2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第6章第4节　归纳与类比

第四节　归纳与类比

[考纲传真]　1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．

1．归纳推理

(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性的推理方式．

(2)特点：①是由部分到整体，由个别到一般的推理．

②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．

2．类比推理

(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程．

(2)特点：①是两类事物特征之间的推理．

②利用类比推理得出的结论不一定是正确的．

3．合情推理

(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．

(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．

4．演绎推理

(1)定义：是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．

2．合情推理是发现结论的推理，演绎推理是证明结论的推理．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理． (　　)

(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适． (　　)

(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．              (　　)

(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是(　　)

A．归纳推理　　　　 B．类比推理

C．演绎推理 D．以上都不是

B　[类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理，选B．]

3．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)

A．an＝3n－1 B．an＝4n－3

C．an＝n2 D．an＝3n－1

C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]

4．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝是指数函数(小前提)，所以函数y＝是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(　　)

A．大前提错误导致结论错误

B．小前提错误导致结论错误

C．推理形式错误导致结论错误

D．大前提和小前提错误导致结论错误

A　[“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]

5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．

1∶8　[在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面面积比为1∶4，对应高之比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.]

►考法1　与数字有关的推理

【例1】　(1)给出以下数对序列：

(1,1)；

(1,2)(2,1)；

(1,3)(2,2)(3,1)；

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；

…

记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝(　　)

A．(m，n－m＋1)　 B．(m－1，n－m)

C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)

(2)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.

(1)A　(2)n2　[(1)由已知可得，第i行第j列个数对aij＝(j，i－j＋1)，因此anm＝(m，n－m＋1)，故选A．

(2)由已知中

1＝12，

1＋2＋1＝4＝22，

1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，

…

归纳猜想可得1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝n2.]

►考法2　与式子有关的推理

【例2】　(1)(2019·青岛模拟)观察下列等式：

＋＝×1×2；

＋＋＋＝×2×3；

＋＋＋…＋＝×3×4；

＋＋＋…＋＝×4×5；

……

照此规律，

＋＋＋…＋＝________.

(2)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，归纳得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝__________.

(1)n(n＋1)　(2)nn　[(1)根据所给等式知，等式右边是三个数的乘积，第一个数是，第二个数是左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，第三个数比第二个数大1，故所求结果为n(n＋1)．

(2)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.]

►考法3　与图形变化有关的推理

【例3】　(2019·成都模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内一共去掉的小三角形的个数为(　　)

A．81　   B．121　　　C．364　　　D．1 093

C　[由题图可知，当n＝1时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1；当n＝2时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3；当n＝3时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3＋32；……据此归纳推理可知，当n＝6时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3＋32＋33＋34＋35＝＝364.故选C．]

(1)观察下列立方和：13,13＋23,13＋23＋33,13＋23＋33＋43，…，则归纳上述求和的一般公式13＋23＋33＋…＋n3＝________.

(2)观察下列各式：

1＋＜；

1＋＋＜；

1＋＋＋＜；

…

照此规律，当n∈N*时，1＋＋＋…＋＜________.

(1)　(2)　[(1)13＝1＝12，

13＋23＝9＝(1＋2)2，

13＋23＋33＝36＝(1＋2＋3)3，

13＋23＋33＋43＝100＝(1＋2＋3＋4)2，

…

由此规律可知13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝.

(2)观察所给不等式可知，第n个不等式的右边为.]

【例4】　(1)(2019·上饶模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝12πr3，则其四维测度W＝________.

(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________.

(1)3πr4　(2)　[(1)∵二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；观察发现S′＝l，三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S，∴四维空间中“超球”的三维测度V＝12πr3，猜想其四维测度W，则W′＝V＝12πr3，∴W＝3πr4，故答案为3πr4.

(2)把三棱锥补形为长方体，则长方体的对角线长即为三棱锥外接球的直径，则三棱锥外接球的半径R＝.]

(1)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)

A．dn＝　 B．dn＝

C．dn＝ D．dn＝

(2)在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________．

(1)D　(2)＝　[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝.

法二：若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，

∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D．

(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.]

【例5】　(1)(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

(1)D　[(1)由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．]

(2)(2019·福州模拟)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N＋)．

证明：①数列是等比数列；②Sn＋1＝4an.

[证明]　①∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，

∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.

∴＝2·， (小前提)

故是以2为公比，1为首项的等比数列． (结论)

(大前提是等比数列的定义，这里省略了)

②由①可知＝4·(n≥2)，

∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1

＝4an(n≥2)， (小前提)

又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1， (小前提)

∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an. (结论)

(第(2)问的大前提是第(2)问的结论以及题中的已知条件)

如图，A，B，C三个开关控制着1,2,3,4号四盏灯．若开关A控制着2,3,4号灯(即按一下开关A,2,3,4号灯亮，再按一下开关A,2,3,4号灯熄灭)，同样，开关B控制着1,3,4号灯，开关C控制着1,2,4号灯．开始时，四盏灯都亮着，那么下列说法正确的是(　　)

A．只需要按开关A，C可以将四盏灯全部熄灭

B．只需要按开关B，C可以将四盏灯全部熄灭

C．按开关A，B，C可以将四盏灯全部熄灭

D．按开关A，B，C无法将四盏灯全部熄灭

D　[根据题意，按开关A,2,3,4号灯熄灭，1号灯亮；按开关B,1,2号灯熄灭，3,4号灯亮；按开关C，则2,3,4号灯熄灭，1号灯亮．选D．]

1．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

A　[由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A．]

2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

1和3　[根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.]