函数”；

对于，则，故是“保等比数列函数”；

对于，则常数，故不是“保等比数列函数”．

故选：．

12．解：，

因为，所以当 时，，故错误；

，

令， 在单调递增，则（1），解得，故正确；

，

当 为奇数时，，存在 成立，

当 为偶数时，2 ，存在 成立，

综上： 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；

．若 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则

，成立，

则，对于 成立，且对于 成立，

即，对于 成立，且，对于 成立，

所以，且，

解得，故正确．

故选：．

五、填空题

13．解：，

，

又数列各项均为正数，，即，

数列是以为首项，2为公比的等比数列，

．

故答案为：127．

14．解：前四项成等比数列，，，

公比，，，

又为“和谐递进数列”， ，

，，，

，

．

．

故答案为：7576．

15．解：由题意，可令，则

，

即，

故数列是以3为首项，3为公差的等差数列，

，，

，

，

，

解得，

，

，解得．

故答案为：6．

16．解：由且，变形为：，

，

数列是等比数列，首项为，公比为3．

，

．

数列的前2021项和．

故答案为：．

17．解：（1）．

，又，

数列是以3为首项，2为公差的等差数列，

，；

（2）由（1）知，，

，

，，

，，，

的最大值为9．

18．解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，

若，则，变形可得，即，

若，则，

则，

（2）若，则，

当时，不等式成立，

当时，有，变形可得，

又由，即，则有，即，则有，

又由，则有，

则有，

综合可得：的取值范围是，．

19．解：（1）证明：，；

，；

即，；

又，，

是首项为1，公比为的等比数列，

是首项为1，公差为2的等差数列；

（2）由（1）可得：，

；

，

．

20．解：（Ⅰ）由题意得，

解得：（不符）或，

所以．

则当时．

当时符合，所以．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

所以．

21．（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由已知，得，而，所以．又因为，解得．所以，．

由，可得．

由，可得，联立①②，解得，，

由此可得．

所以，的通项公式为，的通项公式为．

（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有，，

上述两式相减，得．

得．

所以，数列的前项和为．

22．解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

则分

解得，，分

所以，．                 分

（2）由（1）得，

故，分

当为奇数时，，随的增大而减小，所以；分

当为偶数时，，随的增大而增大，所以，分

令，，则，故在时是增函数．

故当为奇数时，；                  分

当为偶数时，，分

综上所述，的最大值是，最小值是．    分．