2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第一章　集合与常用逻辑用语1.2

§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲
考情考向分析
1.理解命题的概念．
2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.



1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p

概念方法微思考
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
提示　若AB，则p是q的充分不必要条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“对顶角相等”是命题．(　√　)
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　×　)
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　)
(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　√　)
题组二　教材改编
2．下列命题是真命题的是(　　)
A．矩形的对角线相等
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若整数a是素数，则a是奇数
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
答案　A
3．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是_________________________．
答案　两直线不平行，同位角不相等
4.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案　充分不必要
题组三　易错自纠
5．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　x>y⇏x>|y|(如x＝1，y＝－2)，
但当x>|y|时，能有x>y.
∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
6．已知p：x>a是q：2 答案　(－∞，2]
解析　由已知，可得{x|2a}，∴a≤2.

题型一　命题及其关系
1．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号是________．
答案　①③
2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)
A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有
C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福
答案　D
3．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为________．(填写所有真命题的序号)
答案　①②③
解析　①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．

4．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是_________．
答案　若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
题型二　充分、必要条件的判定
例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　D
解析　取α＝，β＝，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．
∴充分性不成立；
取α＝，β＝，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立．
故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由5x－6>x2，得2 所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
跟踪训练1 (1)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(　　)
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
答案　D
解析　非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．
(2)设向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，则“a∥b”是“tan θ＝成立”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案　必要不充分
解析　a∥b⇔sin 2θ＝cos2θ⇔cos θ＝0或2sin θ＝cos θ⇔cos θ＝0或tan θ＝，所以“a∥b”是“tan θ＝成立”的必要不充分条件．
题型三　充分、必要条件的应用
例2 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，
即所求m的取值范围是[0,3]．
引申探究
若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴方程组无解，
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练2 (1)若“x>2m2－3”是“－1 答案　[－1,1]
解析　依题意，可得(－1,4)(2m2－3，＋∞)，
所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.
(2)设n∈N＋，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
答案　3或4
解析　由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，
又n∈N＋，则n＝1,2,3,4.
当n＝1,2时，方程没有整数根；
当n＝3时，方程有整数根1,3，
当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.

利用充要条件求参数范围
逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质．
例 已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　方法一　命题p为，命题q为{x|a≤x≤a＋1}．
綈p对应的集合A＝，
綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x ∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴或∴0≤a≤.
方法二　命题p为A＝，
命题q为B＝{x|a≤x≤a＋1}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，即AB.
∴或∴0≤a≤.
素养提升　例题中得到实数a的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰．


1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．
2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
答案　B
解析　命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
3．(2018·天津)设x∈R，则“<”是“x3<1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由<，得0 “<”⇒“x3<1”；
由x3<1，得x<1，当x≤0时，
≥，即“x3<1”⇏“<”．
所以“<”是“x3<1”的充分不必要条件．
故选A.
4．(2018·抚顺模拟)设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a 5．有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确的是(　　)
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①④
答案　C
解析　①的逆命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；
③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m>1”．
因为当m＝0时，解集不是R，
所以应有即m>1.所以③是真命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
6．(2018·包头模拟)“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由log2(2x－3)<1⇒0<2x－3<2⇒8⇒2x>3⇒x>，所以“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.
7．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　方法一　∵数列{an}是公差为d的等差数列，
∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，
∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.
若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，
即S4＋S6>2S5.
若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，
即21d>20d，
∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．
故选C.
方法二　∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0.
∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．
故选C.
8．“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是(　　)
A．－1≤k<3 B．－1≤k≤3
C．03
答案　C
解析　直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解得k∈
(－1,3)．四个选项中只有(0,3)是(－1,3)的真子集，故充分不必要条件可以是“0 9．有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2 其中真命题的序号是________．
答案　②③
解析　①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；
②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．
10．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案　充分不必要
解析　当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，
当x＋y>2时，可令x＝－1，y＝4，即q⇏p，
故p是q的充分不必要条件．
11．在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案　充要
解析　因为cos A>sin B，所以cos A>cos，
因为角A，B均为锐角，所以－B为锐角，
又因为余弦函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，
所以A<－B，所以A＋B<，
在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C>，
所以△ABC为钝角三角形；
若△ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，
则C>，所以A＋B<，
所以A<－B，所以cos A>cos，
即cos A>sin B.
故“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．
12．已知集合A＝，B＝{x|－1 答案　(2，＋∞)
解析　因为A＝＝{x|－13，即m>2.

13．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<”是“sin(α＋β)<”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案　充分不必要
解析　因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 14．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是 答案　
解析　解不等式|x－m|<1，得m－1
15．已知p：实数m满足3a0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________．
答案　
解析　由2－m>m－1>0，解得1 所以
解得≤a≤，所以实数a的取值范围是.



16．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥2}，p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________________．
答案　∪
解析　由y＝x2－x＋1＝2＋，0≤x≤2，
得≤y≤2，∴A＝.
又由题意知A⊆B，
∴2－m2≤，∴m2≥.
∴m≥或m≤－.