2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第6章第1节　不等式的性质与一元二次不等式

第章　不等式、推理与证明

第一节　不等式的性质与一元二次不等式

[考纲传真]　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

1．两个实数比较大小的方法

(1)作差法

(2)作商法

2．不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性)

(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)

(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)

(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)

(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)

a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性)

(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)

(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)

(8)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)；(单向性)

3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

1．有关分数的性质

若a＞b＞0，m＞0，则

(1)＜；＞(b－m＞0)；

(2)＞；＜(b－m＞0)．

2．有关倒数的性质

a＞b，ab＞0⇒＜.

3．a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞.

4．简单的分式不等式

(1)≥0⇔

(2)＞0⇔

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)a>b⇔ac2>bc2． (　　)

(2)a>b>0，c>d>0⇒>． (　　)

(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0． (　　)

(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．(教材改编)下列四个结论，正确的是(　　)

①a>b，c<d⇒a－c>b－d；

②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；

③a>b>0⇒>；

④a>b>0⇒>.

A．①②   B．②③　　C．①④　　D．①③

D　[利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac<bd，故②不正确；因为函数y＝x是递增的，所以③正确；对于④，由a>b>0可知a2>b2>0，所以<，所以④不正确．]

3．(教材改编)设a，b，c∈R，且a＞b，则(　　)

A．ac＞bc B．＜

C．a2＞b2 D．a3＞b3

D　[取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D．]

4．(教材改编)不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为(　　)

A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜2}

C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2}

A　[方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A．]

5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

(－∞，－4]∪[4，＋∞)　[由题意知Δ＝a2－42≥0，解得a≥4或a≤－4.]

1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)

A．＞　　　 B．＜

C．＞ D．＜

B　[由c＜d＜0得＜＜0，则－＞－＞0，

∴－＞－，

∴＜，故选B．]

2．(2016·北京高考)已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)

A．－>0 B．sin x－sin y>0

C．－ <0 D．ln x＋ln y>0

C　[函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时， <，即－ <0，故C正确；函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，由x>y>0⇒<⇒－<0，故A错误；函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；x>y>0⇒xy>0ln(xy)>0 ln x＋ln y＞0，故D错误．]

3．若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2，则(　　)

A．a＞b＞c B．b＞a＞c

C．c＞a＞b D．b＞c＞a

A　[因为a＝20.6＞20＝1，又logπ1＜logπ3＜logππ，所以0＜b＜1，c＝log2sin＜log21＝0，于是a＞b＞c.故选A．]

4．已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的范围是________．

(－π，2π)　[设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)，则

解得

从而3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，

又－π＜2(α－β)＜π，0＜α＋β＜π，

∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.]

►考法1　不含参数的一元二次不等式

【例1】　(1)不等式2x2－x－3＞0的解集为________．

(2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)

(1)　(2)(－4,1)　[(1)方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝，则不等式2x2－x－3＞0的解集为.

(2)由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，所以不等式－x2－3x＋4>0的解集为(－4,1)．]

►考法2　含参数的一元二次不等式

【例2】　(1)解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a＜0.

[解]　原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0，

当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；

当a＝1时，原不等式的解集为∅；

当a＜1时，原不等式的解集为(a,1)．

(2)解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0.

[解]　若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，解得x＞1.

若a＜0，原不等式等价于(x－1)＞0，

解得x＜或x＞1.

若a＞0，原不等式等价于(x－1)＜0.

①当a＝1时，＝1，(x－1)＜0无解；

②当a＞1时，＜1，解(x－1)＜0，得＜x＜1；

③当0＜a＜1时，＞1，解(x－1)＜0，得1＜x＜.

综上所述，当a＜0时，解集为；

当a＝0时，解集为{x|x＞1}；

当0＜a＜1时，解集为；

当a＝1时，解集为∅；

当a＞1时，解集为.

(1)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　)

A．{x|2<x<3}　 B．{x|x≤2或x≥3}

C． D．

B　[∵不等式ax2－bx－1>0的解集是x<x<－，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，

∴解得

则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]

(2)解不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．

[解]　Δ＝a2－4.

①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式无解．

②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，

则原不等式的解集为.

综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式无解．

当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为

.

【例3】　已知函数f(x)＝mx2－mx－1.

(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　(1)当m＝0时，f(x)＝－1＜0恒成立．

当m≠0时，则即－4＜m＜0.

综上，－4＜m≤0，故m的取值范围是(－4,0]．

(2)不等式f(x)＜5－m，即(x2－x＋1)m＜6，

∵x2－x＋1＞0，∴m＜对于x∈[1,3]恒成立，只需求的最小值，

记g(x)＝，x∈[1,3]，

记h(x)＝x2－x＋1＝2＋，

h(x)在x∈[1,3]上为增函数，则g(x)在[1,3]上为减函数，

∴[g(x)]min＝g(3)＝，∴m＜.

所以m的取值范围是.

(1)若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)

A．(－3,0) B．[－3,0)

C．[－3,0] D．(－3,0]

(2)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．

(1) D　(2)　[(1)当k＝0时，显然成立；

当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立．

则解得－3＜k＜0.

综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．

(2)由题意得，函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需

即解得－＜m＜0.]

【例4】　甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·元．

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．

[解]　(1)根据题意，得200≥3 000，

整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.

即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3,10]．

(2)设利润为y元，则

y＝·100

＝9×104

＝9×104，

故当x＝6时，ymax＝457 500元．

即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．

汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．

在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问：甲、乙两车有无超速现象？

[解]　由题意知，对于甲车，

有0.1x＋0.01x2＞12，

即x2＋10x－1 200＞0，

解得x＞30或x＜－40(不合实际意义，舍去)，

这表明甲车的车速超过30 km/h.

但根据题意刹车距离略超过12 m，

由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.

对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，

即x2＋10x－2 000＞0，

解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，

这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．