2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第一章　集合与常用逻辑用语1.2

§1.2　常用逻辑用语
最新考纲
考情考向分析
1.了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系.
2.理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.



1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p

概念方法微思考
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
提示　若AB，则p是q的充分不必要条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“对顶角相等”是命题．(　√　)
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　×　)
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　√　)
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　)
(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　√　)
(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(　√　)
题组二　教材改编
2．[P8T3]下列命题是真命题的是(　　)
A．矩形的对角线相等
B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若整数a是素数，则a是奇数
D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题
答案　A
3．[P12练习T2(2)]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案　充分不必要
题组三　易错自纠
4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)
A．若x C．若x>y，则x2>y2 D．若x≥y，则x2≥y2
答案　B
解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
5．(2013·浙江)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　φ＝⇒f(x)＝Acos＝－Asin ωx为奇函数，∴“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要条件．
又f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇒f(0)＝0⇒φ
＝＋kπ(k∈Z)⇏φ＝.
∴“f(x)是奇函数”不是“φ＝”的充分条件．
6．已知集合A＝，B＝{x|－1 答案　(2，＋∞)
解析　A＝＝{x|－1 ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1>3，即m>2.

题型一　命题及其关系
1．下列命题是真命题的是(　　)
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x＜y，则x2＜y2
答案　A
2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)
A．不拥有的人们会幸福
B．幸福的人们不都拥有
C．拥有的人们不幸福
D．不拥有的人们不幸福
答案　D
3．(2019·温州模拟)下列命题：
①“若a2 ②“全等三角形的面积相等”的逆命题；
③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；
④“若x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中正确的命题是(　　)
A．③④ B．①③
C．①② D．②④
答案　A
解析　对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A.
4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是_______．
答案　若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
题型二　充分条件、必要条件的判定
例1 (1)(2018·浙江)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，
但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，
∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．
故选A.
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由5x－6>x2，得2 所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
跟踪训练1 (1)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(　　)
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
答案　D
解析　非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．
(2)(2017·浙江)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0，
∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．

题型三　充分条件、必要条件的应用
例2 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，求m的取值范围．
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由“x∈P”是“x∈S”的必要条件，知S⊆P.
又因为集合S非空，
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件，
即所求m的取值范围是[0,3]．
引申探究
1．若本例条件不变，问是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．
解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
所以所以
即不存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．
2．本例条件不变，若“x∈∁RP”是“x∈∁RS”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解　由本例知P＝{x|－2≤x≤10}，
因为“x∈∁RP”是“x∈∁RS”的必要不充分条件，
所以PS.
即[－2,10][1－m,1＋m]．
所以或
所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练2 (1)若“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，则实数a的最小值为________．
答案　3
解析　由x2－x－6＞0，解得x＜－2或x＞3.
因为“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，
所以{x|x＞a}是{x|x＜－2或x＞3}的真子集，即a≥3，
故实数a的最小值为3.
(2)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
答案　3或4
解析　由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，
又n∈N*，则n＝1,2,3,4.
当n＝1,2时，方程没有整数根；
当n＝3时，方程有整数根1,3，
当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.

等价转化思想在充要条件中的应用
等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化．
例 设p：|2x＋1|0)；q：>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．
答案　(0,2]
解析　由|2x＋1|0)，
得－m<2x＋1 ∴－ 由>0，得x<或x>1.
∵p是q的充分不必要条件，
∴≤，∴m≤2，又m>0，
∴0

1．命题“若函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是减函数，则m>1”的否命题是(　　)
A．若函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上不是减函数，则m≤1
B．若函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是减函数，则m≤1
C．若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是减函数
D．若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上不是减函数
答案　A
解析　“若p，则q”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定，故选A.
2．已知命题：“若a＞2，则a2＞4”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　原命题显然是真命题，其逆命题为“若a2＞4，则a＞2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．
3．(2018·嘉兴基础测试)“α＞”是“sin α＞”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　D
解析　易知“α＞”不一定得到“sin α＞”，比如α＝π＞，但sin α＝0＜；反之亦然，如sin＝1＞，但－＜.所以“α＞”是“sin α＞”的既不充分也不必要条件，故选D.
4．已知命题p：若a<1，则a2<1，则下列说法正确的是(　　)
A．命题p是真命题
B．命题p的逆命题是真命题
C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”
D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”
答案　B
解析　若a＝－2，则(－2)2>1，∴命题p为假命题，
∴A不正确；
命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，
∴B正确；
命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，
∴C不正确；
命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，
∴D不正确．
故选B.
5．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B.
6．(2019·丽水、衢州、湖州三地市质检)若a∈R，则“|a－2|≥1”是“a≤0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　记不等式|a－2|≥1的解集为A，则A＝{a|a≤1或a≥3}，记B＝{a|a≤0}，则B⊆A，即“a≤0”能推出“|a－2|≥1”，反之不能，所以“|a－2|≥1”是“a≤0”的必要不充分条件．故选B.
7．(2018·浙江名校协作体考试)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么“a·b＝0”是“α＝kπ＋(k∈Z)”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　∵a·b＝0＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)
＝cos2α－sin2α＝cos 2α，
∴2α＝2kπ±，解得α＝kπ±(k∈Z)．
故“a·b＝0”是“α＝kπ＋(k∈Z)”的必要不充分条件．
8．(2018·浙江“七彩阳光”联盟联考)若a，b∈R，使|a|＋|b|＞4成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．|a＋b|≥4 B．|a|≥4
C．|a|≥2且|b|≥2 D．b＜－4
答案　D
解析　对选项A，若a＝b＝2，则|a|＋|b|＝2＋2＝4，不能推出|a|＋|b|＞4；对选项B，若a＝4≥4，b＝0，此时不能推出|a|＋|b|＞4；对选项C，若a＝2≥2，b＝2≥2，此时不能推出|a|＋|b|＞4；对选项D，由b＜－4可得|a|＋|b|＞4，但由|a|＋|b|＞4得不到b＜－4.故选D.
9．(2018·嘉兴模拟)已知命题p：“若a2＝b2，则a＝b”，则命题p的否命题为________________，该否命题是一个________(填“真”或“假”)命题．
答案　若a2≠b2，则a≠b　真
解析　命题p的否命题需要将条件和结论同时否定，所以p的否命题为“若a2≠b2，则a≠b”，显然该命题为真命题．
10．对于原命题：“已知a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为______．
答案　2
解析　原命题为真命题，故逆否命题为真；
逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2.
11．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件，q是p的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案　充分不必要　必要不充分
解析　当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，
当x＋y>2时，可令x＝－1，y＝4，即q⇏p，
故p是q的充分不必要条件．
12．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
答案　(0,3)
解析　令M＝{x|a≤x≤a＋1}，
N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．
∵p是q的充分不必要条件，∴MN，
∴解得0＜a＜3.

13．若“数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是_____．
答案　
解析　若数列an＝n2－2λn(n∈N*)为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<.
故所求λ的取值范围是.


14．已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　方法一　命题p对应的集合为，
命题q对应的集合为{x|a≤x≤a＋1}．
綈p对应的集合A＝，
綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x ∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴或
∴0≤a≤.
方法二　命题p：A＝，
命题q：B＝{x|a≤x≤a＋1}，
∵綈p是綈q的必要不充分条件．
∴p是q的充分不必要条件，即AB，
∴或
∴0≤a≤.

15．(2019·浙江镇海中学月考)设a＞0，b＞0，则“lg(a＋b)＞0”是“lg a＋lg b＞0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由基本不等式知a＋b≥2，所以lg(a＋b)≥lg(2)＝lg 2＋lg(ab)，因而当lg a＋lg b＞0，即lg(ab)＞0时，有lg(a＋b)＞0；反之，取a＝，b＝2，显然lg(a＋b)＞0，但lg a＋lg b＝0.综上，“lg(a＋b)＞0”是“lg a＋lg b＞0”的必要不充分条件，故选B.
16．(2018·温州模拟)已知函数f(x)＝x|x|，则下列命题错误的是(　　)
A．函数f(sin x)是奇函数，且在上是减函数
B．函数sin(f(x))是奇函数，且在上是增函数
C．函数f(cos x)是偶函数，且在(0,1)上是减函数
D．函数cos(f(x))是偶函数，且在(－1,0)上是增函数
答案　A
解析　∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，
又y＝sin x是奇函数，y＝cos x是偶函数，
∴f(sin x)和sin(f(x))是奇函数，
f(cos x)和cos(f(x))是偶函数．
又f(x)＝x|x|＝
∴f(x)在R上是增函数，
∵y＝sin x在上是增函数，
y＝cos x在(0,1)上是减函数．
∴f(sin x)在上是增函数，
f(cos x)在(0,1)上是减函数，故A错误，C正确．
当x∈时，f(x)∈.
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin(f(x))在上是增函数，故B正确．
当x∈(－1,0)时，f(x)∈(－1,0)，
∵y＝cos x在(－1,0)上是增函数，
∴cos(f(x))在(－1,0)上是增函数，故D正确．