2022届高考数学一轮复习第十一章选修系列选修4_4坐标系与参数方程学案理含解析北师大版

选修4－4　坐标系与参数方程

授课提示：对应学生用书第254页

知识点一　极坐标

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P ′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系的概念

 (1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标

①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ．

②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ．

③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

3．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

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二级结论

常见曲线的极坐标方程

(1)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程：ρ＝r(0≤θ＜2π)．

(2)圆心为，半径为r的圆的极坐标方程：ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π)．

(3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)．

(4)过点(a，0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程：ρcos θ＝a．

(5)过点，与极轴平行的直线的极坐标方程：ρsin θ＝a(0＜θ＜π)．

必明易错

1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．

2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．

注意极坐标(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．

1．在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　　)

A．ρsin θ＝1　　　　　 B．ρsin θ＝

C．ρcos θ＝1  D．ρcos θ＝

解析：先将极坐标化成直角坐标表示P，转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1．

答案：A

2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为________．

解析：由得

代入y＝sin x，得y′＝sin 2x′，

故变换后的方程为y′＝3sin 2x′．

答案：y′＝3sin 2x′

3．(2021·西安模拟)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．

解析：法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为．

法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos，知圆心的极坐标为．

答案：

知识点二　参数方程

　一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标(x，y)是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

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二级结论

　直线、圆、椭圆的参数方程

(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．

(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．

(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)．

必明易错

直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|．

1．(2019·高考北京卷)已知直线l的参数方程为(t为参数)，则点(1，0)到直线l的距离是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：由题意可知直线l的普通方程为4x－3y＋2＝0，由点到直线的距离公式可得点(1，0)到直线l的距离d＝＝．

答案：D

2．(2019·高考天津卷)设a∈R，直线ax－y＋2＝0和圆(θ为参数)相切，则a的值为________．

解析：由圆的参数方程知圆的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4．由＝2，知a＝．

答案：

3．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．

解析：直线l的普通方程为x－y－a＝0，

椭圆C的普通方程为＋＝1，

所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过点(3，0)，

则3－a＝0，

所以a＝3．

答案：3

授课提示：对应学生用书第255页

题型一　曲线的极坐标方程　　

 [例]　（2019·高考全国卷Ⅲ）如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B，C，D（2，π），弧，，所在圆的圆心分别是（1，0），，（1，π），曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧．

（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．

[解析]　（1）由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ．

所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ．

（2）设P（ρ，θ），由题设及（1）知

若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；

若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；

若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝．

综上，P的极坐标为或或或．

1．求曲线的极坐标方程的一般思路

曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程，熟练掌握互换公式是解决问题的关键．

2．解决极坐标交点问题的一般思路

一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其转化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标．

[对点训练]

（2021·江淮十校联考）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）已知A，B是曲线C上任意两点，且∠AOB＝，求△AOB面积的最大值．

解析：（1）消去参数α，得到曲线C的普通方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，

故曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ．

（2）在极坐标系中，不妨设A（ρ1，θ0），B（ρ2，θ0＋），其中ρ1>0，ρ2>0，－<θ0<，由（1）知：ρ1＝4cos θ0，ρ2＝4cos．

△OAB面积S＝ρ1ρ2sin＝4cos θ0cos，

S＝2cos2 θ0－6sin θ0cos θ0＝（1＋cos 2θ0）－3sin 2θ0＝2cos＋，

当2θ0＋＝0时，即θ0＝－时，cos有最大值1．此时Smax＝3．

故△OAB面积的最大值为3．

题型二　参数方程及应用　　

[例]　（2021·鞍山模拟）在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．

（1）若α＝，求线段AB的中点M的直角坐标；

（2）若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P（2，），求直线l的斜率．

[解析]　（1）将曲线C的参数方程化为普通方程是＋y2＝1．

当α＝时，直线l的方程为（t为参数），

代入曲线C的普通方程＋y2＝1，

得13t2＋56t＋48＝0，

设直线l上的点A，B，M对应的参数分别为t1，t2，t0．

则t0＝＝－，

所以点M的直角坐标为．

（2）设直线l上的点A，B对应的参数分别为t1，t2．

将代入曲线C的普通方程＋y2＝1，

得（cos2α＋4sin2α）t2＋（8sin α＋4cos α）t＋12＝0．

因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7，

所以＝7，得tan2α＝．

结合Δ＝32cos α（2sin α－cos α）>0可知tan α＝．

所以直线l的斜率为．

参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用

（1）将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．

（2）在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．

[对点训练]

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（θ为参数），过点（0，－）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

解析：（1）⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1．

当α＝时，l与⊙O交于两点．

当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－，l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈．

综上，α的取值范围是．

（2）l的参数方程为（t为参数，<α<）．

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，

且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0．

于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α．

又点P的坐标（x，y）满足

所以点P的轨迹的参数方程是

．

　参数方程与极坐标方程应用中的核心素养

数学运算——参数方程与极坐标方程的综合应用

[例]　（2020·高考全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0．

（1）当k＝1时，C1是什么曲线？

（2）当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．

[解析]　（1）当k＝1时，C1：消去参数t，得x2＋y2＝1，

故曲线C1是以坐标原点为圆心，1为半径的圆．

（2）当k＝4时，C1：消去参数t，得C1的直角坐标方程为＋＝1．

C2的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0．

由解得

故C1与C2的公共点的直角坐标为．

解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法

（1）在参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先将其化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．

（2）对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．

（3）利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．

[对点训练]

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2：＋y2＝1．

（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；

（2）射线OT：θ＝（ρ≥0）与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|的大小．

解析：（1）由得（x－1）2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，

所以C1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ．

由＋y2＝1得C2的极坐标方程为＋ρ2sin2 θ＝1．

（2）设|OA|＝ρ1（ρ1＞0），|OB|＝ρ2（ρ2＞0），

所以|AB|＝|ρ1－ρ2|．

联立得|OA|＝ρ1＝2cos＝，

联立得|OB|＝ρ2＝，

所以|AB|＝－．